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七年級數(shù)學(xué) 個性化輔導(dǎo)講義 第 四 講：實(shí)數(shù) 任課教師：張修偉 數(shù)學(xué)學(xué)科輔導(dǎo)講義 授課對象 小班課 授課時間 教學(xué)目標(biāo) 理解無理數(shù)、平方根、立方根的概念和意義 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 理解無理數(shù)、平方根、立方根的概念和意義 考點(diǎn)分析 無理數(shù)、平方根、算術(shù)平方根、立方根 教學(xué)流程及授課詳案 實(shí)數(shù) 【知識要點(diǎn)】 1、 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù) 常見類型 （1）開不盡的方根，如：、、、等； （2）含有的數(shù)，如：2、3+等； （3）無限有規(guī)律但不循環(huán)的數(shù)，如：4.323323332……等； 注意：0.10010001是有理數(shù)。 例：在，,0,,，0.010010001……，，－0.333…，， 3.1415，2.010101…(相鄰兩個1之間有1個0)中，無理數(shù)有（ ） A.2個 B.3個 C .4個 D.5個 2、 平方根：如果x=a，那么x= ,即叫做a的平方根, 其中叫做a的算術(shù)平方根 注意：①負(fù)數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根,即中的a0； ②0的平方根和算術(shù)平方根都是0,即； ③一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，但它的算術(shù)平方根只有一個。 例1：4的平方根是（ ） A. B.16 C. D.2 例2：的算術(shù)平方根是（ ） A. B.9 C. D.3 例3：已知一個正數(shù)的兩個平方根是2a-2和a-4,則a= 3、立方根：如果x=a，那么x= 就叫a的立方根。 注意：任何數(shù)都只有一個立方根，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0，正數(shù)的立方根是正數(shù)。 例1、計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C.3 D.-3 例2：立方根等于本身的數(shù)有 4、 估算與比較 I估算無理數(shù)的值——找出此數(shù)前后最近的兩個可開方的數(shù)進(jìn)行開方，開方結(jié)果就 是此數(shù)數(shù)值的范圍 II比較無理數(shù)的大小——分別作相同次數(shù)的乘方，將乘方結(jié)果進(jìn)行比較即可（兩數(shù)同號時才能使用此法） 例1：估計(jì)的值在（ ） A.1到2之間 B.2到3之間 C.3到4之間 D.4到5之間 例2：比較大?。? 7 5、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。 1、實(shí)數(shù)有以下兩種分類方法： （1）按定義分類 （2）按大小分類 2、實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對值為。 3、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系： 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，即每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都可以用一個實(shí)數(shù)表示。 6、非負(fù)性及應(yīng)用 1、非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零 2、常見的非負(fù)數(shù)有實(shí)數(shù)的絕對值，實(shí)數(shù)的偶次方，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等，用符號表示如下： ①若a是實(shí)數(shù)，則； ②若a是實(shí)數(shù)，則（n為正整數(shù)），當(dāng)n=1時，a2≥0； ③（n為正整數(shù)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，此時； 3、非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì)： ①有限個非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù)； ②有限個非負(fù)數(shù)之和是零，則每一個非負(fù)數(shù)是零。 一、鞏固練習(xí) 基礎(chǔ)演練 1、、、……這十個數(shù)中，無理數(shù)有 個 2、 （1）已知a的算術(shù)平方根是9，則a= （2）的平方根是 （3）平方根等于本身的數(shù)有　　 ，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有 能力提高 1、下列運(yùn)算中錯誤的有（ ）個 W w . X k b 1.c O m ① ②= ③ ④ ⑤ A． 　４ 　 B．３　 C．２ 　 D．１ 2、下列說法：①－64的立方根是4，②49的算數(shù)平方根是7 ， ③的立方根是④的平方根是 其中正確說法的個數(shù)是 （ ） A.1 B.2 C .3 D.4 3、下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（　　） Ａ、－２與Ｂ、－２與?。谩ⅲ才c?。?、與2 4、邊長為2的正方形的對角線長是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 5、滿足的整數(shù)是（ ） A、B、 C、 D、 6、 若與|b+1|互為相反數(shù),則b-a的值為（ ） A. B. C. D. 歸納總結(jié) 1、 注意算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別：一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個，平方根卻有兩個，它們互為相反數(shù)； 2、 注意特殊數(shù)字的平方根、算術(shù)平方根和立方根（如：-1、0、1）； 3、 估算與比較，別忘開方與乘方。 【經(jīng)典例題】 類型一．有關(guān)概念的識別 　　1．下面幾個數(shù)：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，無理數(shù)的個數(shù)有（ ） 　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4 　　解析：本題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，1.010010001…，3π，是無理數(shù) 　　舉一反三： 　　【變式1】下列說法中正確的是（ ） 　　A、的平方根是3　 B、1的立方根是1　 C、=1 　 D、是5的平方根的相反數(shù) 　　【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（ ） 　　　　　　　　　　　　　　 　 　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、 　 　　【變式3】 　　 類型二．計(jì)算類型題 　　2．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ） 　　A. 　　　　　　B. 　　C. 　　　　　　D. 　　　舉一反三： 　　【變式1】 1）1.25的算術(shù)平方根是__________；平方根是__________. 2） -27立方根是__________. 3）___________， 3） ___________，___________. 　　 　　【變式2】求下列各式中的 　　（1） 　　?。?）　　　　（3） 　 類型三．?dāng)?shù)形結(jié)合 　　3. 點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點(diǎn)的距離為______ 　　解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點(diǎn)， 　　舉一反三： 　　【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（ ）． 　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2 　　[變式2] 已知實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示： 　　　　　　　　　　　　 　化簡 　　 類型四．實(shí)數(shù)絕對值的應(yīng)用 　　4．化簡下列各式： 　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142| 　　 (3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3) 　 　　分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值。 　　　　舉一反三： 　　【變式1】化簡： 　　 類型五．實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用 　　5．已知：=0，求實(shí)數(shù)a, b的值。 　　 舉一反三： 　　【變式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。 　　 【變式2】已知那么a+b-c的值為___________ 　 　 類型六．實(shí)數(shù)應(yīng)用題 　　6．有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少cm。 　　解：設(shè)新正方形邊長為xcm， 　　　　根據(jù)題意得 x2=112+138 　　　　∴x2=225 　　　　∴x=15 　　　　∵邊長為正，∴x=-15不合題意舍去， 　　　　∴只取x=15(cm) 　　答：新的正方形邊長應(yīng)取15cm。 　　舉一反三： 　　【變式1】拼一拼，畫一畫： 請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形。（4個長方形拼圖時不重疊） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　?。?）計(jì)算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？ 　?。?）當(dāng)拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積多24cm2，求中間小正方形的邊長. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是： 　　　　　　　 ，所以面積為= 　　　　　　　 大正方形的面積=， 　　　　　　　 一個長方形的面積=。 　　　　　　　 所以， 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 答：中間的小正方形的面積， 　　　發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或） 　　　 　(2) 類型七．易錯題 　　7．判斷下列說法是否正確（ ） 　?。?）的算術(shù)平方根是-3；　　?。?）的平方根是15. 　?。?）當(dāng)x=0或2時，　　?。?）是分?jǐn)?shù) 　類型八．引申提高 　　8．（1）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2-b2的值. 　　　　　?。?）把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：①②③ 　?。?）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分，首先判斷這個算術(shù)平方根在哪兩個整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分． 　　解：　　 　　 【課堂檢測】 1、在中，屬于有理數(shù)的是 屬于無理數(shù)的是 2、（1） ； 。 （2） 。 （3）若= 。 （4）計(jì)算 。 3、比較大?。?） （2） 。 4、下列語句中不正確的是（ ） A．無理數(shù)是帶根號的數(shù)，其根號下的數(shù)字開方開不盡； B．8的立方根是2； C．絕對值等于的實(shí)數(shù)是 D．每一個實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個點(diǎn)與它對應(yīng)。 5、與相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（ ） A． B． C． D． 6、下列計(jì)算正確的是（ ） A B C.D． 7、數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊，則式子的值是（ ） A．正數(shù) B．-1 C．小于-1 D．大于-1 8、化簡，甲乙兩同學(xué)的解法如下：甲：； 乙：，對于他們的解法，正確的是（ ） A．甲、乙的解法都正 B．甲正確、乙不正確 C．甲、乙的解都錯誤 D.正確、甲不正確 9、計(jì)算或化簡： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 已知，求 （6） 已知的值。 （7）； （8）； （9）； （10）。 10、 已知y=+18,求代數(shù)式的值。 11、細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題： ， ； ， ； ， ；…… （1）請用含的（為正整數(shù)）的等式表示上述變化的規(guī)律； （2）推算出 ， ； ， ； （3）求出的值。 實(shí)數(shù)習(xí)題精選 1、 選擇題： 　　1．的算術(shù)平方根是 （ ） 　　A．0.14 　　　B．0.014　　　 C． 　　　D． 　　2．的平方根是 （ ） 　　A．－6 　　　B．36　　　 C．6 　　　D． 　　3．下列計(jì)算或判斷：①3都是27的立方根；②； ③的立方根是2；④， 　 　　其中正確的個數(shù)有 （ ） 　　A．1個 　　　B．2個　　　 C．3個 　　　D．4個 　　4．在下列各式中，正確的是 （ ） 　　A．; 　　 B．;　　 C．;　　 D． 　　5．下列說法正確的是 （ ） 　　A．有理數(shù)只是有限小數(shù) 　　B．無理數(shù)是無限小數(shù)　　 C．無限小數(shù)是無理數(shù) 　　 D．是分?jǐn)?shù) 　　6．下列說法錯誤的是 （ ） 　　A． 　B． 　 C．2的平方根是 　D． 　　7．若，且，則的值為 （ ） 　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D． 　　8．下列結(jié)論中正確的是 （ ） 　　A．?dāng)?shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的有理數(shù); 　B．?dāng)?shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的無理數(shù); 　　C. 兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù); 　　　D. 數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間還有無數(shù)個點(diǎn) 　　9．-27 的立方根與的平方根之和是 （ ） 　　A．0 　　　B．6　　　 C．0或-6　　　 D．-12或6 　　10．下列計(jì)算結(jié)果正確的是 （ ） 　　A．　B． C．　 D． 　　二．填空題: 　 11．下列各數(shù)：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、 　　　?、?.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、⑧0中,其中是有理數(shù)的有__________；無理數(shù)的有__________.（填序號） 　　12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________. 　　13．算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是__________； 立方根等于它本身的數(shù)是__________. 　　14. 的相反數(shù)是__________；絕對值等于的數(shù)是__________． 　　15．一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?7倍，則它的棱長變?yōu)樵瓉淼腳_________倍. 　　三、解答題： 計(jì)算或化簡： 　(1) 　(2) 　　　　　(3) 　　 (4) 　　　　(5) 　　(6)