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廈門大學數(shù)學科學學院杜妮 關于線性方程組的若干教學體會 2020 3 21 2 與線性方程組相關的數(shù)學史 線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線 關于 線性方程組 的教學體會 2020 3 21 3 線性代數(shù)作為一個獨立的分支在20世紀才形成 然而它的歷史卻非常久遠 最古老的線性問題是線性方程組的解法 中國古代的數(shù)學著作 九章算術 方程 中 已經(jīng)作了比較完整的敘述 其中所述方法實質上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換 消去未知量的方法 即高斯消元法 2020 3 21 4 在西方 線性方程組的研究是在17世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的 他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組 隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入 行列式和矩陣在18 19世紀期間先后產(chǎn)生 為處理線性問題提供了有力的工具 從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展 2020 3 21 5 大量的科學技術問題 最終往往歸結為解線性方程組 因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時 線性方程組解的結構等理論性工作也取得了令人滿意的進展 現(xiàn)在 線性方程組的數(shù)值解法在計算數(shù)學中占有重要地位 2020 3 21 6 線性方程組為主線 如何判斷方程組是否有解 有解時如何求解 解的結構 2020 3 21 7 行列式 矩陣 初等變換 2020 3 21 8 判斷解的存在性和唯一性 定義Ax b的系數(shù)矩陣 A 增廣矩陣 解的判定 2020 3 21 9 多解時 解與解之間的關系 向量 線性相關性 基礎解系 解的結構 特解 導出組通解 2020 3 21 10 對 線性方程組 教學內容的教學體會 1 討論一個向量能否由一組向量線性表示的問題經(jīng)常轉化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問題 線性方程組有解 2020 3 21 11 2020 3 21 12 2 對非齊次線性方程組解的結構的進一步分析 齊次線性方程組的解向量集合構成子空間 但非齊次線性方程組的解向量集合則不然 下例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無關組 2020 3 21 13 2020 3 21 14 注 對非齊次線性方程組 有時也把如題中所給的個解稱為其基礎解系 所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數(shù)之和為1時 才是方程組的解 2020 3 21 15 3 方程組Ax 0的解全是Bx 0的解的充要條件是B的行向量可由A的行向量線性表示 方程組Ax 0的解與Bx 0同解的充要條件是A的行向量組與B的行向量組等價 2020 3 21 16 例對實矩陣Am n 證明 2020 3 21 17 4 線性映射的核 例設 定義線性映射A 則KerA即為Ax 0的解空間 注 由同構的思想 求線性映射的核空間的問題可轉化為求上述KerA的問題 2020 3 21 18 例是V的一組基 是U的一組基 求 2020 3 21 19 2020 3 21 20 例 設V是四維行向量空間 內積為標準內積 求V中與矩陣的每個行向量都正交的全體向量所構成的子空間的維數(shù) 5 齊次線性方程組Ax 0的解空間即為與A的每個行向量都正交的全體向量所構成的子空間 2020 3 21 21 謝謝