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專題五情境應(yīng)用型問題 情境應(yīng)用問題是以現(xiàn)實(shí)生活為背景 取材新穎 立意巧妙 重在考查閱讀理解能力和數(shù)學(xué)建模能力 讓學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 其主要類型有代數(shù)型 包括方程型 不等式型 函數(shù)型 統(tǒng)計(jì)型 和幾何型兩大類 解決代數(shù)型應(yīng)用問題 關(guān)鍵是審題 弄清關(guān)鍵詞句的含義 重點(diǎn)是分析 找出問題中的數(shù)量關(guān)系 并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子 進(jìn)行整理 運(yùn)算 解答 解決幾何型應(yīng)用問題 一般是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題 再運(yùn)用相關(guān)的幾何知識(shí)進(jìn)行解答 要注重?cái)?shù)形結(jié)合 充分利用 圖形 的直觀性和 數(shù) 的細(xì)微性 三個(gè)解題方法 1 方程 組 不等式 函數(shù)型情境應(yīng)用題 解決這類問題的關(guān)鍵是針對(duì)背景材料 設(shè)定合適的未知數(shù) 找出相等關(guān)系 建立方程 組 不等式 函數(shù)型模型來解決 2 統(tǒng)計(jì)概率型應(yīng)用題 解決這類問題 要能從多個(gè)方面去收集數(shù)據(jù)信息 特別注意統(tǒng)計(jì)圖表之間的相互補(bǔ)充和利用 通過對(duì)數(shù)據(jù)的整理 能從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)去描述 分析 并作出合理的推斷和預(yù)測 3 幾何型情境應(yīng)用題 解決這類問題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上 對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)爻橄笈c概括 建立恰當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ?從而確定某種幾何關(guān)系 利用相關(guān)幾何知識(shí)來解決 幾何求值問題 當(dāng)未知量不能直接求出時(shí) 一般需設(shè)出未知數(shù) 繼而建立方程 組 用解方程 組 的方法去求結(jié)果 這是解題中常見的具有導(dǎo)向作用的一種思想 方程型情境應(yīng)用題 例1 如圖 一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍 豬舍的一邊利用長為12m的住房墻 另外三邊用25m長的建筑材料圍成 為方便進(jìn)出 在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門 所圍矩形豬舍的長 寬分別為多少時(shí) 豬舍面積為80m2 解 設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為 25 2x 1 m 由題意得x 25 2x 1 80 化簡 得x2 13x 40 0 解得 x1 5 x2 8 當(dāng)x 5時(shí) 26 2x 16 12 舍去 當(dāng)x 8時(shí) 26 2x 10 12 答 所圍矩形豬舍的長為10m 寬為8m 點(diǎn)評(píng) 本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用 矩形的面積公式的運(yùn)用及一元二次方程的解法的運(yùn)用 解答時(shí)尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 2014 山西 某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為46000平方米 施工隊(duì)在綠化了22000平方米后 將每天的工作量增加為原來的1 5倍 結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程 1 該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成多少平方米 2 該項(xiàng)綠化工程中有一塊長為20米 寬為8米的矩形空地 計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地 它們的面積之和為56平方米 兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道 如圖所示 問人行通道的寬度是多少米 不等式型情境應(yīng)用題 例2 2014 河北 某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長為800米的正方形ABCD 如圖 和圖 現(xiàn)有1號(hào) 2號(hào)兩游覽車分別從出口A和景點(diǎn)C同時(shí)出發(fā) 1號(hào)車順時(shí)針 2號(hào)車逆時(shí)針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛 供游客隨時(shí)免費(fèi)乘車 上 下車的時(shí)間忽略不計(jì) 兩車速度均為200米 分 探究 設(shè)行駛時(shí)間為t分 1 當(dāng)0 t 8時(shí) 分別寫出1號(hào)車 2號(hào)車在左半環(huán)線離出口A的路程y1 y2 米 與t 分 的函數(shù)關(guān)系式 并求出當(dāng)兩車相距的路程是400米時(shí) t的值 2 t為何值時(shí) 1號(hào)車第三次恰好經(jīng)過景點(diǎn)C 并直接寫出這一段時(shí)間內(nèi)它與2號(hào)車相遇過的次數(shù) 發(fā)現(xiàn) 如圖 游客甲在BC上的一點(diǎn)K 不與點(diǎn)B C重合 處候車 準(zhǔn)備乘車到出口A 設(shè)CK x米 情況一 若他剛好錯(cuò)過2號(hào)車 便搭乘即將到來的1號(hào)車 情況二 若他剛好錯(cuò)過1號(hào)車 便搭乘即將到來的2號(hào)車 比較哪種情況用時(shí)較多 含候車時(shí)間 決策 已知游客乙在DA上從D向出口A走去 步行的速度是50米 分 當(dāng)行進(jìn)到DA上一點(diǎn)P 不與點(diǎn)D A重合 時(shí) 剛好與2號(hào)車迎面相遇 1 他發(fā)現(xiàn) 乘1號(hào)車會(huì)比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少 請你簡要說明理由 2 設(shè)PA s 0 s 800 米 若他想盡快到達(dá)出口A 根據(jù)s的大小 在等候乘1號(hào)車還是步行這兩種方式中 他該如何選擇 解 探究 1 由題意 得y1 200t y2 200t 1600 當(dāng)相遇前相距400米時(shí) 200t 1600 200t 400 t 3 當(dāng)相遇后相距400米時(shí) 200t 200t 1600 400 t 5 答 當(dāng)兩車相距的路程是400米時(shí) t的值為3分鐘或5分鐘 點(diǎn)評(píng) 現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的 許多問題有時(shí)并不需要研究他們之間的相等關(guān)系 而只需確定某個(gè)量的變化范圍即可對(duì)所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識(shí) 本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用 根據(jù)已知得出不等式 求出所有方案是解題關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 2015 北海 某市居民用電的電價(jià)實(shí)行階梯收費(fèi) 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表 1 已知李叔家四月份用電286度 繳納電費(fèi)178 76元 五月份用電316度 繳納電費(fèi)198 56元 請你根據(jù)以上數(shù)據(jù) 求出表格中a b的值 2 六月份是用電高峰期 李叔計(jì)劃六月份電費(fèi)支出不超過300元 那么李叔家六月份最多可用電多少度 函數(shù)型情境應(yīng)用題 例3 2015 安徽 為了節(jié)省材料 某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤 岸堤足夠長 為一邊 用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的 三塊矩形區(qū)域 而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等 設(shè)BC的長度為xm 矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2 1 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 并注明自變量x的取值范圍 2 x為何值時(shí) y有最大值 最大值是多少 點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用 以及列代數(shù)式 熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 2015 黔南州 為了解決都勻市交通擁堵情況 經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析 都勻彩虹橋上的車流速度v 千米 小時(shí) 是車流密度x 輛 千米 的函數(shù) 當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛 千米時(shí) 造成堵塞 此時(shí)車流速度為0千米 小時(shí) 當(dāng)車流密度為20輛 千米時(shí) 車流速度為80千米 小時(shí) 研究表明 當(dāng)20 x 220時(shí) 車流速度v是車流密度x的一次函數(shù) 1 求彩虹橋上車流密度為100輛 千米時(shí)的車流速度 2 在交通高峰時(shí)段 為使彩虹橋上車流速度大于40千米 小時(shí)且小于60千米 小時(shí) 應(yīng)控制彩虹橋上的車流密度在什么范圍內(nèi) 3 當(dāng)車流量 輛 小時(shí) 是單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù) 即 車流量 車流速度 車流密度 當(dāng)20 x 220時(shí) 求彩虹橋上車流量y的最大值 幾何型情境應(yīng)用題 點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的性質(zhì) 正方形的判定和性質(zhì) 全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用 O P B三點(diǎn)共線是解答本題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 2014 德州 問題背景 如圖 在四邊形ABCD中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F分別是BC CD上的點(diǎn) 且 EAF 60 探究圖中線段BE EF FD之間的數(shù)量關(guān)系 小王同學(xué)探究此問題的方法是 延長FD到點(diǎn)G 使DG BE 連接AG 先證明 ABE ADG 再證明 AEF AGF 可得出結(jié)論 他的結(jié)論應(yīng)是