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8 2空間幾何體的表面積與體積 考點探究 挑戰(zhàn)高考 考向瞭望 把脈高考 8 2空間幾何體的表面積與體積 雙基研習(xí) 面對高考 柱 錐 臺與球的側(cè)面積和體積 雙基研習(xí) 面對高考 2 rh r2h rl r1 r2 l ch Sh 思考感悟?qū)Σ灰?guī)則的幾何體應(yīng)如何求體積 提示 對于求一些不規(guī)則的幾何體的體積常用割補的方法 轉(zhuǎn)化為已知體積公式的幾何體進行解決 1 教材習(xí)題改編 一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm 瓶里所裝的水深為8cm 將一個鋼球完全浸入水中 瓶中水的高度上升到8 5cm 則鋼球的半徑為 A 1cmB 1 2cmC 1 5cmD 2cm答案 C 答案 B 3 2011年蚌埠質(zhì)檢 如圖 一個空間幾何體的主視圖 左視圖 俯視圖為全等的等腰直角三角形 如果直角三角形的直角邊長為1 那么這個幾何體的表面積為 答案 A 5 2009年高考上海卷 若等腰直角三角形的直角邊長為2 則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是 考點探究 挑戰(zhàn)高考 求解有關(guān)多面體表面積的問題 關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形 如棱柱中的矩形 棱臺中的直角梯形 棱錐中的直角三角形 它們是聯(lián)系高與斜高 邊長等幾何元素間的橋梁 從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系 求球的表面積關(guān)鍵是求其半徑 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積就是它們側(cè)面展開圖的面積 思路點撥 根據(jù)圖形特征 球心為三棱柱上 下底面的中心連線的中點 構(gòu)造三角形可求得球的半徑 代入公式可求得表面積 解析 三棱柱如圖所示 答案 B 名師點評 求幾何體的表面積要抓住關(guān)鍵量 如多面體的高 底面邊長及幾何體特征 旋轉(zhuǎn)體的高 底面半徑及幾何特征 球的半徑 同時注意整體思維的運用 以減少計算量 變式訓(xùn)練1 2009年高考海南 寧夏卷 一個棱錐的三視圖如圖 則該棱錐的全面積 單位 cm2 為 解析 選A 由三視圖可知原棱錐為三棱錐 記為P ABC 如圖 且底面為直角三角形 頂點P在底面的射影為底邊AC的中點 計算柱 錐 臺體的體積 關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高 應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面 將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解 2010年高考陜西卷 如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD AP AB BP BC 2 E F分別是PB PC的中點 1 證明 EF 平面PAD 2 求三棱錐E ABC的體積V 變式訓(xùn)練2有一根木料 形狀為直三棱柱形 高為6cm 橫截面三角形的三邊長分別為3cm 4cm 5cm 將其削成一個圓柱形積木 求該木料被削去部分體積的最小值 解 如圖所示 只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時 圓柱的體積最大 削去部分體積才能最小 設(shè)此時圓柱的底面半徑為R 圓柱的高即為直三棱柱的高 幾何體的表面積 除球以外 都是利用展開圖求得的 利用了空間問題平面化的思想 把一個平面圖形折疊成一個幾何體 再研究其性質(zhì) 是考查空間想象能力的常用方法 所以幾何體的展開與折疊是高考的一個熱點 1 有一根長為3 cm 底面半徑為1cm的圓柱形鐵管 用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈 并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端 則鐵絲的最短長度為多少 2 把長 寬分別為4 cm和3 cm的矩形卷成圓柱 如何卷能使體積最大 思路點撥 把圓柱沿著鐵絲的兩個端點落在的那條母線展開 將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離 解 1 把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開 在平面上得到矩形ABCD 如圖 由題意知BC 3 cm AB 4 cm 點A與點C分別是鐵絲的起 止位置 故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度 規(guī)律小結(jié) 幾何體的展開圖 方法技巧1 對于基本概念和能用公式直接求出棱柱 棱錐 棱臺與球的表面積的問題 要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決 如例1 2 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜 有關(guān)的計算公式無法運用 或者雖然幾何體并不復(fù)雜 但條件中的已知元素彼此離散時 我們可采用 割 補 的技巧 化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體 柱 錐 臺 或化離散為集中 給解題提供便利 如例2 3 有關(guān)柱 錐 臺 球的面積和體積的計算 應(yīng)以公式為基礎(chǔ) 充分利用幾何體中的直角三角形 直角梯形求有關(guān)的幾何元素 失誤防范1 面積 體積的計算中應(yīng)注意的問題 1 柱 錐 臺體的側(cè)面積分別是某側(cè)面展開圖的面積 因此 弄清側(cè)面展開圖的形狀及各線段的位置關(guān)系 是求側(cè)面積及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵 2 計算柱 錐 臺體的體積關(guān)鍵是找到相應(yīng)的底面積和高 充分運用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面 將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題 3 球的有關(guān)問題 注意球半徑與截面圓半徑 球心到截面距離構(gòu)成直角三角形 4 有關(guān)幾何體展開圖與平面圖形折成幾何體問題 在解決的過程中注意按什么線作軸來展或折 還要堅持被展或被折的平面 變換前 后在該面內(nèi)的大小關(guān)系與位置關(guān)系不變 在完成展或折后 要注意條件的轉(zhuǎn)化對解題也很重要 2 與球有關(guān)的組合體問題與球有關(guān)的組合體問題 一種是內(nèi)切 一種是外接 解題時要認真分析圖形 明確切點和接點的位置 確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系 并作出合適的截面圖 如球內(nèi)切于正方體 切點為正方體各個面的中心 正方體的棱長等于球的直徑 球外接于正方體 正方體的頂點均在球面上 正方體的體對角線長等于球的直徑 球與旋轉(zhuǎn)體的組合 通常作它們的軸截面進行解題 球與多面體的組合 通過多面體的一條側(cè)棱和球心 或 切點 接點 作出截面圖 考向瞭望 把脈高考 空間幾何體的表面積 體積是高考的必考知識點之一 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度為中 低檔 客觀題主要考查由三視圖得出幾何體的直觀圖 求其表面積 體積或由幾何體的表面積 體積得出某些量 主觀題考查比較全面 其中一步往往設(shè)置為表面積 體積問題 無論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力 預(yù)測2012年高考仍將以空間幾何體的表面積 體積為主要考查點 重點考查學(xué)生的空間想象能力 運算能力及邏輯推理能力 本題滿分12分 2010年高考課標(biāo)全國卷 如圖 已知四棱錐P ABCD的底面為等腰梯形 AB CD AC BD 垂足為H PH是四棱錐的高 解 1 證明 因為PH是四棱錐P ABCD的高 所以AC PH 又AC BD PH BD都在平面PBD內(nèi) 且PH BD H 所以AC 平面PBD 又AC 平面PAC 故平面PAC 平面PBD 6分 名師點評 1 本題易失誤的是 不會轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 一看到梯形就定向思維以致求不出底面積 用錯錐體體積的計算公式 2 計算空間幾何體的體積時要注意 分析清楚空間幾何體的結(jié)構(gòu) 搞清楚該幾何體的各個部分的構(gòu)成特點 進行合理的轉(zhuǎn)化和一些必要的等積變換 如三棱錐的體積計算就可以通過 換頂點 的方法進行等積變換 正確選用體積計算公式 在體積計算中都離不開空間幾何體的 高 這個幾何量 球除外 因此體積計算中的關(guān)鍵一步就是求出這個量 在計算這個幾何量時要注意多面體中的 特征圖 和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面 如圖所示 單位 cm 求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積 本部分內(nèi)容講解結(jié)束 點此進入課件目錄 按ESC鍵退出全屏播放 謝謝使用