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地點閔行中院 312 9 00 11 00 18 00 20 00 期末答疑安排 6月19日 6月20日 6月21日 13 00 16 00 18 00 20 00 18 00 20 00 古格王朝遺址 白云壓住高山湖 王 宏 衛(wèi) 崗巴拉山海拔4852m 西 藏 的 圖 騰 概率統計 復習 復習 復習2 各章比重 第一章 16 第二章 11 第三章 13 第四章 13 第五章 15 第六章 3 第七章 17 第八章 12 概率 68 統計 32 題型題量 25 是非題 6 7 選擇題 5 6 填空題 5 6 計算題 5 6 證明題 0 1 各章要點 第一章 1 概率性質古典概率 2 條件概率 乘法公式 全 貝公式 3 事件獨立性 第二章 1 分布律分布函數定義性質 2 七個常用分布 P 159表格 3 隨機變量的函數的分布 一二章 例1 例1 1 在古典概型的隨機試驗中 2 若事件A B C D相互獨立 則 事件 若事件A1 A2 An相互獨立 將它們任意分成k組 同一事件不能同時屬于兩個不同的組 則對每組事件進行求和 積 差 逆等運算所得到的k個事件也相互獨立 3 若事件A與B獨立 B與C獨立 則事件A與C也相互獨立 事件相互獨立不具有傳遞性 例2 例2 對任意事件A B下列結論正確的是 a b c d 解 選b d c顯然錯 可證b是對的 b 例3小王忘了朋友家電話號碼的最后一位 數 故只能隨意撥最后一個號 則他撥三次 由乘法公式 設事件表示 三次撥號至少一次撥通 表示 第i次撥通 則 解 例3 可撥通朋友家的概率為 0 3 例4小王忘了朋友家電話號碼的最后一位 數 他只能隨意撥最后一個號 他連撥三次 由乘法公式 設 表示 第i次撥通 解一 例4 求第三次才撥通的概率 解二 從題目敘述看要求的是無條件概率 產生誤解的原因是未能仔細讀題 未能分清條件概率與無條件概率的區(qū)別 本題若改敘為 他連撥三次 已 知前兩次都未撥通 求第三次撥通的概率 此時 求的才是條件概率 例5 例510件產品中有3件次品 從中任取2件 在所取2件中有一件是次品的條件下 求 另一件也是次品的概率 解1 設事件表示 所取2件中有一件次品 事件表示 另一件也是次品 則 解2 某廠卡車運送防 非典 用品下鄉(xiāng) 頂層裝10個紙箱 其中5箱民用口罩 2箱醫(yī)用口罩 3箱消毒棉花 到目的地時發(fā)現丟失1箱 不知丟失哪一箱 現從剩下9箱中任意打開2箱 結果都是民用口罩 求丟失的一箱也是民用口罩的概率 例6 例6 表示事件 丟失的一箱為k 表示事件 任取2箱都是民用口罩 解 分別表示民用口罩 醫(yī)用 口罩 消毒棉花 由全概率公式 由貝葉斯公式 解二 縮減樣本空間法 去掉打開的2箱民用口罩 解二比解一簡單十倍 基本事件總數 有利的基本事件數 例7 1 是的密度函數則 2 若 則 事實上由 2 4得非均勻分布函數 3 若 則 例7 例8 內任一子區(qū)間上取值的條件概率 例8設隨機變量的絕對值不大于1 在事件出現的條件下 與該子區(qū)間的長度成正比 1 的分布函數 2 取負值的概率 解 1 2 在 試求 的三性質都不滿足 單調減 右不連續(xù) 未定義 分布函數三性質 解 當 當推導較復雜先做準備工作 由題設知 設 于是 上式中令得 又 于是當時 2 由題設得 附 k的另一求法 落入區(qū)間 1 3 的概率最大 例9設當時 令 解 例9 第三章 2 邊緣分布條件分布 3 隨機變量的獨立性 第四章 1 期望方差定義性質 2 相關系數相關性 3 期望的應用 1 聯合分布律分布函數定義性質 4 隨機變量的函數的分布 三四章 例10設獨立同分布 且已知 求行列式的概率分布 解 令則獨立同分布 可能取值為則 例10 練4 求的概率分布 答案 具體推導 設A B為隨機試驗E的兩個事件 0 P A 1 0 P B 1 書例 證明 若 XY 0 則隨機變量X Y相互獨立 證由 XY 0 而 令 書例 錯誤原因 而這并不表明X Y相互獨立 即 本題要證明離散隨機變量X Y相互 獨立 必需證明如下四個等式都成立 正確證明 由題設得 X Y 的聯合分布 由 同理可證 故X Y相互獨立 由于事件A B相互獨立 必有 也相互獨立 即 二維隨機變量的函數的分布 的p d f 練 練習 設隨機變量 均勻分布 指數分布 且它們相互獨立 試求的密度函數 答案 判斷獨立性的簡便方法 已知聯合分布 判斷是否獨立需要做次 加法和乘法 共需運算13次 判獨立例11 解 一眼看出 命題 求表內各 練習 字母值 使 獨立 練習 解 由題意應有 從而有右表 由歸一性得 3 1 由 1 得 2 聯立 2 3 得 或 設 或 0 480 320 20 0 0625 0 4375 0 5 經檢驗 正確 例12 例12設隨機變量X Y相互獨立 且都服 求 從 解 當時 由獨立性 當時 所以 由于X Y的隨機性 故不能保證恒有 或 解 由于相互獨立的正態(tài)變量的線性組合 仍是正態(tài)變量 故 本題設是關鍵 若不然 雖能算出但很難算 例13卡車裝運水泥 設每袋重量 gk X服從 例13 問裝多少袋水泥 使總重量 超過2000的概率不大于0 05 解一 設裝m袋水泥 總重量為mX 據題設有 所以至多裝43袋水泥 要學會對答案的粗略檢驗 解二 設裝m袋水泥 總重量為mX 據題設有 所以至多裝37袋水泥 要徹底的隨機 解 設裝m袋水泥 表示第袋水泥重量 于是總重量為 所以至多裝39袋水泥 第五章 1 切貝雪夫不等式 2 中心極限定理的應用 第六章 1 統計量總體樣本及其空間 2 常用 三抽樣分布 定義性質各分布分位點定義及相互關系 五六章 例14 例14 某大賣場某種商品價格波動為隨機 變量 設第i天 較前一天 的價格變化為 獨立同分布 為 元 斤 為現在的 價格 第n天的價格 解 應用 應用題 備一筆現金 已知這批債券共發(fā)放了500張 每張須付本息1000元 設持券人 一人一券 銀行為支付某日即將到期的債券須準 到期日到銀行領取本息的概率為0 4 問銀 行于該日應準備多少現金才能以99 9 的 把握滿足客戶的兌換 解 設 1第i個持券人到期日來兌換 0第i個持券人到期日未兌換 則到期日來銀行兌換的總人數為 設銀行需準備1000m元 兌換總額為 由中心極限定理 所以銀行需準備23 4萬元 例15一本書有1000000個印刷符號 排版 時每個符號被排錯的概率為千分之一 校 對時 每個排版錯誤被改正的概率為0 99 求在校對后錯誤不多于15個的概率 解 設 1第i個印刷符號被排錯 0第i個印刷符號未排錯 則總的被排錯的印刷符號個數 且 例15 設校對后錯誤個數為 則近似有 由中心極限定理 于是 則 解 令 1第i個符號被排錯校對后仍錯 0其他 由于排版與校對是兩個獨立的工作 因而 設校對后錯誤個數為 則 由中心極限定理 例16一保險公司有10000人投保 每人每年 付12元保險費 已知一年內投保人死亡率 為0 006 若死亡公司給死者家屬1000元 求 1 保險公司年利潤為0的概率 2 保險公司年利潤大于60000元的概率 解 例16 設為投保的10000人中一年內死亡的 人數 則 利用泊松定理 取 1 設保險公司年利潤為 則 2 由中心極限定理 例17從正態(tài)總體N 2 中取容量為16的樣本 S2為樣本方差 則D S2 解 例17 例18設是來自正態(tài)總體X 的簡單隨機樣本 證明 證 從而 例18 正態(tài)分布與由正態(tài)分布導出的分布間的關系 推導 相仿推導 例如 證明 設X t n 則其中Z N 0 1 于是 由t分布與F分布分位點的定義 由t分布的對稱性 從而有 此即教材P 203習題六12題 2002年印 第七章 點估計的三種方法及評價標準 2 參數的區(qū)間估計 第八章 1 假設檢驗的有關概念 2 參數的假設檢驗 七八章 例19 例19設總體X的分布密度函數為 求的矩估計量 并計算 解 估計量是樣本的函數 令 例20 例20設總體X的密度函數為 解 的極大似然估計量 為X的一個樣本 求參數 任一樣本函數 似然方程組為 本題的估計并不能通過似然方程求得 解 由題設 若必須 即 越大 越大 故 的極大似然估計可通過似然方程求得 是取自對數正態(tài)分布 例21 設 求的極大似然估計 解 例21 的密度函數 的密度函數 由極大似然估計的不變性得 其中 一般正態(tài)參數的極大似然估計是 則對數正態(tài)參數的極大似然估計是 例22 例22設總體X服從 其密度函 數為 對于容量為n的樣本 求使得 的點的極大似然估計 解 由教材P 211例7知 設為總體X N 2 的一個樣本 求常數k 使 解 例23 例23 令 則 故 解 故 假設檢驗步驟 三部曲 其中 根據實際問題所關心的內容 建立H0與H1 在H0為真時 選擇合適的統計量V 由H1確 給定顯著性水平 其對應的拒絕域 雙側檢驗 左邊檢驗 定拒絕域形式 根據樣本值計算 并作出相應的判斷 右邊檢驗 三部曲 例24設某次概率統計考試考生的成績 X N 2 從中隨機地抽取36位考生 的成績 算得平均成績?yōu)?6 5分 標準差 為15分 問在顯著性水平0 05下 是否可 以認為這次考試的平均成績?yōu)?0分 并給出檢驗過程 解 例24 拒絕域 落在拒絕域外 接受 即認為這次考試的平均成績?yōu)?0分 例25用包裝機包裝洗衣粉 在正常情況下 問該天包裝機工作是否正常 例25 每袋重量為1000克 標準差不能超過15克 假設每袋凈重 某天為檢查機器 工作是否正常 隨機抽取10袋得其凈重的 均值 方差 解 H0 1000 H1 1000 取統計量 解 拒絕域 0 落在拒絕域外 接受 即認為該天包裝機工作正常 本題只做了一半 還應繼續(xù)做下去 2 設 取統計量 拒絕域 0 落在拒絕域內 拒絕 綜合 1 2 雖然平均凈重合格 但方差 偏大 故包裝機工作不太正常