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易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計 組員：邢登峰，張娜，劉夢云 摘要 研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)約的資源是很可觀的。 問題一，我們通過實際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。 問題二，在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型，由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最??； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型： 用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3：1。 問題三，在易拉罐基本尺寸，高與直徑之比2：1的條件下，將上面為正圓臺的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺的用料優(yōu)化設(shè)計。 模型 圓臺面積 用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時，s=45.07最小。 結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2：1，上下底之比=1：2，與實際比較分析了各種原因。 問題四，從重視外觀美學(xué)要求（黃金分割），認(rèn)為高與直徑之比1：0.4更別致、美觀。對這種比例的正圓柱體易拉罐作了實際優(yōu)化分析。 另從美學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設(shè)想，分析了這樣易拉罐的優(yōu)缺點和尺寸優(yōu)化設(shè)計。 最后寫出了我們對數(shù)學(xué)建模的體會文章。 關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設(shè)計 數(shù)學(xué)建模 問題重述 在生活中我們會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。 現(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。具體說，請你們完成以下的任務(wù)： 1． 取一個凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。 2． 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。 3． 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。 什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。 4. 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。 一、問題的提出 我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。對于易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計我們提出了以下問題： 1. 取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。 2. 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。 3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖⑴所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體，什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。 4. 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。 二、模型假設(shè) 1、假設(shè)易拉罐的各個組成部分是同一種材料；不考慮具體的用料（假設(shè)為鋁材），也不考慮易拉罐的工藝過程。 2、易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺與正圓柱體的結(jié)合”等等。 3、實際測量允許有一定的誤差。 4、問題二中的假設(shè)： ① 在本問題的研究中，假設(shè)易垃罐是一個正圓柱體； ② 假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍； 三．模型的假設(shè)與求解 問題一： 上圓臺 上底直徑 59 蓋厚 0.30 下底直徑 67 上圓臺側(cè)面厚 0.20 高度 13 正圓柱 直徑 67 壁厚 0.10 高度 110 我們測得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（單位mm）：(以后尺寸均以其為基本單位) 問題二： 本題建立在易拉罐是一個正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（2） 假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同。 1． 符號說明： r：易拉罐的半徑； h：易拉罐的高； v：易拉罐內(nèi)體積（容積）； sv：易拉罐所用材料的體積； b：易拉罐除頂蓋外的厚度； ：頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度。 （2） 2． 問題分析與模型 由于易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計要研究到易拉罐各部分厚度問題，可設(shè)想一個易拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積（見圖2）。 易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料 將上式化簡，并以為參數(shù)，看作為自變量。 有 作簡化，因為，則很小，所以可將帶的項忽略。 有 記（v是已知的，即罐容積一定）。 得數(shù)學(xué)模型 3． 模型求解 由約束條件，得，代入目標(biāo)函數(shù) 令 得 因為 所以為極小值點。 又由于極值點只有此一個，因此也是全局極小。 又由于，則由對問題二的前一解的結(jié)論，，得， 結(jié)論：。 4． 結(jié)果分析 易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的3倍（），與我們對355ml可口可樂等易拉罐的實測數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。 問題三： 本題建立在易拉罐上面是一個正圓臺，下面是一個正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（3） 1． 符號說明 R：易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺下底半徑）； r：易拉罐正圓臺上底半徑； h1：易拉罐正圓柱體高； V1：易拉罐正圓柱體容積； h ：易拉罐正圓臺高； V：易拉罐正圓臺容積。 3．問題分析與模型 因為上述解問題二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡化問題為研究正圓臺部分的優(yōu)化設(shè)計。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是測算出V=355ml. 于是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺體積V一定，底半徑R一定時，其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值（或r與h比例是多少）正圓臺的表面積最小，如圖（4）： （4） 求正圓臺的面積得模型： 正圓臺面積=頂蓋面積+圓臺側(cè)面積 用數(shù)學(xué)軟件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm）， 得： 當(dāng)r=1.467cm,h=1.93cm時， 結(jié)論：常見的正圓臺與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)是：①總高度與底直徑之比為2：1， ②正圓臺的高與上底直徑之比約為2：3（即h：2r≈2：3），相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為。 問題四：新設(shè)計 現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形，對于一定容積的柱體，以正圓柱體的表面積最小，且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今幾十年都是圓柱形，也太常見有審美疲勞。因而我們考慮易拉罐基本造型有一個較大的變化，如創(chuàng)新設(shè)計為了正四方柱體、正三面柱體、球體等。 其實我們都知道球體是更省料的，像太白酒等酒的瓶子就是這樣。 假設(shè)瓶口直徑為20，瓶頸高30（類似于礦泉水瓶口的設(shè)計），設(shè)球的半徑為R, 則： S=S1+S2=4πR2+Фπh 得S=28624.708mm2 該值遠(yuǎn)小于以上計算結(jié)果，故此種設(shè)計更優(yōu)。