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牛吃草問題 導入 一堆草可供10頭牛吃3天 這堆草可供6頭牛吃幾天 這道題太簡單了 同學們一下就可求出 3 10 6 5 天 如果我們把 一堆草 換成 一片正在生長的草地 問題就不那么簡單了 因為草每天都在生長 草的數(shù)量在不斷變化 這類工作總量不固定 均勻變化 的問題就是牛吃草問題 牛吃草問題是牛頓問題的俗稱 英國大數(shù)學家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學題 牧場上一片青草 每天牧草都勻速生長 這片牧草可供10頭牛吃20天 或者可供15頭牛吃10天 問 可供25頭牛吃幾天 設1頭牛一天吃的草為1份 那么 10頭牛20天吃200份 草被吃完 15頭牛10天吃150份 草也被吃完 前者的總草量是200份 后者的總草量是150份 前者是原有的草加20天新長出的草 后者是原有的草加10天新長出的草 200 150 50 份 20 10 10 天 說明牧場10天長草50份 1天長草5份 也就是說 5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完 5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草 由此得出 牧場上原有草 l0 5 20 100 份 或 15 5 10 100 份 現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份 每天新長出草5份 當有25頭牛時 其中的5頭專吃新長出來的草 剩下的20頭吃原有的草 吃完需100 20 5 天 所以 這片草地可供25頭牛吃5天 在例1的解法中要注意三點 1 每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的 2 在已知的兩種情況中 任選一種 假定其中幾頭牛專吃新長出的草 由剩下的牛吃原有的草 根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量 3 在所求的問題中 讓幾頭牛專吃新長出的草 其余的牛吃原有的草 根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天 練習 1 一牧場上的青草每天都勻速生長 這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周 那么 可供21頭牛吃幾周 例2 由于天氣逐漸冷起來 牧場上的草不僅不長大 反而以固定的速度在減少 已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天 或可供15頭牛吃6天 照此計算 可供多少頭牛吃10天 設1頭牛1天吃的草為1份 20頭牛5天吃100份 15頭牛6天吃90份 100 90 10 份 說明寒冷使牧場1天減少青草10份 也就是說 寒冷相當于10頭牛在吃草 由 草地上的草可供20頭牛吃5天 再加上 寒冷 代表的10頭牛同時在吃草 所以牧場原有草 20 10 5 150 份 由150 10 15知 牧場原有草可供15頭牛吃10天 寒冷占去10頭牛 所以 可供5頭牛吃10天 變式訓練 1 一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管 先打開進水管 等水池存了一些水后 再打開出水管 如果同時打開2個出水管 那么8分鐘后水池空 如果同時打開3個出水管 那么5分鐘后水池空 那么出水管比進水管晚開多少分鐘 分析 雖然表面上沒有 牛吃草 但因為總的水量在均勻變化 水 相當于 草 進水管進的水相當于新長出的草 出水管排的水相當于牛在吃草 所以也是牛吃草問題 解法自然也與例1相似 出水管所排出的水可以分為兩部分 一部分是出水管打開之前原有的水量 另一部分是開始排水至排空這段時間內(nèi)進水管放進的水 因為原有的水量是不變的 所以可以從比較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題 設出水管每分鐘排出水池的水為1份 則2個出水管8分鐘所排的水是2 8 16 份 3個出水管5分鐘所排的水是3 5 15 份 這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時間內(nèi)的進水量 兩者相減就是在8 5 3 份 內(nèi)所放進的水量 所以每分鐘的進水量是1 3 份 原有水的水量為 2 1 3 8 40 3 份 解 設出水管每分鐘排出得水為1份 每分鐘進水量 2 8 3 5 8 5 1 3 份 進水管提前開了 2 1 3 8 1 3 40 分 答 出水管比進水管晚開40分鐘 變式訓練2 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著 兩位性急的孩子要從扶梯上樓 已知男孩每分鐘走20級梯級 女孩每分鐘走15級梯級 結果男孩用了5分鐘到達樓上 女孩用了6分鐘到達樓上 問 該扶梯共有多少級 分析 上樓的速度可以分為兩部分 一部分是男 女孩自己的速度 另一部分是自動扶梯的速度 男孩5分鐘走了20 5 100 級 女孩6分鐘走了15 6 90 級 女孩比男孩少走了100 90 10 級 多用了6 5 1 分 說明電梯1分鐘走10級 所以扶梯共有 20 10 5 150 級 解 自動扶梯每分鐘走 20 5 15 6 6 5 10 級 自動扶梯共有 20 10 5 150 級 答 扶梯共有150級 解 自動扶梯每分鐘走 20 5 15 6 6 5 10 級 自動扶梯共有 20 10 5 150 級 答 扶梯共有150級 變式訓練3 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊 每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多 從開始檢票到等候檢票的隊伍消失 同時開4個檢票口需30分鐘 同時開5個檢票口需20分鐘 如果同時打開7個檢票口 那么需多少分鐘 分析與解 等候檢票的旅客人數(shù)在變化 旅客 相當于 草 檢票口 相當于 牛 可以用牛吃草問題的解法求解 旅客總數(shù)由兩部分組成 一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊的原有旅客 另一部分是開始檢票后新來的旅客 設1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份 因為4個檢票口30分鐘通過 4 30 份 5個檢票口20分鐘通過 5 20 份 說明在 30 20 分鐘內(nèi)新來旅客 4 30 5 20 份 所以每分鐘新來旅客 4 30 5 20 30 20 2 份 假設讓2個檢票口專門通過新來的旅客 兩相抵消 其余的檢票口通過原來的旅客 可以求出原有旅客為 4 2 30 60 份 或 5 2 20 60 份 60 7 2 12 分 小結 通常思路 1 求出每天長草量 2 求出牧場原有草量 3 求出每天實際消耗原有草量 牛吃的草量 生長的草量 消耗原有草量 4 最后求出可吃天數(shù) 謝謝大家