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第十二單元 橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn) 一.選擇題 (1) 拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 (2) 若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，則m= ( ) Ａ Ｂ Ｃ Ｄ (3) 若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓, 那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D (0, 1) (4) 設(shè)P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為,F1、F2分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若，則 ( ) A 1或5 B 6 C 7 D 9 (5) 對(duì)于拋物線(xiàn)y2=2x上任意一點(diǎn)Q, 點(diǎn)P(a, 0)都滿(mǎn)足|PQ|≥|a|, 則a的取值范圍是 ( ) A [0, 1] B (0, 1) C D (-∞, 0) (6) 若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線(xiàn)段F1F2被拋物線(xiàn)y2=2bx的焦點(diǎn)分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為 ( ) A B C D (7) 已知雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)重合，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 ( ) A B C D (8) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),并且滿(mǎn)足OA⊥OB. 則y1y2等于( ) A – 4p2 B 4p2 C – 2p2 D 2p2 (9) 已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上且則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( ) A B C D (10) 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P， 若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( ) A B C D 二.填空題 (11) 若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線(xiàn)的方程是__________. (12)設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)2 x2-2y2=1有公共的焦點(diǎn),且它們的離心率互為倒數(shù),則該橢圓的方程是 . (13) 過(guò)雙曲線(xiàn)(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率等于_________． (14) 以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中 ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)； ②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓； ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率； ④雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn). 其中真命題的序號(hào)為 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） 三.解答題 (15)點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.求點(diǎn)P的坐標(biāo)； . (16) 已知拋物線(xiàn)C: y=-x2+6, 點(diǎn)P（2, 4）、A、B在拋物線(xiàn)上, 且直線(xiàn)PA、PB的傾斜角互補(bǔ). (Ⅰ)證明:直線(xiàn)AB的斜率為定值; (Ⅱ)當(dāng)直線(xiàn)AB在y軸上的截距為正數(shù)時(shí), 求△PAB面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)AB的方程. (17) 雙曲線(xiàn) (a>1,b>0)的焦距為2c,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線(xiàn)l的距離之和s≥c.求雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍 (18) 已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為4、且位于軸上方的點(diǎn)，A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于5.過(guò)A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. （1）求拋物線(xiàn)方程； （2）過(guò)M作，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)； （3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)是軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線(xiàn)AK與圓M的位置關(guān)系. 參考答案 一選擇題: 1.D [解析]：點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離就是點(diǎn)與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即 2.B [解析]：∵焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，∴ 則m= 3.D [解析]： ∵方程x2+ky2=2，即表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 ∴ 故 4.C [解析]：雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，故 又P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，故，而，則7 5.C [解析]：對(duì)于拋物線(xiàn)y2=2x上任意一點(diǎn)Q, 點(diǎn)P(a, 0)都滿(mǎn)足|PQ|≥|a|, 若顯然適合 若，點(diǎn)P(a, 0)都滿(mǎn)足|PQ|≥|a|就是 即，此時(shí) 則a的取值范圍是 6.D [解析]： ， 7.D [解析]：雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為 拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為 因?yàn)閮蓽?zhǔn)線(xiàn)重合，故=，=3，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 8.A [解析]：∵A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn),并且滿(mǎn)足OA⊥OB. ∴ 則y1y2 = – 4p2 9.C [解析]：∵∴點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上 故由 則點(diǎn)M到x軸的距離為 10.D [解析]：不妨設(shè)點(diǎn)P在 x軸上方，坐標(biāo)為,∵△F1PF2為等腰直角三角形 ∴|PF2|=|F1F2|，即，即 故橢圓的離心率e是 二填空題: 11. [解析]： 因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為， 則設(shè)雙曲線(xiàn)的方程是，又它的一個(gè)焦點(diǎn)是 故 12. [解析]：雙曲線(xiàn)2 x2-2y2=1的焦點(diǎn)為（，離心率為 故橢圓的焦點(diǎn)為（，離心率為, 則，因此該橢圓的方程是 13. 2 [解析]：設(shè)雙曲線(xiàn)(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F1，右頂點(diǎn)為A，因?yàn)橐訫N為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)， 故|F1M|=|F1A|， ∴∴ 14. ③④ [解析]：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義必須有，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡才為雙曲線(xiàn)， 故①錯(cuò) ∵∴P為弦AB的中點(diǎn)，故 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以線(xiàn)段AC為直徑的圓。故②錯(cuò) 三解答題 (15) 解:由已知可得點(diǎn)A（－6，0），F(xiàn)（4，0） 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，由已知得 由于 (16) (Ⅰ)證: 易知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上, 設(shè)PA的斜率為k, 則直線(xiàn)PA的方程是y-4=k(x-2). 代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4(k+1)=0此時(shí)方程應(yīng)有根xA及2, 由韋達(dá)定理得: 2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4). 由于PA與PB的傾斜角互補(bǔ), 故PB的斜率為-k. 同理可得B(-2(-k+1), -k2+4k+4) ∴kAB=2. (Ⅱ) ∵AB的方程為y=2x+b, b>0.代入方程y=-x2+6消去y得x2+2x+b-6=0. |AB|=2. ∴S=|AB|d=2 . 此時(shí)方程為y=2x+. (17) 解:直線(xiàn)l的方程為bx+ay-ab=0.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,且a>1, 得到點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)l的距離d1 =. 同理得到點(diǎn)(-1,0)到直線(xiàn)l的距離d2 =. s= d1 +d2==. 由s≥c,得≥c,即5a≥2c2. 于是得5≥2e2.即4e2-25e+25≤0. 解不等式,得≤e2≤5.由于e>1>0, 所以e的取值范圍是 (18) 解：（1）拋物線(xiàn) ∴拋物線(xiàn)方程為y2= 4x. （2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）， 由題意得B（0，4），M（0，2）， 又∵F（1，0）， ∴ 則FA的方程為y=（x－1），MN的方程為 解方程組 （3）由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2. 當(dāng)m=4時(shí)，直線(xiàn)AK的方程為x=4，此時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相離， 當(dāng)m≠4時(shí)，直線(xiàn)AK的方程為 即為 圓心M（0，2）到直線(xiàn)AK的距離，令 時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相離； 當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相切； 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相交.