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函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù) 備課人 夏軍 賈正才 教學目標： ⒈使學生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導函數(shù)在閉區(qū)間上所有點（包括端點）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件； ⒉使學生掌握用導數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟 教學重點：利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法． 教學難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系． 教學過程： 一．創(chuàng)設情景 我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質，而不是函數(shù)在整個定義域內的性質．也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c，那么在點附近找不到比更大（?。┑闹担?，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質時，我們更關心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最小．如果是函數(shù)的最大（?。┲?，那么不?。ù螅┯诤瘮?shù)在相應區(qū)間上的所有函數(shù)值． 二．新課講授 觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是． 1．結論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值． 說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．（可以不給學生講） ⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內連續(xù)，但沒有最大值與最小值； ⑶在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷， ⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（可以不給學生講） 2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系 ⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性． ⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一； ⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 ⑷極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 3．利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了． 一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下： ⑴求在內的極值； ⑵將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值 三．典例分析 例1．（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當時，有極小值，并且極小值為，又由于， 因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是． 上述結論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗證． 例2．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值 解：先求導數(shù)，得 令＝0即解得 導數(shù)的正負以及，如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 從上表知，當時，函數(shù)有最大值13，當時，函數(shù)有最小值4 例3．已知,∈(0,+∞).是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由. 解：設g(x)= ∵f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù) ∴g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù). ∴ ∴ 解得 經檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件. 四．課堂練習 1．下列說法正確的是( ) A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值 C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值 2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3．函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值． 5．課本 練習 五．回顧總結 1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點； 2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件； 3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4．利用導數(shù)求函數(shù)的最值方法． 六．布置作業(yè) 課本 P99 習題3.3 A組 6