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2014年秋季《數(shù)學分析選論》在線作業(yè) 1. 計算, 其中是圓周, ，若從軸正向看出，L是沿逆時針方向運行. 解： 平面的法線方向單位向量為，圍成方程為 依斯托克斯公式得， = . 2. 試論下列函數(shù)在指定點的重極限，累次極限 （1） , ； （2） . 解： (1) 注意到 , ， 故兩個累次極限均為0，但是, 所以重極限不存在. (2) 注意到 , , 故兩個累次極限不存在. 此外，因為 ， 所以. 3. 設是由方程，求. 解： 方程兩邊對求偏導，有, 因而 . 方程兩邊對求偏導，有 , 因而 . 故 . 4. 計算, 其中為由平面, , , , 與所圍成. 解： 在平面上的投影區(qū)域為, 于是 5. 設 是某可微函數(shù)的全微分，求的值. 解： 不妨設該可微函數(shù)為，則按定義可得 ，， 由此知. 從而又得 . 聯(lián)系到上面第一式，有 或 , 從而 . 6. 求曲面被柱面與平面所割下部分的面積. 解： 曲面方程表示為 , , , 于是所求面積 S= 7. 計算，其中為以，，，為頂點的正方形封閉圍線. 解： 段：直線方程 ，， . 段：直線方程 ，， . 段：直線方程 ，， 段：直線方程 ，， 于是有， =0 . 8. 求曲面被平面截下部分之曲面面積S. 解： 由得 ，從而 。 注意到該曲面上的點關于平面對稱，且其上半部分在平面上的投影為區(qū)域，從而有 . 9. 求, 其中是點A(2,0)到點O(0,0)的上半圓周. 解： 用軸上直線段, 使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線. 設, .有 . 于是,由格林公式知 =. 其中在直線段上, 有, , 則 . 因此 10. 試討論函數(shù) 在處的可微性. 解： 因為, 所以, , 其中 , ， 由此知在處可微. 11. 求, 其中S是邊長為的正方體的外側(cè). 解： 利用高斯公式, 得 12. 計算，其中為四分之一 的邊界，依逆時針方向. 解： 設，，則 原式＝ ＝ 13. 設由方程 所確定，試求. 解： 對原方程取對數(shù)，得，并該式兩端對求導，有 ，即 ， 再對上式兩端對求導，得 . 14．求表面積為, 而體積最大的長方體的體積. 解： 設長，寬，高分別為，則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù) 的最大值，聯(lián)系方程為 . 設輔助函數(shù)為 ，則有 解方程組得到，因而最大體積為. 15．求橢圓面在處的切平面方程與法線方程. 解： 設. 由于在全空間上處處連續(xù), 在處 于是, 得切平面方程為 , 即 .法線方程為 16. 設, 求. 解： 方程組兩邊對求偏導得到 , 因此有 ，。 方程組兩邊對求偏導得到, 因此 17. 設 , 而 , . 求, . 和 解： 由于 , , , , 于是 , . 18. 設 . 求 , . 解： 這里是以和 為自變量的復合函數(shù), 它可寫成如下形式, , . 由復合函數(shù)求導法則知 . 于是 , 19. 變換為球面坐標計算積分 . 解：積分區(qū)域變換為球面坐標為 . 于是, = 20. 設函數(shù)連續(xù)，, 其中，，求和 . 解： 因為區(qū)域為柱狀區(qū)域，被積函數(shù)中第二項為 ，所以用柱坐標法比較方便． . 于是, . 利用洛必達法則, 有 . 21. 解答下列問題 （1）設 是光滑弧上的連續(xù)函數(shù)，長度記為，則 ， ， (2) 設， ， 則， （3）設是曲線 上從到之線段，證明: . 解： (1) 注意到柯西不等式 ， 。 （2）由于 ， ， 可知 . 采用極坐標，可得 . 由此知 , 利用題（1），有 ， （3）因為 ，所以 ， 。 . 將曲線用參數(shù)式表示，即令 ， ，且取順時針方向為正，可知 22. 計算 ， 其中 S是由曲面與平面所圍成立體表面的外側(cè). 解： 曲面S1取負側(cè)，而投影區(qū)域為D1：，于是應用極坐標可得 ， 曲面S2取正側(cè)，而投影區(qū)域為D2：2，于是應用極坐標可得 ， 于是, . 23. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性 （1） （2） 解： （1）注意到 ， 有 因此,，即 在（0，0）處連續(xù). （2）注意到 , 故在（0，0）處不連續(xù). 24. 計算曲面積分, 其中為圓錐面被曲面所割下的部分. 解： 對于圓錐面，則 ， 在平面上投影區(qū)域為：，于是 25. 設是由直線 和 圍成, 試求 的值. 解： 先對積分后對積分 . 由分部積分法, 知 26. 設是上的正值連續(xù)函數(shù)，試證 ，其中是 ，. 證明： 由于對上面區(qū)域變換積分變量記號時，積分區(qū)域不變，因此 27. 設在上可微函數(shù)滿足+，試證：在極坐標系里只是的函數(shù). 證： 對于復合函數(shù) ，, 由于 ， =+， 因此當時，，與無關，即在極坐標系里只是的函數(shù). 28. 證明： 方程所確定的隱函數(shù) 滿足 . 證明： 對方程兩邊分別對和求偏導數(shù)，有 ， 分別解得 ，， 于是，得到 29. 設 證明：不存在. 證明： 注意到, 它隨而異，因此不存在. 30. 設 證明:. 證明： 對 由于 可知當時,便有 . 故