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2020 3 19 1 學(xué)習(xí)要求 掌握開關(guān)代數(shù)的基本概念 學(xué)會用邏輯函數(shù)描述邏輯問題掌握邏輯代數(shù)的公理 基本定理和重要規(guī)則學(xué)會用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 第4章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2020 3 19 2 第4章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 續(xù) 習(xí)題完成下列練習(xí) 5 9bcde 10abe 13ac 16abc 19ace 22ab 29 43 46 55abcd 65 66 83 2020 3 19 3 邏輯電路的分析 綜合與設(shè)計 第4章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 續(xù) 分析 從邏輯圖開始 得到該電路功能的形式描述 如真值表或邏輯表達式 綜合 與分析相反 從形式描述開始 得到邏輯圖 通?？捎绍浖硗瓿?設(shè)計 從接受用戶要求開始 得到邏輯圖 將實際問題的非形式描述 語言或想法 轉(zhuǎn)換成形式描述 即定義電路的輸入 輸出 并用真值表或表達式說明它的功能特性 綜合組合邏輯電路任一時刻的輸出僅取決于當(dāng)時的輸入 可以含有任意數(shù)目的邏輯門電路和反相器 但不包括反饋回路 2020 3 19 4 公理 5條 4 1開關(guān)代數(shù) A1 如果X 1 則X 0 A1 如果X 0 則X 1 開關(guān)變量X的取值特性 A2 如果X 0 則X 1 A2 如果X 1 則X 0 反相器的功能特性 2020 3 19 5 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 單變量定理 可用完備歸納法證明 2020 3 19 6 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 二變量和三變量定理 運算優(yōu)先順序分配律定理T9和T10廣泛地用來簡化邏輯函數(shù) 在所有的定理中 可以用任意邏輯表達式來替換每個變量 2020 3 19 7 n變量定理 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 2020 3 19 8 德 摩根定理 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 0 1 原變量 反變量 F 0 1 原變量 反變量 F 2020 3 19 9 德 摩根定理 續(xù) 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 使用廣義德 摩根定理時 要保持原邏輯表示式中運算符號的優(yōu)先順序不變 2020 3 19 10 對偶性原理對開關(guān)代數(shù)的任何定理或恒等式 若交換所有的0和1以及 和 結(jié)果仍正確 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 它使要學(xué)的東西減了一半 2020 3 19 11 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 2020 3 19 12 2020 3 19 13 邏輯函數(shù)表示法 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 文字 變量或變量的補 如X Y X Y 乘積項 單個文字或2個或2個以上文字的邏輯積 如Z W X Y 積之和 表達式 乘積項的邏輯和 如Z W X Y 求和項 單個文字或2個或2個以上文字的邏輯和 如Z W X Y 和之積 表達式 求和項的邏輯積 如Z W X Y 標準項 一個乘積項或求和項 其中每個變量只出現(xiàn)一次 如W X Y W X Y 非標準項 不是標準項的乘積項或求和項 如W X X Y 2020 3 19 14 最小項m 設(shè)一個邏輯函數(shù)有n個變量 則一個有n個文字的標準乘積項稱為一個最小項 共有2n個最小項 如4變量最小項m0 W X Y Z m13 W X Y Z m2 W X Y Z 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 最大項M 設(shè)一個邏輯函數(shù)有n個變量 則一個有n個文字的標準求和項稱為一個最大項 共有2n個最大項 如4變量最大項M15 W X Y Z M6 W X Y Z M13 W X Y Z 2020 3 19 15 真值表n個變量的真值表有2n行 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 含有n個變量的函數(shù)有個 2020 3 19 16 最小項列表 F X Y Z XYZ 0 3 4 6 7 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 標準積之和式 F X Y Z X Y Z X YZ XY Z XYZ XYZ X Y Z XY Z XYZ XYZ X YZ XYZ Y Z XY YZ 2020 3 19 17 最大項列表 F X Y Z XYZ 1 2 5 4 1開關(guān)代數(shù) 續(xù) 標準和之積式 F X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z 2020 3 19 18 從電路圖得到邏輯函數(shù)的形式描述 如真值表 邏輯表達式 確定電路行為 根據(jù)代數(shù)描述提出邏輯函數(shù)的不同電路結(jié)構(gòu) 交流與學(xué)習(xí) 4 2組合電路分析 窮舉法 2020 3 19 19 4 2組合電路分析 續(xù) 代數(shù)法 F X Y Z X Y Z X Z Y Z X Y Z 乘開 2020 3 19 20 4 2組合電路分析 續(xù) F X Y Z X Y Z X Y X X Y Y X Y Z Z X Z Y Z Z 1 1 X Y Z X Z Y Z 1 X Y Z X Z Y Z 加開 2020 3 19 21 電路描述和設(shè)計用真值表對電路進行描述 不容易出現(xiàn)錯誤 容易用標準和或標準積表達式直接設(shè)計 但當(dāng)變量數(shù)很多時表可能會很大 4 3組合電路綜合 例 對一個4位素數(shù)檢測器可作這樣的描述 對于4位輸入組合N N3N2N1N0 當(dāng)N 1 2 3 5 7 11 13時 函數(shù)輸出為1 其他情況輸出為0 2020 3 19 22 用連接詞 與 或 非 來描述邏輯函數(shù) 可以通過定義輔助變量簡化表達式 比寫出完全真值表要容易些 當(dāng)變量數(shù)很多時 但容易出現(xiàn)錯誤 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 例 描述一個報警電路 當(dāng)PANIC輸入為1 或者當(dāng)ENABLE輸入為1 EXITING輸入為0 并且房子不安全時 ALARM輸出為1 當(dāng)WINDOW DOOR 和GARAGE輸入都為1時 房子是安全的 ALARM PANIC ENABLE EXITING SECURE SECURE WINDOW DOOR GARAGEALARM PANIC ENABLE EXITING WINDOW DOOR GARAGE 2020 3 19 23 電路處理一般來說 與非門和或非門比與門和或門要快 但多數(shù)人不習(xí)慣用與非和或非形式來描述邏輯命題 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 如果你不整潔或不富有 并且也不聰明或不友好 我就不和你約會 如果你整潔且富有 或者你聰明且友好 我就和你約會 我們兩人去或他們兩人去 一定能解決這個問題 2020 3 19 24 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 哪個電路工作速度最快 2020 3 19 25 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 組合邏輯電路的簡化 一般來說 邏輯函數(shù)表達式越簡單 設(shè)計出來的電路也就越簡單 例 化簡解 代數(shù)化簡法 運用邏輯代數(shù)的公理 定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進行推導(dǎo) 變換而進行化簡 沒有固定的步驟可以遵循 主要取決于對公理 定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運用的程度 有時很難判定結(jié)果是否為最簡 7個門3個門2個門 2020 3 19 26 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 與或 式化簡應(yīng)滿足的兩個條件 表達式中 與項 的個數(shù)最少 在滿足上面要求的前提下 與項 中的變量總數(shù)最少 或與 式化簡應(yīng)滿足的兩個條件 表達式中 或項 的個數(shù)最少 在滿足上面要求的前提下 或項 中的變量總數(shù)最少 卡諾圖化簡法 該方法簡單 直觀 容易掌握 當(dāng)變量個數(shù)小于等于6時非常有效 在邏輯設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用 卡諾圖的構(gòu)成 n個變量的卡諾圖是一種由2n個方格構(gòu)成的圖形 每一個方格表示邏輯函數(shù)的一個最小項 所有的最小項巧妙地排列成一種能清楚地反映它們相鄰關(guān)系的方格陣列 一個函數(shù)可用圖形中若干方格構(gòu)成的區(qū)域來表示 2020 3 19 27 2020 3 19 28 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 相鄰最小項 或與項 彼此只有一個變量不同 且這個不同變量互為反變量的兩個最小項 或與項 稱為相鄰最小項 或相鄰與項 如ABC和ABC 相鄰最小項在卡諾圖中有幾何相鄰 相對相鄰和重疊相鄰三種特征 2020 3 19 29 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 將邏輯函數(shù)所對應(yīng)的最小項在卡諾圖的相應(yīng)方格中標以1 剩余方格標以0或不標 其它形式的函數(shù)要轉(zhuǎn)換成 與或 式后 再在卡諾圖上表示 卡諾圖的性質(zhì) 根據(jù)T10有AB AB A 它表明兩個相鄰 與項 或相鄰 最小項 可以合并為一項 這一項由兩個 與項 中相同的變量組成 可以消去兩個 與項 中不同的變量 2020 3 19 30 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 卡諾圈 在卡諾圖上把相鄰最小項所對應(yīng)的小方格 圈 在一起可進行合并 以達到用一個簡單 與項 代替若干最小項的目的 2020 3 19 31 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 一個卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律 卡諾圈中的小方格的數(shù)目為2m m為整數(shù)且m n 2m個小方格含有m個不同變量和 n m 個相同變量 2m個小方格可用 n m 個變量的 與項 表示 該 與項 由這些最小項中的相同變量構(gòu)成 當(dāng)m n時 卡諾圈包圍整個卡諾圖 可用1表示 即n個變量的全部最小項之和為1 2020 3 19 32 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 蘊涵項 如何畫圈 蘊涵項 與或 式中的每一個 與項 稱為函數(shù)的蘊涵項 質(zhì)蘊涵項 不被其它蘊涵項所包含的蘊涵項 必要質(zhì)蘊涵項 質(zhì)蘊涵項中至少有一個最小項不被其它蘊涵項所包含 2020 3 19 33 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟 第一步 作出函數(shù)的卡諾圖 第二步 在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項 畫最大的卡諾圈 第三步 從全部質(zhì)蘊涵項中找出所有必要質(zhì)蘊涵項 第四步 若全部必要質(zhì)蘊涵項尚不能覆蓋所有的1方格 則需從剩余質(zhì)蘊涵項中找出最簡的所需質(zhì)蘊涵項 使它們和必要質(zhì)蘊涵項一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋 把它們?nèi)?或 起來 2020 3 19 34 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 例 用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為 與或 表達式F A B C D m 0 3 5 6 7 10 11 13 15 解 2020 3 19 35 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 例 用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為 與或 表達式F A B C D m 2 3 6 7 8 10 12 解 2020 3 19 36 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 例 用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為 或與 表達式F A B C D M 3 4 6 7 11 12 13 14 15 解 2020 3 19 37 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 沒有必要質(zhì)蘊涵項的情況 2020 3 19 38 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F A B C D m 2 3 4 5 6 7 11 13 15 解 化簡后得到的表達式一般為兩級 與或式 或 或與式 可分別由兩級 與非門 或 或非門 來實現(xiàn) 但實際上受扇入系數(shù)的影響 電路的級數(shù)會增加 影響電路的速度 為不降低速度 人們設(shè)計出更復(fù)雜的門來取代簡單門完成更復(fù)雜的運算 有問題 2020 3 19 39 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 包含無關(guān)最小項的邏輯函數(shù)的化簡 一般來說 邏輯函數(shù)與輸入的每一種取值組合均有關(guān)系 對于某些組合 某些最小項 函數(shù)的值為0 而對另外一些組合 另外一些最小項 函數(shù)取值為1 無關(guān)最小項 一個邏輯函數(shù) 如果它的某些輸入取值組合因受特殊原因制約而不會再現(xiàn) 或者雖然每種輸入取值組合都可能出現(xiàn) 但此時函數(shù)取值為1還是為0無關(guān)緊要 那么這些輸入取值組合所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)最小項 無關(guān)最小項可以隨意地加到函數(shù)表達式中 或者不加到函數(shù)表達式中 并不影響函數(shù)所對應(yīng)邏輯電路的實際邏輯功能 2020 3 19 40 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 例 給定某電路的真值表如下 求F的最簡 與或 式 2020 3 19 41 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 多輸出邏輯函數(shù)的化簡 如果孤立地將單個輸出一一化簡 然后直接拼在一起 通常并不能保證整個電路最簡 所有邏輯表達式包含的不同 與項 總數(shù)最小 在滿足上述條件的前提下 各不同 與項 中所含的變量總數(shù)最少 注意紅色項 2020 3 19 42 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 列表化簡法 Q M法 第一步 將函數(shù)表示成 最小項之和 形式 并用二進制編碼表示每一個最小項 第二步 找出函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項 第三步 找出函數(shù)的全部必要質(zhì)蘊涵項 第四步 找出函數(shù)全部所需質(zhì)蘊涵項 最小化 積之和 必要質(zhì)蘊涵項 所需質(zhì)蘊涵項 2020 3 19 43 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) I 最小項 II n 1 個變量的 與 項 III n 2 個變量的 與 項 編號 mi ABCD 組號 mi mi ABCD Pi ABCD Pi 01234 000010000101100110100111101111101111 0859107111415 0123 0 88 98 105 79 1110 1110 147 1511 1514 15 000100 10 001 110 1101 1 10 1111 11111 12 8 9 10 11 10 11 14 15 10 1 1 組號 Pi 例 用列表法化簡F A B C D m 0 5 7 8 9 10 11 14 15 解 1 用二進制編碼表示函數(shù)中的每一個最小項 質(zhì)蘊涵項產(chǎn)生表 2 找出函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項 2020 3 19 44 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) P1 m 10 11 14 15 AC P2 m 8 9 10 11 AB P3 m 7 15 BCD P4 m 5 7 A BDP5 m 0 8 B C D 2020 3 19 45 4 求所需質(zhì)蘊涵項 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 2020 3 19 46 行消去規(guī)則 對于所需質(zhì)蘊涵項產(chǎn)生表中的任意質(zhì)蘊涵項pi和pj 若pi行中的 完全包含在pj行中 即pi pj 則可消去pi行 這是因為選取了pj后不僅可以覆蓋pi所能覆蓋的最小項 而且還可覆蓋其它最小項 列消去規(guī)則 對于所需質(zhì)蘊涵項產(chǎn)生表中的任意最小項mi和mj 若mi列中的 完全包含在mj列中 即mi mj 則可消去mj列 這是因為選取了覆蓋mi的質(zhì)蘊涵項后一定能覆蓋mj 反之則不一定 所需質(zhì)蘊涵項P3 P4 二次必要質(zhì)蘊涵項 4 3組合電路設(shè)計 續(xù) 2020 3 19 47 4 4競爭與冒險 競爭 信號從某一點出發(fā)經(jīng)不同路徑到達某一邏輯門有時間差的現(xiàn)象 電路在時間 1 和 2 出現(xiàn)了競爭 并在時間 2 產(chǎn)生了冒險 冒險 當(dāng)輸入由某一種取值組合變?yōu)榱硪环N取值組合時 由于競爭使得電路產(chǎn)生了與穩(wěn)態(tài)輸出不同的 暫時的錯誤輸出 注意 競爭和冒險是電路的屬性 邏輯函數(shù)不存在這樣的問題 2020 3 19 48 4 4競爭與冒險 續(xù) 按輸入變化前后輸出是否相等分為靜態(tài)和動態(tài)冒險 按錯誤輸出的極性分為0型和1型冒險 故有靜態(tài)0型 靜態(tài)1型 動態(tài)0型 動態(tài)1型4種情況 2020 3 19 49 4 4競爭與冒險 續(xù) 冒險的判斷代數(shù)法 檢查是否存在某個變量X 它同時以原變量和反變量的形式出現(xiàn)在函數(shù)表達式中 而且表達式在一定條件下可變成X X 或者X X 的形式 若能則說明與函數(shù)表達式對應(yīng)的電路可能產(chǎn)生冒險 解 變量A和C具備競爭的條件 應(yīng)分別進行檢查 C發(fā)生變化時不會產(chǎn)生險象 例 試判斷電路是否可能產(chǎn)生冒險 2020 3 19 50 4 4競爭與冒險 續(xù) 檢查A 當(dāng)B C 1時 A的變化可能使電路產(chǎn)生冒險 卡諾圖法 當(dāng)描述電路的邏輯函數(shù)為 與或 式時 可采用卡諾圖來判斷電路是否存在冒險 其方法是觀察是否存在 相切 的卡諾圈 若存在則會產(chǎn)生冒險 2020 3 19 51 4 4競爭與冒險 續(xù) 用增加冗余項的方法消除冒險利用定理T11 XY X Z YZ XY X Z 在原表達式中加上多余的 與項 或者乘以多余的 或項 使原函數(shù)不可能在任何條件下出現(xiàn)X X 或者X X 的形式 從而消除冒險 例 用增加冗余項的方法消除電路F AB A C中的冒險 解 增加冗余項BC 則有F AB A C BC 當(dāng)B C 1時 函數(shù)由F A A 變成了F 1