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數(shù)學(xué)歸納法 1 佛山市高明區(qū)紀(jì)念中學(xué)黃東華 問題1 大球中有5個(gè)小球 如何證明它們都是綠色的 問題2 完全歸納法 不完全歸納法 問題3 某人看到樹上烏鴉是黑的 深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的 問題情境一 費(fèi)馬 Fermat 曾經(jīng)提出一個(gè)猜想 形如Fn 22n 1 n 0 1 2 的數(shù)都是質(zhì)數(shù) 100年后 問題情境二 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法 結(jié)論一定可靠 結(jié)論不一定可靠 考察全體對象 得到一般結(jié)論的推理方法 考察部分對象 得到一般結(jié)論的推理方法 歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法 歸納法 多米諾骨牌課件演示 2 驗(yàn)證前一問題與后一問題有遞推關(guān)系 相當(dāng)于前牌推倒后牌 如何解決不完全歸納法存在的問題呢 如何保證骨牌一一倒下 需要幾個(gè)步驟才能做到 1 處理第一個(gè)問題 相當(dāng)于推倒第一塊骨牌 問題情境三 對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性 1 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 例如n0 1 時(shí)命題成立 歸納奠基 2 假設(shè)當(dāng)n k k N k n0 時(shí)命題成立證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法 歸納遞推 框圖表示 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 時(shí) 當(dāng)n 1時(shí) 左邊所得項(xiàng)是 當(dāng)n 2時(shí) 左邊所得項(xiàng)是 1 2 3 1 2 3 4 5 A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 C 課堂練習(xí) 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明 如果 an 是一個(gè)等差數(shù)列 則an a1 n 1 d對于一切n N 都成立 4 用數(shù)學(xué)歸納法證明1 3 5 2n 1 n2證明 1 當(dāng)n 1時(shí)左 1 右 12 1 n 1時(shí) 等式成立 2 假設(shè)n k時(shí) 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 當(dāng)n k 1時(shí)左 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1時(shí)命題成立由 1 2 可知等式對任何n N 都成立 遞推基礎(chǔ) 遞推依據(jù) 1 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法 主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論 歸納奠基 1 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 如n0 1或2等 時(shí)結(jié)論正確 2 假設(shè)n k時(shí)結(jié)論正確 證明n k 1時(shí)結(jié)論也正確 3 由 1 2 得出結(jié)論 歸納遞推 歸納小結(jié) 謝謝各位老師指導(dǎo)