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第17講特殊三角形 山西專用 1 等腰三角形 1 性質(zhì) 等腰三角形的兩底角相等 兩腰相等 等腰三角形的 中線 頂角平分線 三線合一 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形 高線 或底邊中線 頂角平分線 所在直線是它的對(duì)稱軸 2 判定 有兩角相等的三角形是等腰三角形 有 相等的三角形是等腰三角形 高線 兩邊 2 等邊三角形 1 性質(zhì) 三邊相等 三個(gè)內(nèi)角都等于 等邊三角形是軸對(duì)稱圖形 有 條對(duì)稱軸 2 判定 三邊相等 三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60 的等腰三角形是等邊三角形 3 直角三角形 1 性質(zhì) 兩銳角之和等于 斜邊上的中線等于斜邊的一半 30 的角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的 勾股定理 若直角三角形的兩條直角邊分別為a b 斜邊為c 則有a2 b2 c2 2 判定 有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形 勾股定理逆定理 如果三角形三邊長(zhǎng)a b c滿足關(guān)系a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形是直角三角形 一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形 60 3 90 一半 4 等腰直角三角形 1 性質(zhì) 兩直角邊 兩銳角相等且都等于 2 判定 有兩邊相等的直角三角形 有一個(gè)角為45 的直角三角形 頂角為90 的等腰三角形 有兩個(gè)角是45 的三角形 相等 45 命題點(diǎn)1 等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算1 2014 山西16題3分 如圖 在 ABC中 BAC 30 AB AC AD是BC邊上中線 ACE BAC CE交AB于點(diǎn)E 交AD于點(diǎn)F 若BC 2 則EF的長(zhǎng)為 導(dǎo)學(xué)號(hào)02052279 1 命題點(diǎn)2 直角三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算1 2014 山西4題3分 如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為 周髀算經(jīng) 作注解時(shí)給出的 弦圖 它解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是 A 黃金分割B 垂徑定理C 勾股定理D 正弦定理 C 分析 先根據(jù)題意判斷出 ABC是等邊三角形 由BD AC想到等腰三角形的三線合一 即可得出CD 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出 BDE 進(jìn)而得出 CDE的度數(shù) 由此可知CD CE即可得到CE的長(zhǎng) 方法指導(dǎo) 在以等腰三角形為背景求線段長(zhǎng)的問(wèn)題中 最常用的工具為 等腰三角形三線合一 由此可以找到相應(yīng)的角度 線段長(zhǎng)度以及垂直關(guān)系 進(jìn)而可通過(guò)三角形全等 相似 勾股定理等求解 若已知圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)時(shí) 常用中位線的性質(zhì)得到線段平行和數(shù)量關(guān)系 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 如圖 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上 EP BC于點(diǎn)P 交AB于點(diǎn)F 若AF 2 BF 3 則CE的長(zhǎng)度為 解析 在 ABC中 AB AC B C EP BC C E 90 B BFP 90 E BFP 又 BFP AFE E AFE AF AE AEF是等腰三角形 又 AF 2 BF 3 CA AB 5 AE 2 CE 7 7 分析 由 AD平分 BAC AC BC 想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 過(guò)點(diǎn)D作DF AB于點(diǎn)F 則根據(jù)已知條件 BD 2 CD 1 可以推知 B 30 然后在含有30 角的直角 AFD和 AED中即可求出MD的長(zhǎng)度 方法指導(dǎo) 解決與直角三角形有關(guān)的計(jì)算 1 若直角三角形中含有30 角時(shí) 可考慮利用30 角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半 2 若直角三角形出現(xiàn)中線時(shí) 可考慮利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行求解 3 計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)問(wèn)題 如果所求線段是在直角三角形或可通過(guò)作輔助線作出含可求出兩邊的直角三角形中 一般應(yīng)用勾股定理求解 即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和 D