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基于MATLAB的楊氏雙縫干涉實驗?zāi)M 摘要：根據(jù)光的雙縫干涉實驗理論，利用MATLAB編寫程序?qū)﹄p縫干涉實驗進(jìn)行模擬，繪制出雙縫干涉的圖樣和光強(qiáng)分布曲線，并且同步計算出相應(yīng)的條紋間距和對比度，自觀地展現(xiàn)了單色光的雙縫干涉這一物理現(xiàn)象，實驗結(jié)果與實際計算結(jié)果一致，為雙縫干涉的理論與實驗提供了有效的支持. 關(guān)鍵詞：MATLAB；雙縫干涉；實驗?zāi)M 0引言 MATLAB既是一種直觀、高效的計算機(jī)語言，同時又是一個科學(xué)計算平臺.它為數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)可視化、算法和應(yīng)用程序開發(fā)提供了最核心的數(shù)學(xué)和高級圖形工具.雙縫干涉實驗是利用分波振面法獲得相干光束，得到干涉圖樣.而利用MATLAB模擬實驗可以形象、直觀地演示實驗現(xiàn)象，探究光的干涉問題，而且不受實驗儀器和實驗場所的限制，可以通過改變模擬參數(shù)獲得不同的仿真結(jié)果，并在顯示屏上直接顯示出來，動態(tài)直觀地展現(xiàn)各種物理量之間的關(guān)系，對于理解光學(xué)理論具有積極的作用. 1 雙縫干涉實驗的理論分析 楊氏雙縫干涉實驗是利用分波振面法獲得相干光束的典型例了，如圖1所示，在普通單色光光源后放一狹縫S,S后又放有與S平行且等距離的兩平行狹縫S1,和S2.單色光通過兩個狹縫S1,S2射向屏幕，相當(dāng)于位置不同的兩個同頻率同相位光源向屏幕照射的疊合，由于到達(dá)屏幕各點的距離（光程）不同引起相位差，疊合的結(jié)果是在有的點加強(qiáng)，在有的點抵消，造成干涉現(xiàn)象。 d為雙縫的間隔,D為屏幕到雙狹縫平面的距離，y為O到P的距離.考慮兩個相干光源到屏幕上任意點P的距離差為 （1） （2） （3） （4） 引起的相位差為 設(shè)兩束相干光在屏幕上P點產(chǎn)生振幅相同，均為A0，則夾角為λ的兩個矢量A0的合成矢量的幅度為 （5） 光強(qiáng)B正比于振幅的平方，故P點光強(qiáng)為 （6） 下面我們從理論上加以推導(dǎo)，由上面的式（1-2）可得 （7） 考慮到d,y很小，結(jié)合（7）式有 （8） 這樣就得點P處于亮條紋中心的條件為 （9） 圖1 雙縫干涉示意圖 因此，亮條紋是等間距的.若采用紅光，其波長λ=500 nm,屏幕到雙狹縫平面的距離D=1 m，雙縫的間隔d=2mm，則相鄰條紋間距為 （10） 2 雙縫干涉實驗的計算機(jī)模擬 MATLAB提供了十分強(qiáng)大的圖形處理功能，應(yīng)用MATLAB可以實現(xiàn)各種二維圖形和三維圖形的繪制及控制與表現(xiàn).對于雙縫干涉實驗?zāi)M的基本過程是首先設(shè)置波長、屏幕到雙狹縫平面的距離、雙縫的間隔d,光屏的范圍，再將仿真光屏的y方向分成n個點，然后調(diào)用循環(huán)語句，根據(jù)光強(qiáng)公式，即公式(6)對各采樣點的光強(qiáng)進(jìn)行計算，調(diào)用image函數(shù)，繪制實驗仿真圖像，使用色譜函數(shù)colormap著色，調(diào)用plot函數(shù)，繪制光強(qiáng)分布曲線.這些函數(shù)都能根據(jù)數(shù)據(jù)自動選擇精度、步長，進(jìn)行顏色、光照及坐標(biāo)軸等控制，代替用戶完成大量底層工作，使用非常方便，根據(jù)上面的分析，編寫程序Program1.m文件如下，并運(yùn)行程序程序得到干涉條紋如圖2所示. 圖2 單色光的干涉條紋與光強(qiáng)變化曲線 圖2中左圖是光屏上的干涉圖條紋，右圖是光屏上沿y軸方向光強(qiáng)的變化曲線.從圖2中也不難看出，干涉條紋是以點n所對應(yīng)的水平線為對稱，沿上下兩側(cè)交替，等距離排列，從圖2上可以看出相鄰亮條紋中心間距為2.5x10-4 m.與式(10)計算結(jié)果相一致。 如果改變波長、屏幕到雙狹縫平面的距離、雙縫的問隔、光屏的范圍等參數(shù)，可以繪出其相應(yīng)的干涉條紋，亦可以在一張圖上繪出不同波長單色光的干涉條紋，可以清楚地看出，波長越長，干涉條紋的問隔越寬這一現(xiàn)象.理論分析告訴我們，這與楊氏干涉條紋間隔與波長成正比是一致的，理論推導(dǎo)和實驗結(jié)果相同. 進(jìn)一步考慮到純粹的單色光不易獲得，通常都有一定的光譜寬度，這種光的非單色性對光的干涉會產(chǎn)生何種效應(yīng)，下面我們用MATLAB計算并仿真這一問題. 非單色光的波長不是常數(shù)，假定光源的光譜寬度為中心波長的10%，并且在該區(qū)域均勻分布.近似取19根譜線，相位差的計算表達(dá)式求出的將是不同譜線的19個不同相位.計算光強(qiáng)時應(yīng)把這19根譜線產(chǎn)生的光強(qiáng)疊加并取平均值，即 （11） 將程序Program1.m中的9,10兩句按照公式(11)換成以下4句，由此構(gòu)成的程序就可以仿真非單色光的干涉問題. 圖3 非單色光的干涉條紋與光強(qiáng)變化曲線 運(yùn)行修改后的程序得到的干涉條紋如圖3所示.從圖3可以看出，光的非單色性導(dǎo)致干涉現(xiàn)象的減弱，光譜很寬的光將不能形成干涉。 3 結(jié)語 MATIAB軟件開發(fā)工具為抽象物理現(xiàn)象的計算機(jī)動態(tài)模擬提供了簡單、高效的編程環(huán)境，光的干涉模擬效果與實驗結(jié)果相一致。本文在分析光干涉與衍射現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種運(yùn)用MATLAB模擬光的干涉現(xiàn)象的方法，該方法能夠簡便、直觀地展現(xiàn)了光的干涉這一物理現(xiàn)象.進(jìn)一步可以改變程序參數(shù),將光的干涉、衍射等物理現(xiàn)象模擬出來。 參考文獻(xiàn)： [1]胡盤新，湯毓駿.普通物理簡明教程:下冊[M].北京:高等教育出版2004:217-260. [2]胡守信，李伯年.基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗[M].北京:科學(xué)出版社，2004:139-144. [3]任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn):MATLAB6.X,7.X [M].北京:高等教育出版社，2007:39-44. [4]徐代升，陶家友，吳健輝，等.單色光楊氏十涉圖樣計算機(jī)寫真[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2009,22(3) : 28-31. [5]符運(yùn)良.MATLAB在光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].華南熱帶農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報，2004,10(3):55-57. 附錄 程序一： clear all %Program1.m lam=500e-9;%輸入波長 a=2e-3;D=1; ym=5*lam*D/a; xs=ym;%設(shè)定光屏的范圍 n=101; ys=linspace（-ym, ym,n) ;%把光屏的y方向分成101點 for i=1:n r1=sqrt((ys (i) -a/2) .^2+D^2); r2=sqrt((ys (i) +a/2) ^2+D^2); phi=2*pi* (r2-r1)/lam; B(i,:)=4*cos(phi/2).^2; end N=255 ;%確定用的灰度等級為255級 Br=(B/4.0) *N;%使最大光強(qiáng)對應(yīng)于最大灰度級(白色) subplot(1,2,1) image(xs, ys, Br);%畫干涉條紋 colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B, ys)%畫出光強(qiáng)變化曲線 程序二： clear all %Program1.m lam=500e-9;%輸入波長 a=2e-3;D=1; ym=5*lam*D/a; xs=ym;%設(shè)定光屏的范圍 n=101; ys=linspace（-ym, ym,n) ;%把光屏的y方向分成101點 for i=1:n r1=sqrt((ys (i) -a/2) .^2+D^2); r2=sqrt((ys (i) +a/2) ^2+D^2); N1=19;dL=linspace(-0.1,0.1,N1);%設(shè)光譜相對寬度10%， lam1=lam*(1+dL);%分19根譜線，波長為一個數(shù)組 phil=2*pi*(r2-r1)./lam1 ;%從距離差計算各波長的相位差 B(i, :) =sum(4*cos(phil/2).^2)/N1;%疊加各波長并影響計算光強(qiáng) end N=255 ;%確定用的灰度等級為255級 Br=(B/4.0) *N;%使最大光強(qiáng)對應(yīng)于最大灰度級(白色) subplot(1,2,1) image(xs, ys, Br);%畫干涉條紋 colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B, ys)%畫出光強(qiáng)變化曲線