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概率與數(shù)理統(tǒng)計課件 天津科技大學理學院數(shù)學系 第十二單元隨機變量的數(shù)字特征 第十二單元隨機變量的數(shù)字特征總結 教學目的 掌握隨機變量的數(shù)字特征 了解切比雪夫不等式和大數(shù)定律 教學重點 理解數(shù)學期望和訪查的概念 掌握它們的性質(zhì)與計算 記住常用分布的數(shù)學期望和方差 教學難點 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 知識要點回顧 隨機變量的數(shù)學期望 離散型 連續(xù)型 隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望 二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望 數(shù)學期望的性質(zhì) 隨機變量的方差 離散型 連續(xù)型 方差的性質(zhì) 隨機變量的階原點矩 隨機變量的階中心矩 隨機變量與的協(xié)方差及其性質(zhì)隨機變量與的相關系數(shù)及其性質(zhì)切比雪夫不等式 切比雪夫定理 伯努利定理 隨機變量的數(shù)字特征典型例題 下一頁 總結 上一頁 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 解 注 計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望原則上有兩種方法 一種是先求出隨機變量的概率分布或概率密度 再按數(shù)學期望的定義計算 一種是直接帶入要點2種所列的公式 通常用后一種方法較簡便 2 設二維隨機變量的概率密度求 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 下一頁 注 二維隨機變量的許多計算都可歸結為計算二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 所以要點3所列公式應會靈活應用 返回 返回 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 3 填空 1 已知 則 2 隨機變量相互獨立 又 則 3 設獨立且同分布 則 4 隨機變量的方差為2 則根據(jù)切比雪夫不等式 估計 解 1 2 3 或 4 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 4 一臺設備有三大部件構成 在設備運轉中各部件需要調(diào)整的概率相應為0 1 0 2 0 3 假設各部件相互獨立 以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù) 求數(shù)學期望和方差 解 由服從 0 1 分布 得則注 利用性質(zhì)來計算數(shù)學期望和方差往往較有效 應該學會這種方法 另外 應記住常用分布相應的數(shù)學期望和方差 分析 先引入新隨機變量 則相互獨立 再利用 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 5 甲乙兩隊比賽 若有一隊先勝四場 則比賽結束 假定甲隊在每場比賽中獲勝的概率為0 6 乙隊為0 4 求比賽場數(shù)的數(shù)學期望 解 場 注 對應用題而言 大量計算是計算概率 這就要求掌握好以前所學過的各種計算概率的方法 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 6 設隨機變量服從分布 其概率密度 其中是常數(shù) 求 解 又故 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 7 設在區(qū)域上服從均勻分布 求 解 注 二維隨機變量服從均勻分布也是常見的情形 可以自然的推廣到n維隨機變量服從均勻分布 其聯(lián)合概率密度寫法是類似的 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 返回 8 計算下列各題 1 設與相互獨立 求 2 設與相互獨立 其數(shù)學期望與方差均為已知值 求 解 1 2 隨機變量的數(shù)字特征典型例題解答 下一頁 9 設二維隨機變量的概率密度 試問 1 與是否相互獨立 2 是否相關 解 1 的邊際概率密度分別為由于 所以與不相互獨立 2 利用奇函數(shù)性質(zhì) 所以 與不相關 返回 總結 隨機變量的分布函數(shù)完整的描述隨機變量的統(tǒng)計特征 但在實際中要找出隨機變量的分布函數(shù) 或概率分布 概率密度 有時是十分困難的 而許多實際問題只需要知道隨機變量的某些特征數(shù)字就可以了 這說明掌握特征數(shù)字 即數(shù)學期望 方差等等的概念 計算及相關計算是十分重要的 學習隨機變量的數(shù)字特征 要求理解數(shù)學期望與方差的定義 掌握它們的性質(zhì)與計算 理解獨立于相關的概念 會求協(xié)方差與相關系數(shù) 了解高階矩的概念 了解切比雪夫不等式與大數(shù)定律