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課程目標(biāo)設(shè)置 主題探究導(dǎo)學(xué) 典型例題精析 知能鞏固提升 一 選擇題 每題5分 共15分 1 2010 南陽高二檢測 已知圓C x 1 2 y2 8 定點(diǎn)A 1 0 M為圓上一動點(diǎn) P在AM上 點(diǎn)N在CM上 且滿足點(diǎn)N的軌跡方程是 解析 選B 如圖 由已知得 P為AM中點(diǎn) 又 0 NP AM AN NM CM NC NM 即 NC NA 2 N點(diǎn)的軌跡是以C A為焦點(diǎn)的橢圓 且c 1 a b 1 方程為 2 2010 合肥高二檢測 橢圓上的點(diǎn)到直線x 2y 0的最大距離是 A 3 B C D 解析 選D 設(shè)與直線x 2y 0平行的直線為x 2y m 0與橢圓聯(lián)立得 2y m 2 4y2 16 0 即4y2 4my 4y2 16 m2 0得2y2 my 4 0 m2 8 4 0 即 m2 32 0 m 兩直線間距離最大是當(dāng)m 時 3 2010 濟(jì)南高二檢測 過點(diǎn)M 2 0 的直線m與橢圓交于P1 P2 線段P1P2的中點(diǎn)為P 設(shè)直線m的斜率為k1 k1 0 直線OP的斜率為k2 則k1k2的值為 A 2 B 2 C D 解題提示 與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題 用 點(diǎn)差 法求解 解析 選D 設(shè)P1 x1 y1 P2 x2 y2 P x0 y0 則 得 y1 y2 y1 y2 k1 k2 二 填空題 每題5分 共10分 4 以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的圓 交橢圓于4個不相同的點(diǎn) 順次連結(jié)這四個點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)恰好組成一個正六邊形 那么這個橢圓的離心率為 解題提示 利用圓的直徑和正六邊形尋找焦點(diǎn)三角形邊角關(guān)系 解析 如圖 設(shè)橢圓的方程為 a b 0 半焦距為c 由題意知 F1AF2 90 AF2F1 60 AF2 c AF1 2c sin60 3c AF1 AF2 2a 1 c 答案 5 若橢圓為 a b 0 且過 2 1 點(diǎn) 則a2 b2的最小值為 此時的橢圓方程為 解析 點(diǎn)在橢圓上 等式成立的條件是a2 2b2 由 得b2 3 a2 6 答案 9 三 解答題 6題12分 7題13分 共25分 6 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M 2 1 作一條直線交橢圓于A B兩點(diǎn) 使線段AB被M點(diǎn)平分 求此直線的方程 解析 方法一 由題意知該直線的斜率存在且不為零 設(shè)所求直線的方程為y 1 k x 2 代入橢圓方程并整理得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 2k 1 2 16 0 設(shè)A B的坐標(biāo)分別為A x1 y1 B x2 y2 所以x1 x2 又M為AB中點(diǎn) 所以x1 x2 解得k 所以所求直線方程為x 2y 4 0 方法二 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 又M為AB的中點(diǎn) 所以x1 x2 4 y1 y2 2 又A B兩點(diǎn)在橢圓上 則x12 4y12 16 x22 4y22 16 兩式相減得 x12 x22 4 y12 y22 0 所以 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 由題意可知x1 x2 所以即kAB 所以所求直線方程為x 2y 4 0 7 已知點(diǎn)P 4 4 圓C x m 2 y2 5 mb 0 有一個公共點(diǎn)A 3 1 F1 F2分別是橢圓的左 右焦點(diǎn) 直線PF1與圓C相切 1 求m的值 2 橢圓E的方程 解析 1 點(diǎn)A代入圓C方程 得 3 m 2 1 5 m 3 m 1 圓C x 1 2 y2 5 2 設(shè)直線PF1的斜率為k 則PF1 y k x 4 4 即kx y 4k 4 0 直線PF1與圓C相切 解得k 或k 當(dāng)k 時 直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 不合題意 舍去當(dāng)k 時 直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 4 c 4 F1 4 0 F2 4 0 2a AF1 AF2 a2 18 b2 2 橢圓E的方程為 1 5分 已知P是以F1 F2為焦點(diǎn)的橢圓 a b 0 上的一點(diǎn) 若 0 tan PF1F2 則此橢圓的離心率為 A B C D 解析 選D 0 PF1 PF2 tan PF1F2 PF1 2 PF2 PF1 PF2 3 PF2 2a F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 5分 若F1 F2是橢圓C 的焦點(diǎn) 則在C上滿足PF1 PF2的點(diǎn)P的個數(shù)為 解析 橢圓C c 2 F1 2 0 F2 2 0 其短軸的端點(diǎn)為B 0 2 A 0 2 F1BF2 F1AF2 90 又短軸端點(diǎn)與F1 F2連線所成的角是橢圓上動點(diǎn)P與F1 F2連線所成角中的最大角 在C上滿足PF1 PF2的點(diǎn)有2個 答案 2 3 5分 2010 嘉興高二檢測 若直線mx ny 4與圓x2 y2 4沒有交點(diǎn) 則過點(diǎn)P m n 的直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)為 解析 直線mx ny 4與圓x2 y2 4沒有交點(diǎn) m2 n2 4即點(diǎn)P m n 在以原點(diǎn)為圓心 以2為半徑的圓內(nèi) 故直線mx ny 4與橢圓也有兩個交點(diǎn) 答案 2 4 15分 2010 福建高考 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A 2 3 且點(diǎn)F 2 0 為其右焦點(diǎn) 1 求橢圓C的方程 2 是否存在平行于OA的直線l 使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn) 且直線OA與l的距離等于4 若存在 求出直線l的方程 若不存在 說明理由 解題提示 第一步先求出左焦點(diǎn) 進(jìn)而求出a c 然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 第二步依題意假設(shè)直線l的方程為y x t 聯(lián)立直線與橢圓的方程 利用判別式限制參數(shù)t的范圍 再由直線OA與直線l的距離等于4列出方程 求解出t的值 注意判別式對參數(shù)t的限制 解析 1 依題意 可設(shè)橢圓的方程為 a b 0 且可知左焦點(diǎn)為F 2 0 從而有解得又a2 b2 c2 b2 12 故橢圓的方程為 2 假設(shè)存在符合題意的直線l 其方程y x t 由得3x2 3tx t2 12 0 因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn) 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 解得 4 t 4 另一方面 由直線OA與直線l的距離等于4可得 t 2 由于 所以符合題意的直線l不存在