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工程中的不確定性統(tǒng)計(jì)與概率02 上講回顧 數(shù)據(jù)表示方法直方圖和累積分布均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差連續(xù)分布正態(tài)分布及其應(yīng)用 例 III 回顧 例 III 回顧 某公司入庫(kù)250個(gè)連桿 抗張強(qiáng)度均值為45ksi kilopoundsquareinch 千磅 平方英寸 標(biāo)準(zhǔn)偏差為5kpsi 假設(shè)抗張強(qiáng)度服從正態(tài)分布 a 有多少連桿的抗張強(qiáng)度將低于39 5kpsi 例 III 回顧 由于z 0 我們用公式 F 1 10 1 F 1 10 1 0 8643 0 1357 查表 于是 250 0 1357 3434個(gè)連桿的抗張強(qiáng)度將低于39 5kpsi 先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換 例 III 回顧 某公司入庫(kù)250個(gè)連桿 抗張強(qiáng)度均值為45ksi kilopoundsquareinch 千磅 平方英寸 標(biāo)準(zhǔn)偏差為5kpsi 假設(shè)抗張強(qiáng)度服從正態(tài)分布 b 有多少連桿的抗張強(qiáng)度位于39 5kpsi和59 5kpsi之間 例 III 回顧 由表 F 2 9 0 9981 所以抗張強(qiáng)度大于的概率為1 0 9981 0 0019 抗張強(qiáng)度位于39 5kpsi和59 5kpsi之間的概率為 1 0 1357 0 0019 0 8624 于是有250 0 8624 216個(gè)連桿的抗張強(qiáng)度位于39 5kpsi和59 5kpsi之間 先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換 例 III 回顧 課堂練習(xí)1 3分鐘 課堂練習(xí)1 500根鋼棒的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布 其均值為11cm 標(biāo)準(zhǔn)偏差為1cm 試估計(jì)長(zhǎng)度大于13cm的鋼棒的數(shù)量 課堂練習(xí)1 F z 1 F z z 500根鋼棒的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布 其均值為11cm 標(biāo)準(zhǔn)偏差為1cm 試估計(jì)長(zhǎng)度大于13cm的鋼棒的數(shù)量 F 2 0 9772于是 500 1 0 9772 11根鋼棒的長(zhǎng)度大于13cm 先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換 課堂練習(xí)1 本講內(nèi)容 復(fù)合統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制概率回歸 復(fù)合統(tǒng)計(jì) 假定有兩組數(shù)據(jù) 我們要對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)合統(tǒng)計(jì) 例如 兩個(gè)相互配合的零件的配合尺寸數(shù)據(jù) 或者承載零件的強(qiáng)度與加載零件的加載力之間的關(guān)系 如果零件的尺寸 強(qiáng)度或應(yīng)力有變化 則原本能夠配合的兩個(gè)零件可能配合不上 承載零件可能失效斷裂等 記Xi i 1 2 3 N 為分布1的數(shù)據(jù) 記Yi i 1 2 3 N 為分布2的數(shù)據(jù) 令變量Z表示變量X和變量Y的復(fù)合 且有 Zi Xi Yi i 1 2 3 N 均值的計(jì)算如下 復(fù)合統(tǒng)計(jì) 從均值的定義可以看出 均值可以進(jìn)行加減運(yùn)算 方差為 0 對(duì)于獨(dú)立或無(wú)關(guān)聯(lián)變量 復(fù)合統(tǒng)計(jì) 從方差的定義可以看出 不管均值是加還是減 方差必須要相加 0 0 0 對(duì)于連續(xù)分布 均值也能相加減 方差必須相加 標(biāo)準(zhǔn)偏差為 或 復(fù)合統(tǒng)計(jì) 例 IV 例 IV 從一批軸零件中抽樣1000根 發(fā)現(xiàn)直徑的均值為29 50mm 標(biāo)準(zhǔn)偏差為0 40mm 該軸的配合零件軸套的內(nèi)徑均值為30 50mm 標(biāo)準(zhǔn)偏差為0 50mm 如果隨機(jī)挑選一根軸和一根軸套 它們間隙小于零配合的概率是多大 假設(shè)尺寸都是正態(tài)分布的 例 IV 間隙的均值為 30 5 29 5 1 0mm 間隙的方差為 0 42 0 52 0 41 于是間隙的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 0 64 需要計(jì)算間隙小于零的概率 作以下變換 查表 有 F 1 562 1 F 1 562 1 0 9404 0 0596于是 間隙小于零配合的概率為5 96 例 IV 課堂練習(xí) 3分鐘 課堂練習(xí)2 桿直徑的均值為Dr 3 99cm 標(biāo)準(zhǔn)偏差為0 01cm 該桿將要與一套子配合 該套子的孔徑的均值為Ds 4 00cm 標(biāo)準(zhǔn)偏差為0 05cm 如果隨機(jī)挑選一根桿和一個(gè)套子 它們間隙小于零配合的概率是多大 假設(shè)直徑服從正態(tài)分布 需要計(jì)算間隙 0的概率 先進(jìn)行如下變換 查表 F 0 1961 0 5793F 0 1961 1 0 5793 0 4207即 間隙小于零配合的概率為 42 07 間隙均值 標(biāo)準(zhǔn)偏差 課堂練習(xí)2 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制的概念 在生產(chǎn)過(guò)程中 產(chǎn)品的加工尺寸的波動(dòng)是不可避免的 它是由人 機(jī)器 材料 方法和環(huán)境等基本因素的波動(dòng)影響所致 波動(dòng)分為兩種 正常波動(dòng)和異常波動(dòng) 正常波動(dòng)是偶然性原因 不可避免因素 造成的 它對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量影響較小 在技術(shù)上難以消除 在經(jīng)濟(jì)上也不值得消除 異常波動(dòng)是由系統(tǒng)原因 異常因素 造成的 它對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量影響很大 但能夠采取措施避免和消除 過(guò)程控制的目的就是消除 避免異常波動(dòng) 使過(guò)程處于正常波動(dòng)狀態(tài) 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制非常適合于重復(fù)性生產(chǎn)過(guò)程它能夠幫助我們對(duì)過(guò)程作出可靠地評(píng)估 確定過(guò)程的統(tǒng)計(jì)控制界限 判斷過(guò)程是否失控 為過(guò)程提供一個(gè)早期警報(bào)系統(tǒng) 及時(shí)控制過(guò)程情況 防止廢品發(fā)生 減少對(duì)常規(guī)檢測(cè)的依賴性 定時(shí)的觀察以及系統(tǒng)的測(cè)量方法替代了大量的檢測(cè)和驗(yàn)證工作 實(shí)施統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制一般分為兩大步驟 首先是利用統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制工具進(jìn)行分析第二步是用控制圖對(duì)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)控 并不需要檢測(cè)每一個(gè)數(shù)據(jù) 而只要監(jiān)測(cè)一個(gè)小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性 通過(guò)對(duì)若干個(gè)樣本平均值的比較 就可以判斷過(guò)程是否經(jīng)歷系統(tǒng)性的變化 檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)偏差 可以估計(jì)產(chǎn)品的相關(guān)性能是否改變 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制 通常以圖表形式對(duì)檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行顯示和分析控制圖的基本布局 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制 圖中的均值由以往測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)得到控制極限到均值的距離為標(biāo)準(zhǔn)偏差的三倍這意味著一個(gè)數(shù)據(jù)落在控制極限外面的概率為0 003 這是一個(gè)非常小的概率 圖示的控制圖中 測(cè)量值離均值線越來(lái)越遠(yuǎn) 說(shuō)明整個(gè)過(guò)程缺少控制 圖示的控制圖中 測(cè)量值呈現(xiàn)周期性變化 體現(xiàn)出了操作者或者環(huán)境因素的影響 概率 概率 概率基礎(chǔ)及其工程應(yīng)用 當(dāng)我們已經(jīng)建立好某個(gè)加工過(guò)程或系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)屬性 如高度分布 人體重量分布 加工表面的表面粗糙度分布等 我們就可以運(yùn)用這些分布規(guī)律來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè) 如 不適合飛機(jī)座椅的乘客比例 機(jī)加工零件中尺寸不符合要求的零件比例等 當(dāng)單個(gè)事件發(fā)生的概率確定后 就可以計(jì)算多重事件發(fā)生的概率 為了計(jì)算多重事件發(fā)生的概率 需要了解這些事件是否是互斥事件或獨(dú)立事件 互斥事件 一個(gè)事件發(fā)生 另外一個(gè)就不會(huì)發(fā)生 則稱這兩個(gè)事件為互斥事件 例如 投擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面這兩個(gè)事件即為互斥事件 獨(dú)立事件 一個(gè)事件是否發(fā)生 與另外一個(gè)事件的發(fā)生與否沒(méi)有關(guān)系 則稱這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件 例如 投擲兩次硬幣時(shí) 第一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面與第二個(gè)硬幣出現(xiàn)正面是完全獨(dú)立的 因此這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件 符號(hào) P E1 事件E1發(fā)生的概率P E2 事件E2發(fā)生的概率P E1 E2 事件E1或E2發(fā)生的概率P E1E2 事件E1和E2都發(fā)生的概率 概率 特別情形 P E1 E2 P E1 P E2 互斥事件P E1E2 P E1 P E2 獨(dú)立事件 一般情況下 P E1 E2 P E1 P E2 P E1E2 互斥事件 一個(gè)事件發(fā)生 另外一個(gè)就不會(huì)發(fā)生 獨(dú)立事件 一個(gè)事件是否發(fā)生 與另外一個(gè)事件的發(fā)生與否沒(méi)有關(guān)系 概率 1 P E1 1 P E2 T事件發(fā)生F事件不發(fā)生 事件E1和E2都發(fā)生 P E1 P E2 事件E1和E2都不發(fā)生 1 P E1 P E2 P E1 P E2 概率 事件E1或事件E2發(fā)生 E1E2FFTFFTTT T事件發(fā)生F事件不發(fā)生 1 bothfail 1 1 P E1 1 P E2 P E1 P E2 P E1 P E2 概率 例 V 例 V 將兩個(gè)可靠性為0 9的零件串行連接 則當(dāng)兩個(gè)零件都正常運(yùn)行時(shí) 系統(tǒng)正常運(yùn)行 系統(tǒng)能夠運(yùn)行的概率為 P E1E2 0 9 0 9 0 81 例 V 例 VI 例 VI 若兩個(gè)零件并行連接 系統(tǒng)能夠運(yùn)行的概率是多大 并行連接時(shí) 兩個(gè)零件都失效了 系統(tǒng)才失效 系統(tǒng)能夠運(yùn)行的概率為 P E1 E2 1 bothfail 1 1 0 9 1 0 9 0 99 例 VI 例 VII 例 VII 現(xiàn)有一種非常廉價(jià)但不太可靠的產(chǎn)品 其可靠度為0 3 現(xiàn)欲將這種產(chǎn)品并行連接 問(wèn) 需要多少個(gè)零件并行連接才能使系統(tǒng)達(dá)到0 99的可靠度 例 VII P works 1 P allfail 1 1 0 3 n 1 0 7n 0 99于是 1 0 99 0 7nln 1 0 99 ln 0 7n nln 0 7 n ln 1 0 99 ln 0 7 12 9需要13個(gè)產(chǎn)品并行連接 0 3 0 3 0 3 課堂練習(xí) 3分鐘 課堂練習(xí)3 計(jì)算如下系統(tǒng)的工作可靠性 兩個(gè)并行零件構(gòu)成的小系統(tǒng)的可靠性為 1 bothfail 1 1 0 8 1 0 9 0 98 0 98 整個(gè)系統(tǒng)的可靠性為 0 98 0 95 0 931 每個(gè)零件的可靠性如圖上所示 課堂練習(xí)3 根據(jù)測(cè)量出的散亂數(shù)據(jù) 確定變量間的相互關(guān)系 回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法 回歸 通常對(duì)于兩個(gè)變量x和y 我們會(huì)獲得一些數(shù)據(jù) 2 為了直觀地了解變量間的關(guān)系 可將這些數(shù)據(jù)繪制在x y平面上 散點(diǎn)圖 3為了更加精確的了解變量間的關(guān)系 我們采用回歸方法 即用一條直線或曲線來(lái)最佳地?cái)M合這些數(shù)據(jù)點(diǎn) 也就是給出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 x 回歸 一元線性回歸 回歸分析按照涉及的自變量的多少 可分為一元回歸分析和多元回歸分析 按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型 可分為線性回歸分析和非線性回歸分析 在回歸分析中 只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量 且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示 這種回歸分析稱為一元線性回歸分析 最小距離平方為 通過(guò)計(jì)算偏導(dǎo) 和 求a和b 使得這些點(diǎn)到最佳直線的豎直距離的平方和最小 回歸 得 即 回歸 內(nèi)容回顧 了解統(tǒng)計(jì)與概率的基本知識(shí)數(shù)據(jù)表達(dá)方法離散和連續(xù)分布正態(tài)分布及查表單獨(dú)事件和多重事件的概率從散亂數(shù)據(jù)中獲得其變化規(guī)律 統(tǒng)計(jì)與概率在統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制以及公差上的應(yīng)用 本講結(jié)束 謝謝 團(tuán)隊(duì)活動(dòng) 準(zhǔn)備答辯