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第二章線性時(shí)不變系統(tǒng) LTI LinearTimeInvarient 重點(diǎn) 理解并掌握卷積積分與卷積和的概念與相關(guān)性質(zhì) 掌握LTI系統(tǒng)的性質(zhì) 難點(diǎn) 深刻理解卷積積分與卷積和的概念 2 1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域解法 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào) 通常用微分方程來(lái)描述系統(tǒng) 微分方程 其有無(wú)數(shù)個(gè)解 若已知初始條件 其解唯一 微分方程的經(jīng)典解 齊次解是滿足 的解 若n個(gè)特征值各不相同 若特征值中有 1是r重根 而其余的根都為單數(shù) 則 ci cj的值由初始條件確定 齊次解 特解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān) 微分方程的特解形式 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 一個(gè)線性系統(tǒng)可以將系統(tǒng)的響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 即 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 而 例 已知一系統(tǒng)的微分方程為 求分別輸入 時(shí)的輸出y t 解 2 2單位沖激響應(yīng) 單位沖激響應(yīng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng) 用h t 表示 即 分析如下電路 已知 uc 0 0 求uc t 解 建立系統(tǒng)的微分方程 由于沖激函數(shù)是在t 0時(shí)給系統(tǒng)注入了一定的能量 而在t 0時(shí) 系統(tǒng)的激勵(lì)為0 相當(dāng)于在0 到0 時(shí)刻 使系統(tǒng)具有了一定的初始能量 因此 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有相同的形式 這里 用h t 表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 即 注意 單位沖擊響應(yīng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2 3卷積積分 對(duì)于線性系統(tǒng) 可以將輸入信號(hào)分解為許多簡(jiǎn)單信號(hào)之和 如果求得簡(jiǎn)單信號(hào)作用于系統(tǒng)的響應(yīng) 那么 所有這些響應(yīng)疊加起來(lái)就是該輸入作用于系統(tǒng)的響應(yīng) 一個(gè)任意的輸入信號(hào)可以分解為 指數(shù)函數(shù) 沖激函數(shù) 階躍函數(shù)等等 這里討論將信號(hào)分解為沖激函數(shù)之和的情況 矩形信號(hào) 分為一系列寬度相等的窄矩形脈沖之和 若 設(shè)x t 為無(wú)時(shí)限的信號(hào) 將它分解為一系列寬度為的窄脈沖之和 當(dāng) 則 設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h t 則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于的沖激響應(yīng)為 則系統(tǒng)對(duì)輸入x t 的總響應(yīng)為所有沖激響應(yīng)之和 當(dāng) 求和符號(hào)改為積分符號(hào) 上述積分是x t 與h t 之間的一種二元運(yùn)算 用y t x t h t 表示 即 卷積積分的圖解法 卷積的圖解法有助于我們理解卷積的物理意義以及求解步驟 以x t h t 為例 1 將h 反折 得h 2 將h 沿 軸時(shí)延t秒 得得h t 3 將x 與h t 相乘 得x h t 4 沿 軸對(duì)x h t 積分 例 設(shè)x t 與h t 如圖所示 求y t x t h t 反折 時(shí)移 1 2 3 4 5 y t 的時(shí)域波形如圖所示 例 求 解 例 已知 求 求 例 已知 2 卷積積分運(yùn)算的性質(zhì) 1 滿足交換律 2 滿足分配律 3 卷積的結(jié)合律 4 卷積的微分 兩個(gè)函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積 即 5 卷積的積分 應(yīng)用類似的推演可以到處卷積的高階導(dǎo)數(shù)或多重積分之運(yùn)算規(guī)律 設(shè) 則有 此處 當(dāng)i j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次 取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù) 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子為 4 與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積 1 函數(shù)x t 與單位沖激函數(shù) t 卷積的結(jié)果仍然是x t 本身 即 證明 證明 例 解 將h t 寫成與階躍函數(shù)乘積的形式 例 已知 求 2 4卷積和 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中 可以利用卷積積分的方法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 這時(shí) 首先把激勵(lì)信號(hào)分解成沖激函數(shù) 把這些沖激響應(yīng)的疊加即可得到系統(tǒng)對(duì)此激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng) 這個(gè)過(guò)程稱為卷積積分 在離散系統(tǒng)中 由于離散信號(hào)本身就是不連續(xù)的序列 對(duì)應(yīng)每個(gè)樣值序列 每一響應(yīng)也是一個(gè)離散時(shí)間序列 把這些序列疊加即得離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 對(duì)于任意的激勵(lì)信號(hào)x n 可以表示成單位沖激序列的加權(quán)和 即 2卷積和的性質(zhì) 與連續(xù)函數(shù)的卷積積分的性質(zhì)類似 離散函數(shù)的卷積和也滿足交換律 結(jié)合律以及分配律 以及滿足 下面分析卷積和的幾種運(yùn)算方法 從卷積和的表達(dá)式 可知 卷積和也要經(jīng)過(guò)以下四個(gè)步驟 圖解法 以一個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)方法 已知 3 相乘 求和 卷積和的波形如下 2 解析式法 對(duì)于能夠?qū)懗杀容^簡(jiǎn)潔的表達(dá)式的離散函數(shù) 可以通過(guò)定義求出卷積和 對(duì)于這種不是很明顯就看成卷積和的上下限的函數(shù) 一般也要通過(guò)圖解法作為輔助的手段 3 多項(xiàng)式相乘法 對(duì)于序列長(zhǎng)度不是很長(zhǎng)的序列 可以通過(guò)利用多項(xiàng)式乘法求解 下面舉一例子說(shuō)明這種方法 為書寫方便 寫成如下形式 將兩序列的左端或右端對(duì)齊 然后相乘 這里采用左端對(duì)其的方式 要注意的是不能進(jìn)位 最后把同一列上的乘積值按對(duì)位求和即可得到y(tǒng) n 上面的這個(gè)表達(dá)式還不完整 還沒(méi)有確定y n 的定義域 一般的 對(duì)于一個(gè)定義為 n1 n2 的序列x n 以及 n3 n4 的序列h n h n k 的定義域?yàn)?n n4 n n3 即 上面這道例題 其中n1 0 n2 3 n3 0 n4 2 則其定義域?yàn)?0 5 4 序列長(zhǎng)度 x n 定義在 n1 n2 以及h n 定義在 n3 n4 上 若定義x n 的序列長(zhǎng)度為Nf h n 的序列長(zhǎng)度為Nh y n 的長(zhǎng)度為Ny 則 4 解卷積運(yùn)算 在許多信號(hào)處理的實(shí)際問(wèn)題中 需要做解卷積運(yùn)算 即已知x n h n y n 求h n x n 解卷積運(yùn)算可以用長(zhǎng)除法來(lái)進(jìn)行 仍舉上面的例子進(jìn)行說(shuō)明 其起始位置可以通過(guò)我們?cè)谇懊媲缶矸e和的方法來(lái)推導(dǎo)出 例 設(shè)3個(gè)LTI因果系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)如圖所示 其中沖激響應(yīng)h2 n 為h2 n u n u n 2 而總的沖激響應(yīng)為 h n 1 5 10 11 8 4 1 n 0 1 2 3 4 5 6 1 求沖激響應(yīng)h1 n 2 求整個(gè)系統(tǒng)對(duì)x n n n 1 的響應(yīng) 這里相當(dāng)于求卷積 采用長(zhǎng)除法 故 h1 n 1 3 3 2 1 n 0 1 2 3 5 2 5線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 系統(tǒng)的記憶性 系統(tǒng)的可逆性 系統(tǒng)的因果性 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 一 系統(tǒng)的記憶性 系統(tǒng)的無(wú)記憶性意味著 任何時(shí)刻的輸出信號(hào)值僅取決于同一時(shí)刻的輸入信號(hào)值 而與其他時(shí)刻的輸入信號(hào)值無(wú)關(guān) 無(wú)記憶系統(tǒng) DT y n kx n h n k n CT y t kx t h t k t 即 在一個(gè)LTI系統(tǒng)中 只有滿足下列條件時(shí) LTI系統(tǒng)才是無(wú)記憶的 二 LTI系統(tǒng)的可逆性 給定一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h t 逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h1 t 則必定有 h t h1 t t 例 一個(gè)信號(hào)與一個(gè)移位沖激的卷積就是該信號(hào)的移位 三 LTI系統(tǒng)的因果性 連續(xù)和離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的因果判據(jù)分別是 例子 請(qǐng)問(wèn)以下系統(tǒng)是因果系統(tǒng)么 1 h n u n 2 h n n n 1 3 h n 4 nu 2 n 4 h t e 3tu t 1 因果 因果 非因果 因果 h t 0 t 0或h n 0 n 0 連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間線性系統(tǒng)的因果性等價(jià)于這樣的條件 即對(duì)于任何時(shí)刻t0或n0 若對(duì)任何輸入x t 或x n 系統(tǒng)的輸出或分別滿足如下條件 這個(gè)條件正是上述物理規(guī)律的數(shù)學(xué)描述 通常叫做 初始松弛 注意 對(duì)于線性系統(tǒng) 因果性等效于初始松弛 四 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性 連續(xù)或離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件 例 下列系統(tǒng)是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)么 是 否 2 5 3LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 單位階躍響應(yīng)s t 或s n 就是輸入為u t 或u n 時(shí)LTI系統(tǒng)的輸出 一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 s t u t h t 即 一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 s n u n h n 即 單位沖激函數(shù)的卷積定義 t 的運(yùn)算定義為 即將 t 定義為與任意函數(shù)卷積運(yùn)算能產(chǎn)生該函數(shù)本身的一種函數(shù) 2 6奇異函數(shù) t 的性質(zhì) 1 t 具有單位面積2 偶函數(shù)3 t 的篩選性質(zhì)4 x t t x 0 t t 各階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算定義 考慮LTI系統(tǒng) 這個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是單位沖激的導(dǎo)數(shù) 稱為單位沖激偶u1 t t 的k階導(dǎo)數(shù) k t 都是奇異函數(shù) uk t 是 t 的k階導(dǎo)數(shù) 是一個(gè)取輸入k次導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 定義 t 各次積分的運(yùn)算定義 單位階躍函數(shù)u t 是 t 的一次積分 t 的二次積分為 定義 u k t 是 t 的k次積分 是一個(gè)取輸入k次積分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 2 7用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng) 在連續(xù)系統(tǒng)中 通過(guò)建立系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程 然后對(duì)其求解 以獲得系統(tǒng)的響應(yīng) 在離散系統(tǒng)中 對(duì)系統(tǒng)建立的是差分方程 連續(xù)系統(tǒng) 常系數(shù)微分方程 經(jīng)典解法 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 離散系統(tǒng) 常系數(shù)差分方程 用差分方程來(lái)描述時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 其有無(wú)數(shù)個(gè)解 若已知初始條件 一個(gè)N階常系數(shù)線性差分方程表示為 求解常系數(shù)線性差分方程的方法 2 經(jīng)典解法 1 遞推解法 對(duì)于 則 若N 0 y n 與輸入以及其以前值有關(guān) 其響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng) 無(wú)限沖激響應(yīng) IIR 有限沖激響應(yīng) FIR 若N 0 用微分方程和差分方程描述的一階系統(tǒng)的方框圖表示 1 離散時(shí)間系統(tǒng) DTS 基本組件 A 相加器B 乘以系數(shù)C 單位延遲 基本組件 Example y n ay n 1 bx n 2 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) CTS 基本組件 A 相加器B 乘以系數(shù)C 積分器 微分器 基本組件 Example y t ay t bx t