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《完全平方公式》教學(xué)設(shè)計(jì) 【教材分析】 本節(jié)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)第一章《整式的運(yùn)算》中的——1.8完全平方公式。 一、教材的地位和前后聯(lián)系：完全平方公式是初中數(shù)學(xué)中的重要公式，在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用. 一方面完全平方公式這一教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法及平方差公式基礎(chǔ)上的拓展，是對(duì)多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，又為學(xué)習(xí)《因式分解》《配方法》等知識(shí)奠定了基礎(chǔ)，是進(jìn)一步研究《一元二次方程》《二次函數(shù)》 的工具性內(nèi)容。 二、教材設(shè)計(jì)的思想方法： 教材按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從具體到抽象，由直觀圖形引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、進(jìn)而論證，最后建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生對(duì)公式從感性認(rèn)識(shí)、直觀認(rèn)識(shí)到本質(zhì)認(rèn)識(shí)。逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和建模思想。由此，本節(jié)課不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用，它在本章中起著舉足輕重的作用。 【學(xué)情分析】 1．認(rèn)知基礎(chǔ):學(xué)生已學(xué)習(xí)了整式的概念、整式的加減、冪的運(yùn)算、整式的乘法、平方差公式，這些基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。但是對(duì)于幾何圖形如何用代數(shù)來(lái)表示，從而表示圖形的面積，學(xué)生會(huì)有一定困難，另外，在具體運(yùn)用公式時(shí)，學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)往往表現(xiàn)比較突出，一部分學(xué)生總是會(huì)出現(xiàn)(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的問(wèn)題，對(duì)公式中a、b的理解，對(duì)“和”“差”符號(hào)的區(qū)別也會(huì)有些障礙。 2.活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在平方差公式一節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了探索與應(yīng)用的過(guò)程，獲得了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了一定的符號(hào)感和推理能力。 　　 3. 心理特征：初中階段的學(xué)生邏輯思維能力、觀察能力，記憶能力和想象能力都有一定的局限性，感性認(rèn)識(shí)往往表現(xiàn)比較突出，很多學(xué)生還是處于模仿學(xué)習(xí)的思維階段，但同時(shí)，這一階段的學(xué)生好動(dòng)，注意力易分散，愛(ài)發(fā)表見(jiàn)解，希望得到老師的表?yè)P(yáng)，所以在教學(xué)中應(yīng)抓住這些特點(diǎn)，一方面運(yùn)用直觀生動(dòng)的圖形，引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，在辨別中提高認(rèn)識(shí)。 【教學(xué)目標(biāo)】 1、知識(shí)與技能： 體會(huì)公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程，了解公式的幾何背景，理解公式的本質(zhì)，會(huì)應(yīng)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。 2、 過(guò)程與方法： 通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。 3、情感態(tài)度價(jià)值觀： 體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)與喜悅，樹(shù)立學(xué)習(xí)自信心。 【教學(xué)重點(diǎn)】 1、對(duì)公式的理解，包括它的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語(yǔ)言表述（學(xué)生自己的語(yǔ)言）、幾何解釋。 2、會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。 【教學(xué)難點(diǎn)】 1、完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋。 2、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用 【教學(xué)方法】“探究式學(xué)習(xí)”。 在教學(xué)中，突出學(xué)生的主動(dòng)性、參與性，讓學(xué)生通過(guò)觀察特點(diǎn)——分析——?dú)w納總結(jié)——得出結(jié)論，初步掌握探究的學(xué)習(xí)方法。 【學(xué)法指導(dǎo)】 積極參與交流探討，從學(xué)習(xí)中感受樂(lè)趣，及時(shí)地歸納總結(jié)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。 【教學(xué)課型】新授課 【課時(shí)安排】一課時(shí) 【教學(xué)過(guò)程】 一、 復(fù)習(xí)舊知、引入新知 設(shè)計(jì)說(shuō)明 問(wèn)題1,2,3的設(shè)置目的在于使學(xué)生回顧舊知識(shí)的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧平方差公式的學(xué)習(xí)過(guò)程，為本節(jié)課的類(lèi)比學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。而問(wèn)題4的設(shè)置目的在于教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力，預(yù)設(shè)到學(xué)生可能出現(xiàn)不同的結(jié)果。如：一部分學(xué)生得出： （1）（a+b）2 =a2+b2 （2）（a-b）2=a2-b2 一部分學(xué)生得出正確結(jié)果。不同的結(jié)果，可引發(fā)學(xué)生的爭(zhēng)議和思考，可激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈求知欲望，也為正確認(rèn)識(shí)公式奠定了基礎(chǔ)。這樣，也創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考和語(yǔ)言表達(dá)能力。 問(wèn)題1：請(qǐng)說(shuō)出平方差公式，說(shuō)說(shuō)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。 問(wèn)題2：平方差公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的？ 問(wèn)題3：平方差公式可用來(lái)解決什么問(wèn)題，舉例說(shuō)明。 問(wèn)題4：想一想、做一做，說(shuō)出下列各式的結(jié)果。 （1）（a+b）2 （2） （a-b）2 （此時(shí)，教師可讓學(xué)生分別說(shuō)說(shuō)理由，并且不直接給出正確評(píng)價(jià)，還要繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。） 二．創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、探究新知 設(shè)計(jì)說(shuō)明 （a+b）2 =a2+b2 （a-b）2=a2-b2是學(xué)生學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，并且很難以糾正，以下設(shè)置目的在于一方面通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。一方面使學(xué)生對(duì)公式第一次就有充分的感性認(rèn)識(shí)。以免出現(xiàn)以上錯(cuò)誤。也能使學(xué)生體會(huì)到猜想感覺(jué)得到的不一定正確，需要驗(yàn)證。 一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b米，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種。（如圖） a b ⑴ 四塊面積分別為： 、 、 、 ; b ⑵ 兩種形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積： ① 整體看：邊長(zhǎng)為 的大正方形，S= ； a a ②部分看：四塊面積的和，S= 。 a b 總結(jié) ： 通過(guò)以上探索你發(fā)現(xiàn)了什么？ 問(wèn)題1：通過(guò)以上探索學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)該知道我們提出的問(wèn)題4正確的結(jié)果是什么了吧？ 問(wèn)題2：如果還有同學(xué)不認(rèn)同這個(gè)結(jié)果，我們?cè)倏聪旅娴膯?wèn)題，繼續(xù)探索。（a+b）2 表示的意義是什么？請(qǐng)你用多項(xiàng)式的乘法法則加以驗(yàn)證。 （教學(xué)過(guò)程中教師要有意識(shí)地提到猜想、感覺(jué)得到的不一定正確，只有再通過(guò)驗(yàn)證才能得出真知，但還是要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，發(fā)表見(jiàn)解，但要驗(yàn)證） 問(wèn)題3：你能說(shuō)說(shuō)（a+b）2=a2+2ab+b2 這個(gè)等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？用自己的語(yǔ)言敘述。 （結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：右邊是二項(xiàng)式（兩數(shù)和）的平方，右邊有三項(xiàng)，是兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)乘積的二倍） 問(wèn)題4：你能根據(jù)以上等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)說(shuō)出（a-b）2等于什么嗎？請(qǐng)你再用多項(xiàng)式的乘法法則加以驗(yàn)證。 總結(jié)：我們把（a+b）2=a2+2ab+b2 （a–b）2=a2–2ab+b2稱為完全平方公式。 問(wèn)題：①　這兩個(gè)公式有何相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？ ②　你能用自己的語(yǔ)言敘述這兩個(gè)公式嗎？ （學(xué)生交流，教師歸納總結(jié)：） 　　語(yǔ)言描述：兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)積的２倍。 強(qiáng)化記憶：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加來(lái)差是減。 〈三〉、例題講解，鞏固新知 例1：利用完全平方公式計(jì)算 設(shè)計(jì)說(shuō)明 利用例題講解，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)如何正確應(yīng)用公式，使學(xué)生對(duì)公式的本質(zhì)能清晰的認(rèn)識(shí)。并獲得解題技巧。 （1）（2x－3）2 （2） （4x+5y）2 （3） （mn－a）2 解：（2x－3）2 =（2x）2 －2(2x)3＋32 = 4x2－12x＋9 （4x+5y）2 =（4x）2 ＋2(4x)(5y)＋(5y)2 = 16x2＋40xy＋25y2 （mn－a）2 =（mn）2 －2(mn)a＋a2 = m2 n2 － 2mna ＋a2 交流總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算的一般步驟 （1）確定首、尾，分別平方； （2）確定中間系數(shù)與符號(hào)，得到結(jié)果。 四、練習(xí)鞏固 設(shè)計(jì)說(shuō)明 使學(xué)生 親身經(jīng)歷應(yīng)用公式的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)公式結(jié)構(gòu)的掌握，對(duì)公式本質(zhì)的理解，獲取解題的技巧。 練習(xí)1：利用完全平方公式計(jì)算 ① ② (3)(-2t-1)2 練習(xí)2：利用完全平方公式計(jì)算 （1）（n＋1）2 －n2 （2） 練習(xí)3：求的值，其中 （練習(xí)可采用多種形式，學(xué)生上黑板板演，師生共同評(píng)價(jià)。也可學(xué)生獨(dú)立完成后，學(xué)生互相批改，力求使學(xué)生對(duì)公式完全掌握，如有學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題，學(xué)生、教師應(yīng)及時(shí)幫助。） 五、變式練習(xí) 設(shè)計(jì)說(shuō)明 本設(shè)計(jì)目的在于讓學(xué)生自我評(píng)價(jià)，是否完全掌握了本節(jié)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解。 1、下列計(jì)算是否正確？如不正確如何改正？ ① ② （3） 2、選擇 （1）代數(shù)式2xy-x2-y2=( ) A、（x-y）2 B、（-x-y）2 C、（y-x）2 D、-（x-y）2 （2）．等于（ ） A． B． C． D． （3）．若，那么A等于（ ） A． B． C．0 D． 六、暢談收獲，歸納總結(jié) 學(xué)生總結(jié)： 教師總結(jié)： 1、本節(jié)課我們又學(xué)習(xí)了乘法的完全平方公式: 2、我們?cè)谶\(yùn)用公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： （1）公式中的字母a、b可以是任意代數(shù)式； (2)公式的結(jié)果有三項(xiàng)，不要漏項(xiàng)和寫(xiě)錯(cuò)符號(hào)。 (3)可能出現(xiàn)① ② 這樣的錯(cuò)誤。也不要與平方差公式混在一起。 七、作業(yè)設(shè)置 習(xí)題1.13 知識(shí)技能 1、2題 八、板書(shū)設(shè)計(jì) 1.8完全平方公式(1) 1、復(fù)習(xí)舊知，引入新知 3、完全平方公式： 4、例題講解 5、練習(xí)鞏固 （a+b）2=a2+2ab+b2 例1 6、變式練習(xí) 2、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，探究新知 （a–b）2=a2–2ab+b2 強(qiáng)化記憶： 交流總結(jié)： 【教后反思】 乘法公式的學(xué)習(xí)是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)遇到的又一個(gè)難點(diǎn)．因?yàn)楣酱淼氖且话阈问?，具有很高的抽象性，一時(shí)不能理解公式里每個(gè)字母的含義。在實(shí)際應(yīng)用中，有的同學(xué)出現(xiàn)將平方差公式與完全平方公式混在一起的問(wèn)題。 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)得到如下收獲： （1）這節(jié)課倡導(dǎo)了以學(xué)生為主，教師為輔的思想，留足了一定的時(shí)間讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)探索、以及做練習(xí)，使學(xué)生逐步對(duì)公式進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解，這種教學(xué)方式，學(xué)生學(xué)習(xí)效果明顯，三維目標(biāo)順利達(dá)成。 （2）始終以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，滿足了學(xué)生的心里需求，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 （3）學(xué)生又一次體會(huì)了探究學(xué)習(xí)的方法。 下一步的要求： 學(xué)生還需要熟練掌握公式兩種形式的使用方法，以提高運(yùn)算速度，鞏固完全平方公式兩種形式的應(yīng)用。為完全平方公式第二課時(shí)的實(shí)際應(yīng)用和提高應(yīng)用做好充分的準(zhǔn)備。