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黑龍江工程學院本科生畢業(yè)設計
摘 要
磁流變阻尼器作為優(yōu)秀的半主動控制器件，已被廣泛運用于各種場合的振動控制。為改善汽車的乘坐舒適性和行駛安全性，提出一種汽車磁流變半主動懸架的控制策略。采用磁流變減振器的車輛半主動懸架系統(tǒng)，由于磁流變阻尼器結構簡單、能耗低、反應迅速且阻尼可調(diào)，正在成為新型車輛懸掛的發(fā)展方向，本文基于磁流變可控流體本構關系的Bingham模型，對影響車用磁流變減振器的阻尼力的各種因素進行了綜合分析。本文中介紹車用阻尼器的應用與研究現(xiàn)狀；磁流變液的組成及磁流變效應基本原理，分析磁流變減振器的工作原理及其數(shù)學模型，結合國內(nèi)外最新研究成果，綜述用于汽車懸架的MR減振器的仿真模型、控制方法。磁流變液作為流變學特性可控的一種智能材料，應用十分的廣泛。
關鍵詞：半主動懸架；磁流變效應；磁流變減振器；仿真模型；磁流變液
ABSTRACT
Magnetorheological damper is one of the most excellent new devices for semi-active control.A control strategy of automobile magneto-rheological semi-active suspension was proposed to improve the riding comfortableness and traveling safety of automobile.Mage- torhological dampers will be an ideal componet of semi-active vibration control in vehicle suspension system for reasons of structure,small volume,energy saving,rapid response and smooth damping.In this paper,based on Bingham model,the damping force of a MRF da- mper is analyzed.And all the factors that affect the damping force of an MRF damper are discussed.In addition the application and research status of automobile damper were intro- duce as well as the principle of magneto-rheological effect and the composition of the mag- neto-rheological fluid.Working principles and models of the automobile magneto-rheologi- acl damper was analyzed and the future focus was discussed after summaring the simulation models,control method and testing technology of automobile mageneto-rheologiacl damper of automobile suspensionAs a kind of controllable smart material,magneto-rheological fluid has gained the extensive attention.
Key words: Semi-active suspension；Magneto-rheological effect；Magneto-rheological damper；Simulation model；Magneto-rheologica fluid
I
黑龍江工程學院本科生畢業(yè)設計
目 錄
摘要 ?
Abstract Π
第1章 緒論 1
1.1 概述 1
1.2 磁流變液的研究 1
1.3 磁流變阻尼器研究現(xiàn)狀 2
1.4 研究的主要內(nèi)容 3
第2章 磁流變阻尼器的力學模型 5
2.1磁流變液效應及流變機理 5
2.2 磁流變阻尼器工作模式 6
2.3 參數(shù)計算模型 7
2.4 本章小結 9
第3章 磁流變阻尼器的設計 11
3.1 磁路設計的影響因素 10
3.1.1密封件的選擇 10
3.1.2 漏磁分析 11
3.1.3磁性材料的選擇 12
3.1.4退磁 13
3.1.5磁流變阻尼器的動態(tài)范圍 13
3.1.6阻尼間隙的選取對阻尼器性能的影響 13
3.1.7阻尼通道有效長度的選取對阻尼器性能的影響 13
3.1.8磁路結構的分析 14
3.2磁流變減振器線圈的設計 14
3.3磁流變減振器的結構設計 15
3.3.1結構方案的確定 15
3.3.2磁流變減振器結構優(yōu)點 16
3.4磁流變減振器磁路的設計 16
3.4.1有關參數(shù)的初步確定 16
3.4.2已有參數(shù)的確定 17
3.5磁路相關參數(shù)的計算 19
3.5.1 磁路的計算 19
3.6 工作缸的計算 21
3.7 本章小結 22
第4章 磁流變減振器基于Matlab的仿真分析 24
4.1減振器的阻尼力計算模型 24
4.2磁流變減振器的仿真分析 28
4.3本章小結 29
結 論 31
參考文獻 32
致 謝 33
附 錄 34
附錄A外文文獻原文 34
附錄B外文文獻翻譯 37
黑龍江工程學院本科生畢業(yè)設計
第1章 緒 論
1.1 概述
汽車在行駛過程中，由于路面的不平坦，導致作用于車輪上的垂直反力、縱向反力和側向反力起伏波動，通過懸架傳遞到車身，從而產(chǎn)生振動和沖擊。這些振動和沖擊傳到車架與車身時可能引起汽車機件的早期損壞，傳給乘員和貨物時，將使乘員感到極不舒服，貨物也可能受損傷，嚴重影響車輛的平順性和操縱穩(wěn)定性以及車輛零部件的疲勞壽命。為了緩解沖擊，在汽車懸架中裝有彈性元件，但彈性系統(tǒng)在沖擊時產(chǎn)生振動。持續(xù)的振動易使乘員感到不舒適和疲勞，因此汽車懸架中裝有阻尼器。
傳統(tǒng)被動懸架不能適應復雜的道路激勵和不斷變化的行駛工況，因此開發(fā)一種能夠根據(jù)路面情況和車輛運行狀態(tài)的變化、實時調(diào)節(jié)其特性，既能保證汽車的操縱穩(wěn)定性，又能使汽車的乘坐舒適性達到最佳的狀態(tài)的智能懸架系統(tǒng)勢在必行。近年來，半主動控制懸架系統(tǒng)，能夠大幅度提高車輛的乘坐舒適性和操縱穩(wěn)定性，非常適合用于車輛懸架系統(tǒng)的特點，使對它的研究有了較大發(fā)展。
磁流變阻尼器作為半主動控制懸架的執(zhí)行元件，以磁流變液為介質(zhì)，通過對輸入電流的控制，使其對外加磁場強度發(fā)生改變，進而可在毫秒級使磁流變液的流變性能發(fā)生變化，實現(xiàn)流體和半固體之間的轉變，從而能夠提供可控阻尼力，其具有結構簡單、控制方便、相應迅速、消耗功率小和輸出力大等優(yōu)點。目前國內(nèi)外對雙筒式磁流變阻尼器研究內(nèi)容較少，因此，對雙筒式磁流變阻尼器的設計以十分必要。
1.2 磁流變液的研究
所謂磁流變液（Magnetorheological Fluid, MFR），是一種在外加磁場的作用下起粘性和塑性等流變特性發(fā)生急劇變化的材料。其基本特征是在外加磁場的作用下載毫秒的時間內(nèi)能夠快速、可逆地從自由流動的液態(tài)轉變?yōu)榘牍腆w，并且呈現(xiàn)可控的屈服強度。
磁流變液主要由三部分組成，他們分別為軟磁性顆粒、載液以及為了防止磁性顆粒沉降而添加的在總組成成分中所占比例很少的添加劑。
1） 軟磁性顆粒
軟磁性顆粒主要由鐵鈷合金、鐵鎳合金、羥基鐵等常規(guī)的性能優(yōu)良的顆粒，使用最多的磁性顆粒為羥基鐵粉，因為它是工業(yè)化生產(chǎn)，產(chǎn)量大、價格便宜，一般成球狀，直徑尺寸為1-10微米，其具有如下特點：
（1）高磁導率，這可以使顆粒在較小的外磁場下，便可磁化成具有較大磁能的顆粒，從而產(chǎn)生較大的剪切屈服強度，以滿足磁流變液低能耗的性能指標；
（2）低磁矯頑力，即具有良好的退磁能力，基本上不存在剩磁，這是磁流變液可以恢復零磁場狀態(tài)的要求；
（3）體積小、內(nèi)聚力??；
（4）具有高飽和磁化強度。
２）載液
可用作載液的液體有硅油、礦物油、合成油、水合乙二醇等，對載液的要求是溫度穩(wěn)定性好、非易燃，且不會造成污染，其具有一下特征：
（1）高沸點、低凝固點，這可以保證磁流變液有較高的工作溫度范圍，在工作過程中，使磁流變的物理、化學性能穩(wěn)定；
（2）高密度，縮小載液體與磁極化粒子的密度差解決磁流變液沉淀問題的最有效的方法；
（3）低粘度，確保磁流變液具有零磁場粘度低的要求，使磁流變器件具有更大的調(diào)劑范圍；
（4）化學穩(wěn)定性好；
（5）具備較高的擊穿磁場；
（6）無毒、無異味、價格低廉。
1.3 磁流變阻尼器研究現(xiàn)狀
磁流變阻尼器因其具有結構簡單、控制方便、響應迅速、消耗功率小、抗污染能力強和輸出力大、阻尼力連續(xù)可調(diào)等優(yōu)點，在汽車、機械、土木建筑等的振動領域得到了廣泛的應用和發(fā)展。目前，磁流變阻尼器已取得了廣泛地發(fā)展和應用，其結構形式的研發(fā)也層出不窮，根據(jù)設計結構出現(xiàn)的時間順序，可分為常規(guī)磁流變阻尼器、改進新型磁流變阻尼器以及全新型磁流變阻尼器。
常規(guī)磁流變阻尼器，即根據(jù)磁流變阻尼器的工作模式而設計出，單級活塞線圈內(nèi)置式磁流變阻尼器。重慶大學的廖昌榮、余淼等人是國內(nèi)最早研究磁流變阻尼器的研究人員，他們根據(jù)磁流變體的Bingham模型描述，提出了混合工作模式的汽車磁流變減振器的設計原理，如圖1.1活塞在工作缸內(nèi)作往復直線運動，利用線圈產(chǎn)生的磁場來控制磁流變液在阻尼通道中的流動，對減振器的阻尼力實現(xiàn)控制。并且按照長安微型汽車的技術和磁流變液體的性能設計和制作了微型汽車磁流變減振器，并根據(jù)長安微型汽車前懸架減振器的技術條件對此進行了實驗測試。
圖1.1 混合模式磁流變阻尼器工作原理
佛山大學汪建曉以及華南理工大學王世旺等人研制了一種自定心擠壓式磁流變彈性阻尼器。以上幾種磁流變阻尼器的設計都是在磁流變阻尼器幾種工作模式基礎上研制出來的單級活塞，線圈內(nèi)置換繞的磁流變阻尼器。
哈爾濱工業(yè)大學的涂奉臣、陳照波等人根據(jù)工程上出現(xiàn)的常規(guī)阻尼器在高頻振動是剛度硬化現(xiàn)象，使高頻傳遞率增大而提出一種帶有解耦結構的新型磁流變阻尼器，其結構上的改動并不大，只是將活塞與活塞桿分開，然后利用解耦機構將活塞與活塞桿連接起來，其解耦結構由兩個限位擋板和兩個螺旋彈簧組成。
南京林業(yè)大學的徐曉美等人提出了一種線圈繞于工作缸外的新型磁流變阻尼器。為了避免將激勵線圈繞于工作缸外，磁流變阻尼器中大部分磁力線將平行于磁流變液的流動方向，而無法滿足磁流變液產(chǎn)生剪切屈服強度的現(xiàn)象，此結構在工作缸外增加了磁靴結構，既減少了漏磁，又引導磁路使磁力線垂直于磁流變液流動的方向。寧波大學的蘇會強等人根據(jù)磁流變液在磁場作用下可進行固-液轉換的特點，設計了一種回轉式阻尼器。并建立了相應的阻尼器力矩模型。
1.4 研究的主要內(nèi)容
本文主要內(nèi)容是對普通的汽車用減振器進行改進，在原有的雙筒減振器的基礎上增加上線圈和磁流變液，其主要的結構尺寸工作缸的外徑和內(nèi)徑、活塞的直徑等都沒有發(fā)生變化，在原有的這些數(shù)據(jù)的基礎上加上了線圈和線圈活塞，對線圈的匝數(shù)，工作間隙的大小，磁路的設計等方面進行了研究和設計。在查閱資料的基礎上，選定了工作模式和阻尼器的力學模型。在給定的工作要求的情況下，對一些重要的部件進行了校核，最后對設計的磁流變減振器進行了仿真優(yōu)化。
主要包括對磁路的設計、結構的設計和最后的仿真分析。
（1） 磁路的設計
在磁流變減振器的設計過程中，磁路的設計是一個很重要的環(huán)節(jié)，決定了磁流變減振器工作范圍和效率的大小，在磁路的設計過程中，還要重視對材料的選擇，以避免磁阻和漏磁的過大，使減振器不能達到預期的低耗和工作范圍寬的目的。選擇合適就算模型，就本身的實際出發(fā)選擇最優(yōu)的形式，使得減振器在工作過程中能達到設計的要求。
（2） 結構的設計
磁流變減振器是基于普通的雙筒減振器改變而來的，其中的外形結構和活塞桿的尺寸都沒有改變，可按照某微型汽車的原始減振器的結構參數(shù)進行設計，不同點在于，內(nèi)部增加了線圈和纏繞線圈的活塞，這些是需要設計和計算的，也是本論文設計的又一個重點，基于混合模式的磁流變減振器的基礎上，在活塞上開有若干個環(huán)槽來增加阻尼力，使減震器的阻尼力增大。
（3） 仿真
基于Bingham基礎上運用Matlab進行仿真分析，對最終的參數(shù)進行比對分析，并得出仿真的結果。
第2章 磁流變阻尼器的力學模型
2.1磁流變液效應及流變機理
20世紀40年代Rabinow首次發(fā)現(xiàn)磁流變現(xiàn)象。在零磁場作用下，磁流變液表現(xiàn)為牛頓流體的特征，其剪切應力等于粘度與剪切率的乘積，在外加磁場的作用下，磁流變液表現(xiàn)為賓漢姆流體的特征，其剪切應力由液體的粘滯力和屈服應力兩部分組成，其流變特性的改變表現(xiàn)為屈服應力隨磁場強度的增加而單調(diào)增加，而液體的粘度不變，當外加磁場達到某臨界值時，磁流變液停止流動達到固化，當去掉外加磁場時，它又恢復到原來的狀態(tài)，其響應時間僅為幾毫秒。磁流變液的這種隨外加磁場強度變化而改變流變特性的現(xiàn)象被稱為磁流變效應。
磁流變效應是磁流變技術和磁流變液走向工程應用的基礎，它具有下列特性：
（1）在外加磁場的作用下，磁流變液的表觀粘度發(fā)生變化的過程是連續(xù)的、無級的，但這一變化過程是非線性的。
（2）在外加磁場的作用下，某磁場強度下，流體停止流動達到固化，當去掉外加磁場時，流體又恢復到原來的狀態(tài)，磁流變體的由液態(tài)轉換成固態(tài)是可逆的，若這一轉化過程是不可逆的話，他的工程應用價值將會受到極大的影響。
（3）磁流變效應對雜質(zhì)不敏感。
（4）可以采用低壓，大電流的信號來控制磁場強度的強弱，從而控制磁流變效應，這種控制是安全且容易實現(xiàn)的。
（5）在外加磁場的作用下，磁流變體產(chǎn)生磁流變效應的響應時間為毫秒級，這一特性能夠滿足車輛懸架振動控制的要求。
（6）磁流變效應所需的能耗較低，即使發(fā)生液體與固體之間的轉換也不會吸收或者放出大量的能量，這為磁流變液在車輛工程中的應用提供了方便。
（7）在外加磁場的作用下磁流變液體的表觀粘度發(fā)生的變化時可控制的，這一特性為人們提供了工程應用的基礎。
在顯微鏡下觀察可以發(fā)現(xiàn)，在零磁場下，磁流變液的顆粒分散是雜亂的，而在磁場作用下分布卻是有規(guī)律的，且沿磁場方向成鏈束狀排列，其作用原理如圖2.1所示。
圖2.1 磁流變顆粒零磁場下的作用原理圖
這種顆粒在磁場下成鏈的原因存在很多的假說，但具有代表性的為場致偶極矩理論。該理論認為在外加磁場的作用下，磁流變體的磁極化是產(chǎn)生磁流變效應的原因。而磁流變流體的變稠和產(chǎn)生抗剪屈服現(xiàn)象，也是由于磁場引起的作用力形成的。整個磁流變效應的發(fā)生過程是：磁場作用下分散顆粒發(fā)生磁極化，形成偶極子現(xiàn)象，帶有偶極矩的顆粒產(chǎn)生定向運動，顆粒在磁力的作用下定向排列，顆粒從無序隨機狀態(tài)到有序化、成鏈、成束或形成某種結構，對外呈現(xiàn)明顯的表觀粘度增大、凝固以及剪切屈服應力，即磁流變效應。在磁場作用下固體顆粒的磁極化是產(chǎn)生磁流變效應的主要因素。
在外加磁場作用下，顆粒發(fā)生上述所述的磁極化現(xiàn)象，于是定向移動形成偶極子鏈。當外加磁場強度較弱時，鏈數(shù)量少、長度短、直徑也較細，剪斷它們所需外力也較小。隨著外加磁場強度的不斷增加，取向與外加磁場成較大角度的磁疇全部消失，留存的磁疇開始向外磁場方向旋轉，磁流變液中鏈的數(shù)量增加，長度增加，直徑變粗，磁流變液對所表現(xiàn)的剪切應力增強，再繼續(xù)增加磁場，所有磁疇沿外加磁場方向整齊排列，磁極化達到飽和，磁流變液的剪切應力也達到飽和。磁流變液的屈服應力值隨外加磁場的增加而增加。但當達到某一飽和值時，如果再增加磁場強度，磁流變液的力學性質(zhì)便會基本上不會改變，即達到了飽和磁場下的動態(tài)屈服應力。
2.2 磁流變阻尼器工作模式
磁流變阻尼器是一種以磁流變液為介質(zhì)的半主動控制阻尼器，通過對輸入電流的控制，使其外加磁場強度發(fā)生變化，進而可在毫秒級使磁流變液的流變性能發(fā)生變化，實現(xiàn)流體和半固體之間的轉變，從而能夠提供可控阻尼力的目的。當磁流變液流過活塞流過阻尼器上下兩腔時，由于磁流變阻尼器活塞與工作缸之間的間隙很小，因此磁流變液流過的區(qū)域可以近似看似為流過一個無限大的平行金屬板，由于流體力學特性，可將磁流變阻尼器工作模式分為四種類型，他們分別是閥式、剪切式、擠壓式以及剪切閥式，如圖2.2所示。
圖2.2 磁流變阻尼器工作模式示意圖
（1）閥式（valved mode），磁流變液在壓力的作用下流過固定不動的兩極板之間，外加磁場垂直穿過極板作用于磁流變液，從而使磁流變液的流動特性發(fā)生變化而產(chǎn)生阻尼力的變化。
（2）剪切式（shearing mode）,磁流變液流過相對運動的兩極板之間，外加磁場垂直穿過極板作用于磁流變液，這種運動使磁流變液產(chǎn)生剪切力，從而使磁流變液的流動特性發(fā)生變化而產(chǎn)生阻尼力的變化，流動阻力的變化通過外加磁場控制。
（3）擠壓式（squeezed mode），磁流變液在上下運動極板的作用下向四周流動，極板移動反向與磁場方向相同，磁場方向與磁流變液流動方向垂直，從而使磁流變液的流動特征發(fā)生變化而產(chǎn)生阻尼力的變化，流動阻尼力的變化通過外加磁場控制。
（4）剪切閥式（shearing-valve mode）,也稱混合式，磁流變液即像閥式那樣在壓力作用下通過兩極板，又像剪切式那樣受到兩極板相對運動時產(chǎn)生剪切作用，從而使磁流變液的流動特性發(fā)生變化而產(chǎn)生阻尼力的變化，流動阻尼力的變化通過外加磁場控制。
2.3 參數(shù)計算模型
剪切閥式磁流變阻尼器工作于剪切和流動的組合模式，具有結構簡單、磁路設計方便、出力大等優(yōu)良特性，其工作原理為阻尼器內(nèi)腔充滿了磁流變液，活塞在工作缸內(nèi)作往復直線運動，活塞與缸體發(fā)生相對運動，擠壓磁流變液迫使其流過缸體與活塞間的間隙，在沒有外加磁場作用下，磁流變液以牛頓流體作粘性流動，符合牛頓流體的本構關系；當加上磁場后，磁流變液就會瞬間由牛頓流體轉變?yōu)檎乘荏w，粘度呈數(shù)量級地提高，流體的流動阻力增加，表現(xiàn)為具有一定屈服力的類似固體的本構關系。此時磁場對磁流變液的作用可用Bingham本構關系進行描述，如圖2.3，其本構關系方程為：
圖2.3 Bingham模型
（2.1）
式中參數(shù)c變化范圍2-3，本文c=2，因此剪切閥式磁流變阻尼器阻尼力為：
公式可以改為：
（2.2）
（2.3）
（2.4）
從上式可以看出磁流變阻尼器的阻尼力由兩部分組成，一部分由液體流動時液體粘性產(chǎn)生的粘滯阻尼力，而另一部分由磁流變效應產(chǎn)生的庫倫阻尼力組成。當阻尼器幾何尺寸確定后，假設磁流變液的粘度系數(shù)為常數(shù)，粘滯阻尼力只是活塞運動速度的函數(shù)，而庫倫阻尼力只是磁流變液屈服應力的函數(shù)，屈服應力受磁場強度控制，因而可以認為庫倫阻尼力只是勵磁電流的函數(shù)。
2.4 本章小結
本章主要論述了磁流變阻尼器的力學模型，說明了磁流變阻尼器中磁流變液在工作過程中的機理，介紹了Bingham數(shù)學模型，簡要說明了磁流變阻尼器的機構和工作原理。分析了現(xiàn)有的幾種工作模式，并最后選擇了混合式的工作模式。闡述了阻尼力的求導原則。
第3章 磁流變阻尼器的設計
磁流變阻尼器是一種以磁流變液為介質(zhì)的半主動控制阻尼器，其具有結構簡單、控制方便、響應迅速、消耗功率小、抗污染能力強和輸出力大等優(yōu)點。本文對基于剪切閥工作模式的雙筒式磁流變阻尼器進行設計。
磁流變阻尼器設計應該滿足以下設計準則：外加垂直于磁流變液流動方向的磁場對產(chǎn)生磁流變效應的貢獻應最大，而平行于磁流變液流動方向的磁場則對產(chǎn)生磁流變效應的貢獻最小。在采用剪切模式、流動模式和擠壓模式的阻尼器式，磁力線的方向必須垂直于阻尼通道內(nèi)磁流變液的流動方向，才能產(chǎn)生磁流變效應，這樣阻尼器才能產(chǎn)生所需的阻尼力。故在設計磁流變阻尼器使，應使阻尼通道中的磁流變液的流動方向垂直于磁場方向，以便充分利用磁流變效應來改變阻尼器的阻尼力。由于汽車懸架阻尼器的行程較大，且在結構尺寸和結構強度上有嚴格的要求，利用磁流變液來開發(fā)汽車磁流變阻尼器不能踩用擠壓模式，而只能采用流動模式、混合模式。本文采用的是混合模式。由于磁芯中磁感應強度和磁場強度的關系是非線性的，因而，磁路中磁通和磁勢的關系也是非線性的。當磁芯受到交變的磁激勵時，磁芯處于反復磁化過程中，磁芯中會產(chǎn)生功率損失。另外，磁路的磁通與磁勢的關系除了滿足磁路的克?；舴蚨赏?，還要滿足電磁感應定律。通過電流將導致渦流的產(chǎn)生，渦流的出現(xiàn)使磁芯中磁通與線圈中電流的波形發(fā)生變化。同時，我們還要注意在阻尼器的應用階段存在一些問題需要進一步研究：（1）穩(wěn)定問題，其中包括磁流變流體的穩(wěn)定性以及阻尼器性能的穩(wěn)定性；（2）還原問題；（3）誤差問題，包括阻尼力、磁路磁場強度的計算值和實際值的誤差；（4）補償問題，包括磁流變液流體的滲漏補償以及控制系統(tǒng)的變量補償；（5）使用壽命問題，包括磁流變液、磁路線圈、密封系統(tǒng)的使用壽命；（6）文維修問題，主要是維修保養(yǎng)的方便性。
3.1 磁路設計的影響因素
磁流變阻尼器的性能主要決定于其幾何尺寸、磁路以及磁流變液的性能等。在給定磁流變液性能參數(shù)的情況下，設計一個優(yōu)良的阻尼器的關鍵在于阻尼器的構造設計和磁路設計。此外，還包括防塵、漏液、隔磁、密封、散熱以及連接等反面的考慮。在設計時要考慮以下幾個因素：磁性材料的選擇、漏磁的分析、退磁和線圈的設計等。
3.1.1密封件的選擇
（1）密封件的作用和意義
在減振器設計中，密封裝置用來防止磁流變液的泄露以及外界灰塵和異物的侵入。磁流變液外漏不僅會造成浪費，污染機械和工作環(huán)境，甚至會引起機械操作失靈及設備和人身事故。若導線與磁流變液直接接觸，可能產(chǎn)生漏磁，導致導線發(fā)熱，影響磁流變液的性能。侵入減振器中的微小灰塵微粒，會引起加劇液壓元件的磨損和摩擦，增大阻尼力，減小減振器的功效，并且還有可能進一步導致泄露。因此，密封件是減振器的一個重要的組成部分。它的工作可靠性和使用壽命，是衡量液壓系統(tǒng)好壞的一個重要標準。
（2）密封的分類
被密封的部位在兩個需要密封的偶合面之間，通常根據(jù)這些偶合面在機械運行時有無相對運動，可把密封分為動密封和靜密封兩類。
（3）密封形式的選擇
設計或選擇密封件以及裝置的基本要求是：
1） 密封件長期在流體介質(zhì)中工作，必須保證其材料物理性能的穩(wěn)定。
2）在工作壓力下，應具有良好的密封性能，并隨著壓力的增加
能自動提高其密封性能，即泄露在高壓下沒有明顯的增加。
3）動密封裝置的動摩擦阻力要小，摩擦系數(shù)要穩(wěn)定，不能出現(xiàn)運動偶件卡住或運動不均勻等現(xiàn)象。
4）磨損小，使用壽命長。
5）制造簡單，拆卸方便，成本低廉。
密封件的選擇方法，首先根據(jù)密封設備的使用條件和要求，例如負載情況、工作壓力以及速度大小和變化情況、使用環(huán)境以及對密封性能的具體要求等，正確選擇與之相匹配的密封件結構形式。然后再根據(jù)所用工作介質(zhì)的種類和使用溫度，合理選擇密封件材料。在使用或設計時，應盡可能按照國家標準。
從裝配圖上可以看出，該減振器需要多出密封。由于減振器中活塞和缸體有相對運動，所以本結構采用Vd形橡膠密封圈，其主要材料為氟橡膠（SN），XAI7453，工作介質(zhì)為油、水、空氣，軸速小于等于19m/s設備，起端面密封和防塵的作用。
3.1.2 漏磁分析
在所有的磁路中都存在著漏磁，這是應為在磁路的實際兩點間若有任一磁位差，就有磁通存在。漏磁與磁路的幾何形狀有關，磁路中各段均有漏磁存在。磁路中的漏磁有三種形式：
（1） 工作間隙端面漏磁，在工作間隙附近成圓弧狀，工作間隙越長，這種漏磁就愈大?？梢哉J為，這種漏磁與工作間隙長度成比例增加，而且還受間隙端面的形狀及相對位置等因素影響。
（2） 磁體表面漏磁，通常磁體越長，這種漏磁就越大。
（3） 軛鐵間的漏磁，這種漏磁與磁體在磁路中的位置有關。磁體相對位置不同，漏磁差別也很大。磁鐵越靠近工作間隙，漏磁就越小。另外，在空隙處，磁力線會往外膨脹，因而取空隙的橫截面積時，應該取大一些。并且在以往的研究中得到漏磁磁導在很大程度上決定于磁體側面表面積，表面積越大漏磁越大。所以，在實際工作間隙內(nèi)的磁場要小于計算值。在磁路設計時，合理地縮短工作間隙的距離，減少結合面，改善結合情況都有利于減少磁路中的漏磁。同時，為了減少磁鐵表面的漏磁，我們在磁路外可加上銅環(huán)或銅圈以此來進行磁屏蔽。
為了減少漏磁，設計是需要注意以下幾點：
（1） 因為活塞桿不在磁回路中，所以最好選用不導磁材料或?qū)Т挪牧媳容^低的材料。
（2） 導磁回路中，導磁體的連續(xù)處盡量緊密接觸，以免在連接處因存在縫隙而產(chǎn)生較大磁阻，影響效率。
（3） 在整個磁路中，盡量使各導磁體的磁阻大致相同，使得整個磁路均衡匹配，從而防止部分地段較早的磁飽和。在磁路設計中，對于磁路中漏磁的解決，本章采用漏磁系數(shù)的概念來設計磁路。即在考慮漏磁的情況下，線圈產(chǎn)生的磁通量就不等于工作間隙中的磁通量，在計算中引入漏磁系數(shù)。
3.1.3磁性材料的選擇
磁性元件主要指缸筒、磁軛、磁芯和活塞桿。在忽視漏磁的情況下，纏繞在導磁環(huán)上的勵磁線圈產(chǎn)生的磁場經(jīng)過磁軛、間隙、缸筒、最后回到磁芯形成閉合回路。阻尼通道的槽太寬滯留的磁流變液多，阻力大，調(diào)節(jié)范圍大。缸體設計要考慮壁厚，避免經(jīng)由缸體的磁通比較早的進入飽和。
一般電磁路的磁芯選用軟磁體，其特點在于軟磁體有高的磁感應強度，易退磁，磁滯回線包圍面積小，大的磁導率和很小的矯頑力。軟磁材料是磁力線的通路，使用軟磁材料可以減少磁阻，在必要的控件建立均勻強度磁場。磁芯材料的種類較多，主要有電工純鐵、硅鋼、鐵鎳合金、鐵鋁合金、鐵鈷合金等。在選擇材料時通常要求磁芯材料磁導率高，因為當線圈匝數(shù)一定時，通以不大的電流，就能產(chǎn)生很大的磁場。一般來講軟磁材料的磁導率都比較高。為了減小由交變電引起的交變磁場，不使磁導體中產(chǎn)生渦流損失，故選擇給阻尼器直流電。退磁，對于磁路的有效能很重要，因為當初始斷電時，如果仍存在磁場，那勢必會對振動控制的有效性產(chǎn)生影響。所以我們選擇的軟磁材料必須有較小的剩磁，較小的矯頑力以及較小磁滯回線包圍的面積。由此可以看出軟磁材料中具有扁平磁滯回線的這一列材料比較符合要求。結合以上的分析最終磁芯材料選擇鐵鎳合金。
3.1.4退磁
這里所說的退磁和磁芯材料選擇中的退磁有區(qū)別。這個退磁是指，如果給定的空間及工作間隙很小，在這些很小的間隙中帶上一些外來的強磁性微粒，則強磁性微粒就會破壞間隙中應有的磁場大小或磁場分布狀態(tài)以至于使磁系統(tǒng)不能正常工作。在這種情況下，為了保證磁系統(tǒng)正常工作，必須清除外來的強磁性微?；蝾A防強磁性微粒的吸附，這就必須完全退磁。所謂退磁就是用一定的方法使試樣處于磁中性狀態(tài)。退磁的方法有：靜態(tài)和動態(tài)退磁法。
3.1.5磁流變阻尼器的動態(tài)范圍
磁流變阻尼器的動態(tài)范圍是衡量磁流變阻尼器性能的重要指標。粘滯阻尼力工作過程中基本保持不變，而又磁流變效應產(chǎn)生的剪切阻尼力隨外加磁場的大小而不同，因此整個阻尼力變化幅度定義為磁流變阻尼器的動態(tài)范圍D，其表達式為3-1
式中為摩擦引起的阻尼力。由上式可以看出，當結構設定時，和為常量，越大，D越大，阻尼效果越好。
3.1.6阻尼間隙的選取對阻尼器性能的影響
阻尼間隙尺寸的選取直接影響著磁流變阻尼器的阻尼特性。阻尼間隙h與磁流變阻尼器的阻尼力F成反比。通過仔細分析比較可知，一方面，庫倫阻尼力與阻尼間隙h成反比，在設計中，要求盡可能增加可控阻尼力（即庫倫阻尼力）的大小以增強可控效果，所以，要獲得大的可控阻尼力，在設計時，需要減小h的取值，另一方面，粘滯阻尼力與阻尼間隙h的三次方成反比，隨著間隙的減小，粘滯阻尼力和快速增加，動態(tài)范圍會迅速減小。根據(jù)設計要求，在設計過程中，應盡可能增加磁流變阻尼器的動態(tài)范圍以提高阻尼器的可控能力，因此，在設計時應適當?shù)倪x取阻尼間隙的大小，一般合適的間隙范圍為0.5-2mm。
3.1.7阻尼通道有效長度的選取對阻尼器性能的影響
活塞阻尼通道有效長度L的增加，導致了更多的磁流變液產(chǎn)生磁流變效應，磁流變阻尼力增大。但是由于不同車型底盤對懸架阻尼器的布置空間有限，有效長度增加勢必會導致活塞的長度增加，這樣會使阻尼器工作的有效行程受到影響。因此，為了獲得較大阻尼力，在結構尺寸允許的前提下，應盡可能的增加阻尼通道的有效長度。
3.1.8磁路結構的分析
由于磁流變阻尼器與普通阻尼器就夠上的不同，為了達到阻尼力可控，其活塞上纏有線圈，就涉及到線圈引入問題，因此，采用活塞桿內(nèi)設引線孔德方法。由于引線長度很長而且引線孔直徑很小，已有的加工工具在強度和長度上都無法實現(xiàn)該活塞桿結構，而且引線孔的作用只是滿足導線引出，因此，活塞桿采用電火花打孔的方法，對孔的同心度及光潔度要求不用太高。
磁流變阻尼器活塞上的線圈在纏繞過程中，主要會遇到兩個問題，一是漆包線在纏繞結束后需要從活塞桿引線孔中再引出的方法問題；二是在引線過程中，活塞桿內(nèi)引線通道比較粗糙，由于漆包線劃傷出現(xiàn)的短路問題。對于前者，若采用單線引入引出，還會是引線通道出入口加大，而且加大密封的難度；對于后者，若采用帶有絕緣套的導線，會在設計時增加磁流變阻尼器活塞纏繞線圈處得尺寸，進而影響活塞在阻尼器內(nèi)有限空間的布置。因此，在設計時，在引線通道口處精致處理的基礎上，采用雙線引入的方法，并且將活塞桿引線孔內(nèi)的漆包線用熱線管處理，避免在穿線時劃傷受損，并且一根線為纏繞對象，纏繞后兩線焊接的方法，解決了漆包線劃傷和密封難度加大問題。
3.2磁流變減振器線圈的設計
線圈參數(shù)可以分兩類：工作參數(shù)和設計參數(shù)。所謂工作參數(shù)，就是線圈的工作電壓、頻率以及工作制等；所謂設計參數(shù)，則是指線圈的匝數(shù)、線徑、電阻以及結構尺寸等。工作參數(shù)決定于電磁鐵的工作條件。在設計過程中我們要根據(jù)工作參數(shù)來確定設計參數(shù)，具體的方法如下：
在一定的工作參數(shù)下，線圈必須滿足下列三方面的要求，首先能夠產(chǎn)生規(guī)定的磁勢，其次在規(guī)定的工作制下，線圈的溫度不會超過它的許用值，最后線圈的尺寸應當能夠同磁芯的尺寸相配合。
根據(jù)以上的原因，線圈計算一般包括三個方面的內(nèi)容，尺寸設計、電計算、和熱計算。尺寸設計是決定線圈的外形尺寸，包括外徑和內(nèi)徑等，線圈的內(nèi)部尺寸和線圈參數(shù)以及線圈所占面積等。電計算是確定線圈的電阻、激磁電流和線圈的能量消耗。熱計算是確定線圈的溫升。電器中的金屬材料和絕緣材料在溫度超過一定范圍后，其機械強度會下降，絕緣強度也會受到損壞。電器工作溫度過高，會使其使用壽命降低，甚至遭到破壞。電器的損壞以及工作不正常會給整個被控系統(tǒng)帶來嚴重結果，所造成的經(jīng)濟損失比電器本身的價值往往要高的多。其中熱計算經(jīng)常用來對線圈設計進行校核。熱計算采用牛頓公式，此公式通常使用于氣體和液體介質(zhì)中的發(fā)熱體溫升的校核。
線圈中導線的選擇：
（1） 導線的選擇主要考慮它所能承受的最大電流，避免溫度過高。電流安全密度為5-8A/mm。
（2） 考慮環(huán)形導磁材料的公稱直徑和斷面直徑，以便計算所能纏繞的線圈匝數(shù)。
（3） 考慮活塞中安方線圈的空間大小，不能因為纏繞后太粗而導致安裝困難。
（4） 要考慮導線的磨損問題。由于活塞組裝過程中，線圈與導磁環(huán)相對運動，因此必須保證導線不能因為磨損而漏磁甚至短路。
綜合考慮以上因素，選擇型號為QQ-1縮醛漆包銅線，規(guī)格為d為0.5mm，標準號為GB6109.3-8561.其優(yōu)點是：抗沖擊性能好，耐刮性能優(yōu)，耐水解性好。
3.3磁流變減振器的結構設計
3.3.1結構方案的確定
通過對以上因素的分析，本設計選擇混合工作模式的雙筒式磁流變減振器。雙筒式磁流變阻尼器工作原理圖，如圖3-1所示，其與傳統(tǒng)液壓雙筒式阻尼器工作原理相似，當活塞3在工作缸5內(nèi)上下運動時，隨著磁流變液在工作缸5上下腔之間或工作缸5與貯液筒4之間的往復運動，活塞3與工作缸5縫隙及壓縮閥7分別產(chǎn)生復原阻力和壓縮阻力，而補償閥6則保證磁流變液在工作缸5與貯液筒4之間來回流動，確保磁流變液始終充滿工作缸5.通過對磁流變阻尼器活塞上線圈2通入電流的變化，改變活塞與工作缸間隙處磁場強度，在外加磁場的作用下，磁流變液中隨機分布的磁極化粒子沿磁場方向運動，磁化運動使粒子首尾相連，形成鏈狀或網(wǎng)狀結構，如圖3.1所示。從而使磁流變液的流動特性發(fā)生變化，進而使阻尼器阻尼通道兩端的壓力差發(fā)生變化，使復原阻尼力加以改變。這樣磁流變阻尼器便將車輛振動的機械能轉變?yōu)闊崮?，?jīng)貯液筒與冷空氣的熱交換及熱輻射，將熱能耗散到大氣中去。
1.活塞桿 2.線圈 3.活塞 4.儲液筒 5.工作缸 6補償閥 7.壓縮閥
圖3.1 雙筒式磁流變阻尼器工作原理圖
3.3.2磁流變減振器結構優(yōu)點
首先，減振器的活塞上開有若干個矩形齒狀環(huán)槽。在外加磁場的作用下，當磁流變液流經(jīng)環(huán)形通道時，由于環(huán)形槽的阻礙作用，減振器的阻尼力隨磁流變液粘度的變化會產(chǎn)生較大的變化。
其次，導線由中空的活塞桿引出，并且在減振器內(nèi)部，使得導線與磁流變液分離，有良好的磁效應。并且在運動過程中活塞內(nèi)部的線圈相對于活塞靜止，降低了導線磨損的可能性，使用更加安全。
第三，雙出桿結構有良好的定位效果，保證同軸度，能有效降低運動過程中活塞與端蓋之間的磨損和防止卡死現(xiàn)象的發(fā)生。
最后，所設計的減振器結構是在傳統(tǒng)的減振器基礎上設計的，有一定的使用價值，且已維修和更換，實驗過程中便于找到合適的減振器。
3.4磁流變減振器磁路的設計
根據(jù)對影響磁流變減振器磁效能的分析，可逐步確定磁路的大致結構，以及計算的方法。如下是對磁路中各個參數(shù)進行的設計和選擇，其中熱計算經(jīng)常是用來對線圈的設計進行校核。
3.4.1有關參數(shù)的初步確定
（1）工作間隙：隨著間隙的增加，磁流變阻尼器的阻尼力顯著下降，若使磁流變液從液態(tài)變成半固態(tài)。則必須使其處于磁場強度為幾十至幾百千安/米的磁場中，由于活塞中線圈產(chǎn)生的磁場，在缸體與活塞的間隙中，越遠離線圈，磁場的強度下降的越快，因此在實際設計減振器時在其它參數(shù)不變的情況下，盡量選擇較小的值。但是，工作間隙過小，經(jīng)前面工作間隙對阻尼器的影響中分析，工作間隙還不能過小，在傳統(tǒng)的設計中，常取磁流變阻尼器的阻尼間隙值在0.5～2.0mm中選取。線圈與外殼間的間隙的漏磁是阻尼器最主要的漏磁區(qū)域，因而在進行結構設計時，我們應該盡量減少此間隙的漏磁，也就是說減小線圈與外殼間的間隙，但如果遇到磁流變液表觀粘度大，為防止阻塞，影響阻尼器的正常工作，在尺寸設計時，線圈與外殼間的間隙為工作間隙叫上0.2mm，設定線圈上部的間隙為0.8mm。
（2）工作間隙有效長度：工作間隙有效長度在后面的計算中算出，該量也是重要的參數(shù)值，影響磁流變阻尼器工作的效能。
（3）漏磁系數(shù)、磁阻系數(shù)f：漏磁系數(shù)的確定是比較復雜的，由于磁路尺寸結構和磁軛形狀的不同，漏磁系數(shù)的范圍也很大。下限為2.0.上限在理論上可達到無窮大，根據(jù)經(jīng)驗，初定為2.48.磁阻系數(shù)f與磁軛的長短、接觸面積的多少、結合情況以及工作間隙的大小有關。一般地說，磁阻系數(shù)f在1.1～1.5的范圍內(nèi)，初定f為1.2。
（4）材料的相對磁導率：根據(jù)所使用的磁流變液其相對磁導率=8；工作缸的選擇要考慮材料的結構強度、制造成本以及漏磁效果，先選定為45號鋼，其相對磁導率為=2;磁芯的選擇為軟磁鐵，一般選擇工業(yè)純鐵，現(xiàn)選用磁芯為鐵鎳合金，確定工作點后得=50000，磁軛材料選定為軟磁材料，先選用硅鋼，=7000，磁流變液對磁軛、工作缸都有沖刷作用，必須對其工作表面進行表面處理，對磁軛、工作缸材料的工作表面進行熱噴涂處理，所噴涂的材料應耐沖刷和具有較高的磁導率。
（5）其它根據(jù)設計要求初步確定的參數(shù)，根據(jù)最終汽車懸架半主動控制所需要的阻尼力的大小，我們確定工作間隙所需的磁通密度=0.65T，磁場強度=1.5A/cm。先初步確定磁芯的磁通密度=0.75T、磁場強度=1A/cm。
（6）線圈參數(shù)的確定，采用并列式繞法?？紤]到線圈被浸在磁流變液中，故設定線圈的熱系數(shù)=1.2；線圈填充系數(shù)是導體材料所占空間的截面積與線圈窗口的截面積之比，但實際上線圈填充系數(shù)是很難確定的，因為它和繞組的纏繞方式等因素有關，取=0.63，線圈采用銅制漆包線。
3.4.2已有參數(shù)的確定
表3.1為某微型汽車前減振器壓縮及復原阻尼力，因此磁流變減振器的阻尼力范圍也應滿足此汽車對減振器的要求。為了方便磁流變減振器的實車實驗，本文設計的磁流變減振器外形尺寸和原阻尼器相同。
由于保留了一些原減振器的材料和尺寸。如圖3.1所示確定的參數(shù)為工作缸的內(nèi)徑=2=40mm，工作缸外徑=2=44mm，工作缸的材料為45號鋼，活塞桿直徑=2=28mm，活塞桿材料為45號鋼。需要確定的參數(shù)有：線圈的匝數(shù)、活塞的直徑。
表3.1為某微型汽車前減振器壓縮阻尼力和復原阻尼力，因此磁流變減振器的阻尼力可調(diào)范圍也應該滿足此微型汽車對阻尼力的要求。為了方便磁流變減振器的實車實驗，本文所設計的磁流變減振器外形尺寸與原阻尼器相同。
圖3.1磁流變減振器的結構模型
表3.1 原有減振器要求
速速（）
某微型汽車前減振器
——
復原阻力（N）
壓縮阻力（N）
0.05
245
175
0.1
520
245
0.3
920140
39080
現(xiàn)在計算阻尼力如下：將已確定的尺寸，工作間隙h=0.6mm，工作缸內(nèi)徑=40mm，活塞外徑=38.8mm，活塞桿直徑=28，=30-50KPa，及速度在0.05、0.1、0.3代入公式3.1中
（3.1）
（3.2）
（3.3）
（3.4）
式中為磁流變液的表觀粘度，值為0.27Pa。
經(jīng)計算的表3.3所示，磁流變減振器的理論阻尼力值。
表3.3 磁流變減振器的理論阻尼力
速度（）
磁流變減振器阻尼力
0.05
2183.2
0.1
2258.45
0.3
2559.35
3.5磁路相關參數(shù)的計算
3.5.1 磁路的計算
(1)確定磁芯面積 磁芯長度
確定工作間隙磁通=0.65T; 工作間隙磁場強度=1.5A/cm;
磁芯磁通密度=0.75T; 磁芯磁場強度=1.0A/cm;
磁勢損失系數(shù)f=1.2; 工作間隙=0.6mm;
漏磁系數(shù)=2.48; 阻尼通道長度=11mm;
==74.23 （3.5）
= （3.6）
=f （3.7）
=159.55
=18mm
(2)計算各部分磁阻
間隙磁阻
===3209262.592 （3.8）
磁芯磁阻
===1470.65 （3.9）
磁軛磁阻
===459 （3.10）
缸筒磁阻
==437628.263
總磁阻
=1.08 （3.11）
(3)計算線圈匝數(shù)
磁芯部分的磁通=0.12wb
設定通電電流為I=0.4A
=80匝
(4)線圈的發(fā)熱溫度校核
設計公式采用的是適用于氣體和液體的牛頓公式，
（3.12）
為線圈的溫升，I為電流，為銅制漆包線的磁導率，為漆包線的直徑，為線圈散熱系數(shù)。
=7
由于發(fā)熱溫度遠遠小于80，則設計是合格的。
3.6 工作缸的計算
(1)工作缸壁厚
（3.13）
（3.14）
（3.15）
式中：
：為缸筒外徑公差余量，m
：腐蝕余量，m
D：缸筒內(nèi)徑，m
：缸筒材料的抗拉強度，MPa
n:安全系數(shù)，通常取5
=2mm
(2)工作缸壁厚的驗算
額定工作壓力低于一定極限值，以保證安全：
MPa （3.16）
求得
44.73MPa
由于額定工作壓力=20MPa，所以滿足要求；
同時額定工作壓力也應與完全塑性變形壓力有一定的比例范圍，以避免塑性變形的發(fā)生：
：缸筒發(fā)生完全塑性變形的壓力，MPa
（3.17）
求得：
=106.42MPa
由于額定工作壓力 所以滿足要求；
(3)工作缸長度需要根據(jù)活塞行程，活塞桿長度，及整體裝配時確定
活塞行程S初步確定時，主要按實際工作需要的長度來考慮，但這一行程并不一定是液壓缸的穩(wěn)定性所允許的行程。
S= （3.18）
E：材料的彈性模量。鋼材的E=2.1N/
I:活塞桿橫截面的慣性矩，單位 I=0.049
d:活塞桿直徑
：活塞桿彎曲失穩(wěn)定臨界壓縮力
求得：S=160mm
(4)活塞桿的強度計算
活塞桿在穩(wěn)定工況下，只受軸向推力或拉力，可以近似地使用直桿受拉壓載荷的簡單強度計算公式進行計算：
（3.19）
F：活塞桿的作用力，N F=213-1262N
：材料的許用應力，對45號鋼，=50MPa
由于 所以滿足要求；
3.7 本章小結
本章對所設計的磁流變減振器進行了主要部分的計算，給出了阻尼力的計算公式，通過理論計算確定了磁流變減振器的結構參數(shù)，討論了阻尼通道長度和間隙、電流強度對阻尼力的影響。研究表明，合理設計阻尼通道長度，選擇合適的間隙，對提高減振器的阻尼力和可調(diào)范圍很重要。
第4章 磁流變減振器基于Matlab的仿真分析
基于磁流變減振器在汽車懸架減振系統(tǒng)半主動控制中的廣泛應用，根據(jù)磁流變液的特點和磁流變減振器阻尼力與結構參數(shù)的關系，設計了新型的磁流變減振器，并對影響磁流變減振器性能的參數(shù)進行了仿真。仿真表明，該磁流變減振器設計計算是一種能優(yōu)化阻尼力的有效算法。
4.1減振器的阻尼力計算模型
本文選用剪切閥式磁流變阻尼器工作模式進行結構設計，在結構設計前，必須明確該工作模式磁流變液的流變方程，繼而推導出磁流變阻尼力的計算模型，這是結構設計過程中的依據(jù)所在。基于剪切閥式磁流變阻尼器的阻尼通道的寬度遠大于其阻尼間隙，因而可簡化成磁流變液在兩相對運動平板之間的運動。為了簡化分析，工作于剪切閥式的磁流變阻尼力可以看成是在閥式工作模式下的阻尼力和剪切工作模式下阻尼力的疊加。
在外加磁場作用下，磁流變液表現(xiàn)Bingham流體，其磁流變液在平板的流動和速度分布如圖4.1所示，其本構關系可用下列方程描述：
（4.1）
（4.2）
圖4.1 磁流變液在平板中的流動和速度分布
在閥式工作模式下磁流變液的速度分布如圖4.1所示。假設磁流變液的體積流速Q(mào)在x方向上一維流動，在y方向上不流動。設兩平板之間的間隙為h，長度為L，寬度為b，由流體力學可得下列微分方程：
（4.3）
式中u、v分別是磁流變液在x、y方向上的流動速度；是磁流變液在x方向的壓力梯度，為了簡化將壓力梯度是為x方向線性變化=，l是阻尼通道的長度；是阻尼通道兩端的壓力差；是磁流變液的密度；t是時間變量；由于流動速度低，可不計慣性效應，；令沿x的剪切應力，由于磁流變流動的連續(xù)性，沿x方向的速度不變即則方程（4.3）簡化為：
（4.4）
對其積分可得：
（4.5）
D是待定的積分常數(shù)。
由公式（4.4）可知，磁流變液受到的剪切應力沿平板間隙是按線性分布的，靠近平板的磁流變液受到的剪切力最大，而中間對稱面上的磁流變液受到的剪切應力最小，根據(jù)極板兩端壓差產(chǎn)生的剪切應力與極板附近磁流變液的臨界剪切屈服應力比較，當前者小于后者磁流變液靜止不動；當前者大于后者將產(chǎn)生如圖4.1所