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混合同余法產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法總結(jié) 主要學(xué)習(xí)混合同余法產(chǎn)生各種分布的隨機(jī)數(shù)的方法，見參考文獻(xiàn)[1, 2]，重點(diǎn)參考[2]。其中要注意混合同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的參數(shù)的選取。 1 混合同余法產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù) 1.1 混合同余法 通過同余運(yùn)算生成偽隨機(jī)數(shù)的方法稱為同余法，常用的同余法包括加同余法、乘同余法、混合同余法、除同余法。其中乘同余法和混合同余法的性能更好，有速度快、內(nèi)存省、周期長(zhǎng)、統(tǒng)計(jì)特性好等優(yōu)點(diǎn)。混合同余法是Lehmer在1951年提出的，其迭代公式為[2]： 公式、中，mod表示求余函數(shù)，均為正整數(shù)。其中是模數(shù)，是乘數(shù)，是增量，為初始值，當(dāng)時(shí)，稱此算法為乘同余法；若，則稱算法為混合同余法，當(dāng)取不為零的適當(dāng)數(shù)值時(shí)，有一些優(yōu)點(diǎn)，但優(yōu)點(diǎn)并不突出，故常取。是在內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量，則是在內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量。式中的取值并不是隨意的，模大小是發(fā)生器周期長(zhǎng)短的主要標(biāo)志，常見有為素?cái)?shù)，取為的原根，則周期。試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，用以下參數(shù)進(jìn)行混合同余法產(chǎn)生的隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性較好： 在式~中，16807、32719、1220703125都是的原根。 混合同余法產(chǎn)生的隨機(jī)序列具有以下特點(diǎn)： 重復(fù)周期較小，由于取值在內(nèi)，其周期，受的值得影響，在編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，浮點(diǎn)運(yùn)算也會(huì)對(duì)產(chǎn)生影響 用此方法產(chǎn)生的隨機(jī)序列，在一個(gè)周期內(nèi)任意兩個(gè)隨機(jī)數(shù)不可能相等，這往往與實(shí)際情況不相符 經(jīng)Hull和Dobell證明，只有滿足以下一些關(guān)系才能實(shí)現(xiàn)周期最大化，即，條件如下： 與互質(zhì)（或互素，即它們的最大公約數(shù)為1） 設(shè)為某一質(zhì)數(shù)，分別能被和4整除，且能被和4整除 產(chǎn)生具有最大周期的偽隨機(jī)序列的混合同余法算法為： 由于時(shí)，只有一個(gè)素?cái)?shù)因子2，且4也是的因子，此時(shí)，正好滿足了的第二個(gè)條件；而此時(shí)剛好與互質(zhì)，即滿足的第一個(gè)條件。 1.2 改進(jìn)的混合同余法 改進(jìn)的混合同余法的迭代公式如下[2]： 改進(jìn)的混合同余法具有以下特點(diǎn)： 比混合同余法產(chǎn)生的周期長(zhǎng)， 允許某個(gè)偽隨機(jī)數(shù)重復(fù)發(fā)生，且重復(fù)發(fā)生的次數(shù)為 偽隨機(jī)序列的周期一般與初始值的選取無關(guān)，只有極個(gè)別的情況除外 1.3 原根相關(guān)知識(shí) 1.3.1 歐拉函數(shù) 在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是少于或等于n的數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，它又稱為Eulers totient function、φ函數(shù)、歐拉商數(shù)等。 例如φ(8)=4，因?yàn)?,3,5,7均和8互質(zhì)。 1.3.2 原根 定義1 設(shè)m > 1，(a, m) = 1，則使 成立的最小的正整數(shù)r，稱為a對(duì)模m的指數(shù)，記為dm(a)，在不致誤會(huì)的情況下，簡(jiǎn)記為d(a)。 由Euler定理，當(dāng)r = j(m)時(shí)式(1)成立，因此，恒有dm(a) j(m)。 若a b (mod m)，(a, m) = 1，則顯然有dm(a) = dm(b)。 定義2 若dm(a) = j(m)，則稱a是模m的原根。 例如，當(dāng)m = 7時(shí)，因?yàn)? 21 2，22 4，23 1 (mod 7)， 所以d7(2) = 3。又因?yàn)? 31 3，32 2，33 6，34 4，35 5，36 1 (mod 7)， 所以d7(3) = 6 = j(7)，3是模7的原根。 以后，在談到a對(duì)模m的指數(shù)時(shí)，總假定m > 1，(a, m) = 1。 參考文獻(xiàn) [1] 吳飛. 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的幾種方法及其應(yīng)用[J]. 數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2006, (01): 48-51. [2] 郭鳳鳴. 一種生成大周期偽隨機(jī)數(shù)的新算法——改進(jìn)的混合同余法[J]. 地球科學(xué), 1992, (06): 733-738.