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（十六）數(shù)學(xué)分析2考試題 一、 單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分） 1、 函數(shù)在[a,b]上可積的必要條件是（ ） A連續(xù) B有界 C 無(wú)間斷點(diǎn) D有原函數(shù) 2、函數(shù)是奇函數(shù)，且在[-a,a]上可積，則（ ） A B C D 3、 下列廣義積分中，收斂的積分是（ ） A B C D 4、級(jí)數(shù)收斂是部分和有界且的（ ） A 充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無(wú)關(guān)條件 5、下列說(shuō)法正確的是（ ） A 和收斂，也收斂 B 和發(fā)散，發(fā)散 C 收斂和發(fā)散，發(fā)散 D收斂和發(fā)散，發(fā)散 6、在[a，b]收斂于a（x），且an（x）可導(dǎo)，則（ ） A B a（x）可導(dǎo) C D 一致收斂，則a（x）必連續(xù) 7、下列命題正確的是（ ） A在[a，b]絕對(duì)收斂必一致收斂 B在[a，b] 一致收斂必絕對(duì)收斂 C 若，則在[a，b]必絕對(duì)收斂 D在[a，b] 條件收斂必收斂 8、的和函數(shù)為 A B C D 9、函數(shù)的定義域是（ ） A B C D 10、函數(shù)f(x,y)在（x0,,y0）偏可導(dǎo)與可微的關(guān)系（ ） A可導(dǎo)必可微 B可導(dǎo)必不可微 C可微必可導(dǎo) D 可微不一定可導(dǎo) 二、計(jì)算題：（每小題6分，共30分） 1、，求 2、計(jì)算 3、計(jì)算的和函數(shù)并求 4、設(shè)，求 5、求 三、討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共20分） 1、 討論在（0，0）點(diǎn)的二階混合偏導(dǎo)數(shù) 2、 討論的斂散性 四、證明題：（每小題10分，共30分） 1、設(shè)在[a，b]上Riemann可積， ，證明函數(shù)列在[a，b]上一致收斂于0 2、設(shè)，證明它滿足方程 3、 設(shè)在[a，b]連續(xù)，證明，并求 參考答案 一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、（3分）令，（3分） 2、=（6分） 3、解：令=，由于級(jí)數(shù)的收斂域（2分），=，=（2分），令，得 4、解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)（3分）（2分）（1分） 5、解：（5分）（1分） 由于x=-2，x=2時(shí)，級(jí)數(shù)均不收斂，所以收斂域?yàn)椋?2，2）（3分） 三、1、解、（2分） (4分） （6分） 2、解：由于（3分），即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散（7分） 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分） 四、證明題（每小題10分，共20分） 1、證明：因?yàn)樵赱a，b]上可積，故在[a，b]上有界，即，使得，（3分）從而一般來(lái)說(shuō)，若對(duì)有（5分）則，所以在[a，b]上一致收斂于0（2分） （2）（4分） 將式（2）代入（1）得證（2分） 2、 ，，（7分）則（3分） 3、 證明：令 得證（7分）（3分） （十七）數(shù)學(xué)分析2考試題 二、 單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分） 1、 函數(shù)在 [a,b] 上可積的充要條件是（ ） A "e>0,$ s>0和d>0使得對(duì)任一分法D，當(dāng)l（D）0,s>0, d>0使得對(duì)某一分法D，當(dāng)l（D）0,$d>0使得對(duì)任一分法D，當(dāng)l（D）0, s>0，$ d>0使得對(duì)任一分法D，當(dāng)l（D）0,$ N（e）>0，使"m>n> N有 B "e>0, N>0，使"m>n> N有 C $e>0, " N（e）>0，使"m>n> N有 D "e>0,$ N（e）>0，使$m>n> N有 8、的收斂域?yàn)椋? ） A (-1,1) B (0,2] C [0,2） D [-1,1） 9、重極限存在是累次極限存在的（ ） A充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無(wú)關(guān)條件 10、（ ） A B C D 三、 計(jì)算題：（每小題6分，共30分） 1、 2、計(jì)算由曲線和圍成的面積 3、求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 5、 已知可微，求 6、 求在（0，0）的累次極限 三、判斷題（每小題10分，共20分） 1、 討論的斂散性 2、 判斷的絕對(duì)和條件收斂性 四、證明題（每小題10分，共30分） 1、設(shè)f(x)是[-a，a]上的奇函數(shù)，證明 2、證明級(jí)數(shù)滿足方程 3、 證明S為閉集的充分必要條件是Sc是開(kāi)集。 參考答案 一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、1、解：=（2分）由于為奇函數(shù)=0（2分）=（2分）所以積分值為（1分） 2、 解：兩曲線的交點(diǎn)為（1，2）（2分） 所求的面積為：1/222+（4分） 3、解：由于（3分），（3分） 4、解：==（3分）（3分） 5、解：，（3分）（3分） 三、1、解：由于（6分），又收斂（2分） 所以原級(jí)數(shù)收斂（2分） 2、解：當(dāng)時(shí)，有，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4分）， 當(dāng)時(shí)，，原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分） 當(dāng)時(shí)，有，由上討論知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4分） 四、證明題（每小題10分，共30分） 1、證明： （1）（4分） （ 2）（4分） 將式（2）代入（1）得證（2分） 2、證明：所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，在收斂域?nèi)逐項(xiàng)微分之，得（8分）代入得證（2分） 3、證明：必要性 若S為閉集，由于S的一切聚點(diǎn)都屬于S，因?yàn)椋瑢?duì)于任意的。x不是S的聚點(diǎn)，也就是說(shuō)，存在x的鄰域使得，即，因此Sc是開(kāi)集。 充分性 對(duì)任意的，由于Sc是開(kāi)集，因此存在x的鄰域使得， 即x不是S的聚點(diǎn)。所以如果S有聚點(diǎn)，它就一定屬于S.