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2014年北京高考數(shù)學(xué)試卷分析 及2015年備考建議 ——學(xué)大教育北京分公司教研部 韓乾 2014年的北京高考?jí)m埃落定.縱觀歷年北京數(shù)學(xué)試卷，不難發(fā)現(xiàn)今年的高考試卷延續(xù)了近幾年高考數(shù)學(xué)命題的風(fēng)格——題干大氣，內(nèi)容豐富，題目難度適中，區(qū)分度較好.考試題目依然突出數(shù)學(xué)主干知識(shí)（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)與概率、立體幾何、解析幾何等），整體比以往更偏重于對(duì)“三基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的考查.部分試題較往年有一定的創(chuàng)新性變化，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.下面從幾個(gè)方面對(duì)北京高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行分析. 總體分析 一. 試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 從試卷結(jié)構(gòu)看，2014年北京高考試卷與往年一致： 北京高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu) 題型 題目序號(hào) 分值 第I卷 選擇題 1~8 40 第II卷 填空題 9~14 30 解答題 15~20 80 試卷結(jié)構(gòu)這一點(diǎn)也符合2014年北京高考考試說(shuō)明的要求. 二. 注重?cái)?shù)學(xué)能力 2014北京卷體現(xiàn)了高考說(shuō)明中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的要求：注重對(duì)通性通法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)思維能力(空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力)的考查. 北京高考數(shù)學(xué)試題總能使人感到清新自然，因?yàn)楸本└呖甲⒅財(cái)?shù)學(xué)思維能力的考查.因此考生需要跳出“術(shù)數(shù)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)怪圈，不能用數(shù)學(xué)知識(shí)記憶、數(shù)學(xué)技巧來(lái)代替數(shù)學(xué)能力.正因?yàn)槿绱?，北京市高考?shù)學(xué)近幾年連續(xù)涌現(xiàn)出很多“好題”，比如2010年解析幾何大題、2011年第8題(整點(diǎn)個(gè)數(shù)范圍)、2012年與2013年概率統(tǒng)計(jì)大題、同時(shí)還有近些年動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題等等.例如2013年的解三角形大題，過(guò)程簡(jiǎn)單，思維能力要求卻比較高，讓人回味無(wú)窮.今年的考題在形式上很有創(chuàng)新，考生需要在考試中冷靜處理分析. 三. 命題難度穩(wěn)中有升 從整體難度看，2014北京市高考理科數(shù)學(xué)試題難度有一定上升，而文科數(shù)學(xué)難度略微下降.文科數(shù)學(xué)的難度變化主要體現(xiàn)在——以往壓軸題考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，而今年卻因?yàn)榍懊婕尤肓艘粋€(gè)數(shù)列解答題，使得以往的壓軸題被常規(guī)的導(dǎo)數(shù)題；理科數(shù)學(xué)的難度變化是因?yàn)閭€(gè)別題目的命題方式推陳出新，使得學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)不太順手導(dǎo)致的.客觀而言，大多數(shù)題目難度與2013年基本持平. 近年北京高考數(shù)學(xué)平均分 2009 2010 2011 2012 2013 2014 理 102 92 101 95 101 97 文 90 92 93 88 88 101 2014北京卷試題延續(xù)了基礎(chǔ)試題與中檔試題占大多數(shù)的特點(diǎn).雖然今年推陳出新，個(gè)別試題使部分同學(xué)臨場(chǎng)發(fā)揮受影響，但這反過(guò)來(lái)說(shuō)明平時(shí)的復(fù)習(xí)教學(xué)還有工作做的不到位，有墨守成規(guī)的傾向.這需要在今后的教學(xué)工作中做出相應(yīng)的調(diào)整. 試題分析 試卷題目所對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)情況表： 題型 題號(hào) 主要考查知識(shí)（理） 主要考查知識(shí)（文） 分值 選 擇 題 1 集合 集合 5 2 函數(shù) 函數(shù) 5 3 參數(shù)方程 平面向量 5 4 程序框圖 程序框圖 5 5 數(shù)列 不等式 5 6 線性規(guī)劃 函數(shù) 5 7 立體幾何 圓 5 8 實(shí)際應(yīng)用 實(shí)際應(yīng)用 5 填 空 題 9 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù) 5 10 平面向量 圓錐曲線 5 11 圓錐曲線 三視圖 5 12 數(shù)列 解三角形 5 13 排列組合 線性規(guī)劃 5 14 三角函數(shù) 實(shí)際應(yīng)用 5 解 答 題 15 解三角形 數(shù)列 13 16 概率統(tǒng)計(jì) 三角函數(shù) 13 17 立體幾何 立體幾何 14 18 導(dǎo)數(shù) 概率統(tǒng)計(jì) 13 19 圓錐曲線 圓錐曲線 14 20 序列 導(dǎo)數(shù) 13  典型問(wèn)題分析 理科 5.（5分） 設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“”為遞增數(shù)列的( ) A、充分且不必要條件 B、必要且不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件 正確答案：D 解析： 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的單調(diào)性，充要條件的概念. 【考查能力】主要考察學(xué)生對(duì)于等比數(shù)列的單調(diào)性的把控能力，以及對(duì)充要條件的理解. 【思路方法】當(dāng)首項(xiàng)是負(fù)數(shù)，公比時(shí)，例如：-1，-2，-4，-8等，這是一個(gè)遞減數(shù)列，所以不是充分條件；同樣，當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列，各項(xiàng)都是正數(shù)時(shí)，成立，當(dāng)各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)時(shí)，則不成立，例如：-16，-8，-4，-2，-1,等，所以是既不充分也不必要條件，答案是D. 【得分點(diǎn)】正確得全分，錯(cuò)誤得0分 6.（5分） 若滿足且的最小值為﹣4.則的值為( ) A、2 B、﹣2 C、 D、 正確答案：D 解析： 【知識(shí)點(diǎn)】線性目標(biāo)區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的最值； 【考查能力】主要考察學(xué)生對(duì)于線性規(guī)劃的靈活應(yīng)用能力. 【思路方法】 【得分點(diǎn)】正確得全分，錯(cuò)誤得0分 7.（5分） 在空間角坐標(biāo)系中，已知，若，，分別表示三棱錐在，，坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積.則 ( ) A、 B、且 C、且 D、且 正確答案：D 解析： 【知識(shí)點(diǎn)】空間坐標(biāo)系，三視圖. 【考查能力】主要考察學(xué)生對(duì)三視圖的靈活應(yīng)用，以及空間坐標(biāo)系和投影的知識(shí). 【思路方法】根據(jù)已知條件可知， 【得分點(diǎn)】正確得全分，錯(cuò)誤得0分 8.（5分） 學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且至少有一門(mén)成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么該組學(xué)生最多( ) A、2人 B、3人 C、4人 D、5人 正確答案：B 解析： 【知識(shí)點(diǎn)】排列. 【考查能力】主要考察學(xué)生的讀題理解能力. 【思路方法】 【得分點(diǎn)】正確得全分，錯(cuò)誤得0分 14.（5分） 設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_(kāi)_____ 正確答案： 解析： 【知識(shí)點(diǎn)】正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)； 【考查能力】主要考察學(xué)生對(duì)正弦型函數(shù)的圖像以及單調(diào)性的綜合應(yīng)用，周期的確定； 【思路方法】 【得分點(diǎn)】正確得全分，錯(cuò)誤得0分. 16.（13分） 李明在10場(chǎng)籃球此賽中的投籃情況如下(假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立)： (1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)0．6的概率． (2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)求李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0．6，一場(chǎng)不超過(guò)0．6的概率． (3)記是表中10個(gè)命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，記為李明在這場(chǎng)比賽中的命中次數(shù)，比較與的大小(只需寫(xiě)出結(jié)論)． 正確答案： 解析： 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型的計(jì)算，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，數(shù)學(xué)期望和平均值的關(guān)系. 【考查能力】本題考查學(xué)生對(duì)古典概型和互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算，以及對(duì)數(shù)學(xué)期望和平均值的認(rèn)識(shí).  文科 6.（5分） 已知函數(shù).在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是 A、（0,1） B、（1,2） C、（2,4） D、（4，+∞） 正確答案：C 解析：有零點(diǎn)存在定理可知 7.（5分） 已知圓和兩點(diǎn).若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90o，則m的最大值為 A、7 B、6 C、5 D、4 正確答案：B 解析：以AB為直徑作圓當(dāng)和已知圓內(nèi)切時(shí)m最大m=5+1=6 8.（5分） 加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系（a,b,c是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為 A、3.50分鐘 B、3.75分鐘 C、4.00分鐘 D、4.25分鐘 正確答案：B 解析：把（3,0.7）（4,0.8）（5，0.5）代入函數(shù)關(guān)系解得a=-0.2,b=1.5代入二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為=3.75 13.（5分） 若x，y滿足 則的最小值為_(kāi)_____ 正確答案：1 解析： 由圖像可知A點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù) 取得最小值的點(diǎn)，代入得1 14.（5分） 顧客請(qǐng)一位工藝師把A，B兩件玉石原料制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客.兩件原料每道工序所需時(shí)間（單位：工作日）如下： 則最短交貨期為_(kāi)____個(gè)工作日. 正確答案：42 解析： 首先徒弟加工B需6，然后工藝師加工B需21，同時(shí)徒弟加工A，最后工藝師加工A需15，所以共需6+21+15=42 20.（13分） 已知函數(shù). （4分）求在區(qū)間上的最大值； 正確答案： （I）由 令 因?yàn)? 所以在區(qū)間[-2,1]上的最大值為 解析： 考查導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，注意最值需要比較大小，當(dāng)已知點(diǎn)不是切點(diǎn)是要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，方程有幾個(gè)不同的實(shí)根切線就有幾條，對(duì)方程進(jìn)行研究，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，極值和0的大小關(guān)系的問(wèn)題 （4分）若國(guó)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍； 正確答案： （II）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)， 則，且切線的斜率為 所以切線方程為 因此 整理得 設(shè) 則過(guò)點(diǎn)p(1,t)存在3條直線與曲線相切，等價(jià)于有3個(gè)不同的零點(diǎn) 的情況如下 所以，是的極大值，是的極小值 有3個(gè)零點(diǎn)即 綜上所述t的取值范圍是（-3，-1） 解析： 考查導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，注意最值需要比較大小，當(dāng)已知點(diǎn)不是切點(diǎn)是要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，方程有幾個(gè)不同的實(shí)根切線就有幾條，對(duì)方程進(jìn)行研究，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，極值和0的大小關(guān)系的問(wèn)題 （5分）問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（﹣1,2），B（2,10），C（0,2）分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫(xiě)出結(jié)論） 正確答案： (III)過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切 過(guò)點(diǎn)存在2條直線與曲線相切 過(guò)點(diǎn)存在1條直線與曲線相切 解析： 考查導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，注意最值需要比較大小，當(dāng)已知點(diǎn)不是切點(diǎn)是要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，方程有幾個(gè)不同的實(shí)根切線就有幾條，對(duì)方程進(jìn)行研究，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，極值和0的大小關(guān)系的問(wèn)題  2015年備考建議 根據(jù)2014年北京高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)，2015年的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)在按部就班的完成三輪復(fù)習(xí)的同時(shí)，還應(yīng)注意以下兩個(gè)方面. 1.提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí).很多高三同學(xué)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)容易走進(jìn)一個(gè)誤區(qū)，以為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就是做數(shù)學(xué)題、總結(jié)題型.其實(shí)不然，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人認(rèn)識(shí)并解決問(wèn)題能力的一門(mén)學(xué)科.掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)靠的不僅僅是“刷題”，而是在“刷題”的過(guò)程中反思所用的數(shù)學(xué)知識(shí)，理解所學(xué)習(xí)的知識(shí)是如何在解決問(wèn)題中產(chǎn)生作用.刷題、總結(jié)題型只是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的必要條件，而非充分條件.在學(xué)習(xí)中反思，在反思中學(xué)習(xí)，這樣對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)才能提高，從而數(shù)學(xué)成績(jī)得到提高. 2.注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性.這是多年以來(lái)，高考數(shù)學(xué)改革的一個(gè)重要方向，也是高考命題人在出題時(shí)候的一個(gè)重要參考方向.北京卷今年在文科和理科都出現(xiàn)了應(yīng)用題，不是傳統(tǒng)的應(yīng)用題，而是更多的把數(shù)學(xué)和生活實(shí)踐結(jié)合起來(lái).比如今年爆米花與函數(shù)的問(wèn)題，還有NBA總決賽主客場(chǎng)的問(wèn)題，多位同學(xué)比較兩個(gè)學(xué)科的成績(jī)，誰(shuí)比誰(shuí)好，誰(shuí)不比誰(shuí)差，這樣一種題目，其實(shí)不僅需要考查同學(xué)們對(duì)于數(shù)學(xué)模型的建立和解決能力，更多考察的是我們?nèi)リP(guān)注生活、了解生活和數(shù)學(xué)這樣一種關(guān)系.對(duì)于平時(shí)而言是一種重要的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)于考試來(lái)說(shuō)是一種重要的考察方式，接下來(lái)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們一定要多加關(guān)注. 希望此文能對(duì)參加2015年高考的同學(xué)提供幫助！