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精講精練 【例】以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_(kāi)__________________. 解： 拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，，雙曲線方程為 【例】雙曲線=1(b∈N)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________。 解：設(shè)F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2， 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|，依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4， 依已知條件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜, 又∵c2=4+b2＜，∴b2＜，∴b2=1。 【例】當(dāng)取何值時(shí)，直線：與橢圓相切，相交，相離？ 解： ①代入②得化簡(jiǎn)得 當(dāng)即時(shí)，直線與橢圓相切； 當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓相交； 當(dāng)，即或時(shí)，直線與橢圓相離。 【例】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程。 解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2， ∴b2=4，設(shè)橢圓方程為 ① 設(shè)過(guò)M1和M2的直線方程為y=－x+m ② 將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 設(shè)M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中點(diǎn)為(x0，y0)， 則x0= (x1+x2)=，y0=－x0+m=。 代入y=x，得， 由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－，又|M1M2|=， 代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1。 【例】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程。 解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0，Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0，即m+n－mn＞0， 由OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴+1=0，∴m+n=2 ① 又22，將m+n=2，代入得mn= ② 由①、②式得m=，n=或m=，n= 故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1。 【例】已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。 解：由設(shè)橢圓方程為 設(shè) 又 兩式相減，得 又即 將 由得 解得 故所有橢圓方程 【例】過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程。 解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上。 則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0， 設(shè)AB中點(diǎn)為(x0，y0)，則kAB=－，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是－=－1，kAB=－1， 設(shè)l的方程為y=－x+1。右焦點(diǎn)(b，0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x′，y′)， 由點(diǎn)(1，1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2，b2=。 ∴所求橢圓C的方程為 =1，l的方程為y=－x+1。 解法二：由e=，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為y=k(x－1)， 將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0， 則x1+x2=，y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－。 直線l：y=x過(guò)AB的中點(diǎn)()，則，解得k=0，或k=－1。 若k=0，則l的方程為y=0，焦點(diǎn)F(c，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。 解法三：設(shè)橢圓方程為 直線不平行于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線 ， ，，， ，， ，， ，，， ，， 則， ，， ， 所以所求的橢圓方程為： 【例】如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程。 解：以O(shè)為原點(diǎn)，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。 設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0，b＞0)，由e2=，得。 ∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x 設(shè)點(diǎn)P1(x1， x1)，P2(x2，－x2)(x1＞0，x2＞0)， 則由點(diǎn)P分所成的比λ==2，得P點(diǎn)坐標(biāo)為()， 又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1， 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4，b2=9。 故雙曲線方程為=1。 【例】過(guò)橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2) 切線PA：，PB： ∵P點(diǎn)在切線PA、PB上，∴ ∴直線AB的方程為 (2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) ∴ ① ∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25， b2 =16 ∴橢圓C方程： (3) 假設(shè)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知， 四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| ∴ ① 又∵P點(diǎn)在橢圓C上 ∴ ② 由①②知x ∵a>b>0 ∴a2 －b2>0 (1)當(dāng)a2－2b2>0，即a>b時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直； (2)當(dāng)a2－2b2<0，即b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。 考點(diǎn)：本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系。 解：（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn), 所以解得所以橢圓E的方程為 （2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且, 設(shè)該圓的切線方程為。 解方程組得,即, 則△=,即 , 要使,需使,即,所以,所以 又,所以,所以,即或, 因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,,, 所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或, 而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或 滿足, 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且。 所以, , ①當(dāng)時(shí)。 因?yàn)樗? 所以, 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”。 ② 當(dāng)時(shí),。 ③ 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí), 綜上, |AB |的取值范圍為即: