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數(shù)學(xué)分析中求極限的方法總結(jié) 1 利用極限的四則運(yùn)算法則和簡單技巧 極限的四則運(yùn)算法則敘述如下： 定理1.1：如果 （1） （2） （3）若B≠0 則： （4） （5）（n為自然數(shù)） 上述性質(zhì)對于也同樣成立2 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，，則 如果 存在， 則此極限值就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)記為。 即 在這種方法的運(yùn)用過程中，首先要選好f(x)。然后把所求極限都表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 例4. 求的極限 解： 3 利用兩個重要極限公式求極限 兩個極限公式： （1）， （2） 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： （1） ， （2）求極限。 例5： 解：為了利用極限故把原式括號內(nèi)式子拆成兩項(xiàng)，使得第一項(xiàng)為1，第二項(xiàng)和括號外的指數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行配平。 = = 例6： 解：將分母變形 后再化成“0/0”型 所以 = = 例7: 求的極限 解：原式= 利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。 4 利用函數(shù)的連續(xù)性 因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的,所以如果是初等函數(shù),且是的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn), 則。 例8： 解 :因?yàn)閺?fù)合函數(shù)是初等函數(shù),而是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),所以極限值就等于該點(diǎn)處的函數(shù)值.因此 例8：求 解： 復(fù)合函數(shù)在處是連續(xù)的，所以在這點(diǎn)的極限值就等于該點(diǎn)處的函數(shù)值 即有 = =0 5 利用兩個準(zhǔn)則求極限。 （1） 函數(shù)極限的迫斂性：若一正整數(shù) N,當(dāng)n>N時，有且則有 。 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。 例9 ： 求的極限 解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)? （2 ） 單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 例12：設(shè)。試證數(shù)列的極限存在, 并求此極限。 解: 由及知。 設(shè)對某個正整數(shù)k有， 則有 從而由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對一切自然數(shù), 都有， 即數(shù)列單調(diào)下降, 由已知易見即有下界, 根據(jù)“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這一定理可知存在。 令對兩邊取極限， 有所以有解得A=3,或。 因?yàn)椋?，舍?故 6 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限 定義6.1：若當(dāng)（或）時，函數(shù)和都趨于零(或無窮大)，則極限可能存在、也可能不存在，通常稱為型和型未定式。 例如： , (型); , (型). 定理6.2：設(shè) （1）當(dāng)時, 函數(shù)和都趨于零; （2）在a點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),和都存在且; （3） 存在(或無窮大), 則 定義6.3：這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. 例10： 　 解： 在利用洛比達(dá)法則求極限時，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，并注意觀察所求極限的類型如下例， 例11：求 解： = 洛必達(dá)法則通常適用于以下類型： 型： 例12 求. 解 原式. 型： 例13 求 . 解 ， 故原式. 型： 例14 求. 解 原式. 型： 例15 求. 解 原式. 型： 例16 求. 解 原式， 而，因此：原式=1. 7. 用泰勒展式來求極限 用此法必須熟記基本初等函數(shù)的展開式,它將原來函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為求多項(xiàng)式或有理分式的極限問題。對于和或差中的項(xiàng)不能用其等價無窮小代替的情形, 有時可用項(xiàng)的泰勒展開式來代替該項(xiàng), 使運(yùn)算十分簡便。 例17： 解：因?yàn)? 所以 例18： 解：因?yàn)楫?dāng)時，所以 從而 于是 注意：如果該題利用其他方法就不容易做了。 8. 利用定積分求極限 由于定積分是一個有特殊結(jié)構(gòu)和式的極限，這樣又可利用定積分的值求出某一和數(shù)的極限.若要利用定積分求極限，其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一特殊結(jié)構(gòu)的和式。凡每一項(xiàng)可提1/n,而余下的項(xiàng)可用通式寫成n項(xiàng)之和的形式的表達(dá)式,一般可用定積分的定義去求 。 利用定積分可求如下二種形式的極限: 型 定理8.1：設(shè)在[0，1]上可積，則有 例19：求極限 解：令，在[0,1]上可積。 型 定理8.2：若在[0,1]上可積，則 例20：求 解： 令,則有： 例21：求 解：把此極限式化為某個積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算計(jì)算定積分，為此作如下變形： 不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)在區(qū)間上的一個積分和。（這里所取的是等分分割， （）， 所以 當(dāng)然，也可把J看作 在上的定積分，同樣有 9. 利用無窮小的性質(zhì)求極限 我們知道在某一過程中為無窮大量的倒數(shù)是無窮小量;有界函數(shù)與無窮小量的乘積, 仍是無窮小量。利用這兩個定理可以求出某些函數(shù)的極限。 例22： 解：當(dāng)時分母的極限為0，而分子的極限不為0，可先求出所給函數(shù)的倒數(shù)是無窮大量： = = 0 利用無窮小量的倒數(shù)是無窮大量 故 = 例23：極限 解： 因?yàn)? ； 當(dāng)時，為無窮小量，為有界量， 故； 所以原式=0。 例24：求極限 解：因?yàn)樗允怯薪绾瘮?shù) 故在時是無窮小量。 利用無窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無窮小量。 所以 . 10. 利用等價無窮小的代換求極限 利用等價無窮小代換求函數(shù)的極限時，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時使用，若以和、差形式出現(xiàn)時，不要輕易代換，因?yàn)榻?jīng)此代換后，往往會改變無窮小之比的階數(shù)，故此慎用為好。常見等價無窮小量()等價無窮小有重要性質(zhì):設(shè)且存在，則=,這個性質(zhì)表明,求兩個無窮小量之比的極限時,分子,分母均可用等價無窮小量之比的極限時,分子,分母均可用等價無窮小量代替,從而使計(jì)算大大簡化 。 例25：極限 解：當(dāng)時，, 例26：求極限 解： = = 錯誤的解法是： (錯在對加減中的某一項(xiàng)進(jìn)行了等價無窮小代換) 11. 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 給出一數(shù)列 ,對應(yīng)一個級數(shù)若能判定此級數(shù)收斂, 則必有。由于判別級數(shù)收斂的方法較多, 因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。 例27：求極限 解： 設(shè)級數(shù) 其中 由達(dá)朗貝爾判別法知級數(shù)收斂,再由級數(shù)收斂的必要條件可知： 例28：求極限 解：設(shè) 級數(shù)為項(xiàng)級數(shù)。 由比值審斂法： = = = 所以 收斂， 故 =0 12 . 利用極限定義驗(yàn)證極限 用極限定義驗(yàn)證極限，是極限問題的一個難點(diǎn)。做這類題目的關(guān)鍵是對任意給定的正數(shù)，如何找出定義中所說的N或確實(shí)存在。這實(shí)際上是利用逆推的方法論證問題，可以培養(yǎng)逆向思維能力。 例27 ： 證：任給要找,使時，有 即 ， 顯然，當(dāng)較大時，如，有 = , 因此要使成立， 當(dāng)n>=2時，只要 即 或。 這樣一來，取,則當(dāng)n>N時， 則有及 , 因此上述各式成立。證畢。 13. 涉及單側(cè)極限與雙側(cè)極限的問題 例28：求函數(shù)在處的左右極限，并說明在處是否有極限。 解： ， ， 因?yàn)? ， 所以f(x)在x=-1處的極限不存在。 利用該方法就極限時，只有當(dāng)左右極限存在且相等是才能說明極限是存在的 注：本例是的直接應(yīng)用。 14. 利用微分中值定理和積分中值定理求極限 例29： 解：因?yàn)? 由微分中值定理（介于與之間） 原式= == 例30：求的極限 解： 由微分中值定理得， （介于與之間） 原式= 15. 利用柯西準(zhǔn)則來求數(shù)列極限。 柯西準(zhǔn)則：要使有極限的充要條件使任給,存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，對于 任意的自然數(shù)m有 例31：沒有極限。 證明：對任意的n，取m=n,我們有 = 因此，對于，對任意的N，當(dāng)n>N時，取m=n就有 即變量沒有極限。 16.換元法求極限 當(dāng)一個函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例32 . 解 令 ，則原式== 例33:求 解：令 則 16. 數(shù)列極限轉(zhuǎn)為函數(shù)極限求解 例34 求. 解 令,則原式， 所以在時，與等價，因此，原式. 在實(shí)際學(xué)習(xí)中很多題是多種方法綜合運(yùn)用求解的。所以求極限時，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式．選擇適當(dāng)方法，只有方法得當(dāng)，才能準(zhǔn)確、快速、靈活的求解極限。 由上述的性質(zhì)和公式我們可以看書函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。 例1. 求的極限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求的極限 解：分子分母同時乘以 式子經(jīng)過化簡后就能得到一個只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可 例3. 已知，求 解： 觀察 因此得到 所以 17