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2 3 1 直線與平面垂直的判定 直線和平面垂直的判定 1 復(fù)習(xí)引入 1 直線和平面的位置關(guān)系是什么 1 直線在平面內(nèi) 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 2 直線和平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 3 直線和平面平行 沒有公共點(diǎn) 2 線面平行的判定定理的內(nèi)容是什么 如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行 那么這條直線和這個(gè)平面平行 3 線面平行的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么 如果一條直線和一個(gè)平面平行 經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交 那么這條直線和交線平行 引入新課 在直線和平面相交的位置關(guān)系中 有一種相交是很特殊的 我們把它叫做垂直相交 這節(jié)課我們重點(diǎn)來探究這種形式的相交 直線與平面垂直 觀察實(shí)例 發(fā)現(xiàn)新知 旗桿與地面的關(guān)系 給人以直線與平面垂直的形象 觀察實(shí)例 發(fā)現(xiàn)新知 房屋的屋柱與地面的關(guān)系 給人以直線與平面垂直的形象 大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系 給人以直線與平面垂直的形象 觀察實(shí)例 發(fā)現(xiàn)新知 實(shí)例研探 定義新知 探究 什么叫做直線和平面垂直呢 當(dāng)直線與平面垂直時(shí) 此直線與平面內(nèi)的所有直線的關(guān)系又怎樣呢 生活中線面垂直的實(shí)例 在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子 隨著時(shí)間的變化 盡管影子的位置在移動(dòng) 但是旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直 如圖 事實(shí)上 旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線也是垂直的 直線與平面垂直的定義 如果一條直線l和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直 我們就說直線l和平面 互相垂直 記作 l l P l叫做 的垂線 叫做l的垂面 l與 的唯一公共點(diǎn)P叫做垂足 畫直線與平面平行時(shí) 通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直 任何 表示所有 提問 若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直 則直線垂直與平面嗎 如不是 直線與平面的位置關(guān)系如何 直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況 在垂直時(shí) 直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足 a 等價(jià)于對(duì)任意的直線m 都有a m 三點(diǎn)說明 利用定義 我們得到了判定線面垂直的最基本方法 同時(shí)也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì) 探究 提出問題 有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢 師生活動(dòng) 請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片 我們一起來做如圖所示的試驗(yàn) 過 ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片 得到折痕AD 將翻折后的紙片豎起放置在桌面上 BD DC與桌面接觸 問 折痕AD與桌面垂直嗎 如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直 A 直線與平面垂直的判定定理 一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 則這條直線垂直于這個(gè)平面 線線垂直線面垂直 例題示范 鞏固新知 例1 一旗桿高8m 在它的頂點(diǎn)處系兩條長(zhǎng)10m的繩子 拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn) 與旗桿腳不在同一條直線上 如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距6m 那么旗桿就與地面垂直 為什么 解 如圖 旗桿PO 8 兩繩子長(zhǎng)PA PB 10 OA OB 6 A O B三點(diǎn)不共線因此A O B三點(diǎn)確定平面 因?yàn)镻O2 AO2 PA2 PO2 BO2 PB2 所以PO OA PO OB又OA OB O所以O(shè)P 因此旗桿與地面垂直 例2 如圖 已知a b a 求證 b 例題示范 鞏固新知 分析 在平面內(nèi)作兩條相交直線 由直線與平面垂直的定義可知 直線a與這兩條相交直線是垂直的 又由b平行a 可證b與這兩條相交直線也垂直 從而可證直線與平面垂直 a b 閱讀P66頁(yè)的證明過程 鞏固練習(xí) 1 平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P 且PA PB PC PD 求證 點(diǎn)P與平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)O的連線PO垂直于AB AD 課本P66頁(yè)探究 課本P67頁(yè)練習(xí)1 鞏固練習(xí) P A B C 歸納小結(jié) 今天這節(jié)課 我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義 這個(gè)定義最初用在判定定理的證明上 但用得較多的則是 如果直線l垂直于平面a 那么l就垂直于a內(nèi)的任何一條直線 對(duì)于判定定理 判定線 面垂直 實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化成線 線垂直 從中不難發(fā)現(xiàn)立體幾何問題解決的一般思路 作業(yè)布置 P67頁(yè)練習(xí)第1題 P74頁(yè)B組2題 直線和平面垂直的判定 2 復(fù)習(xí)引入 1 直線與平面垂直的定義 如果直線l與平面 的任意一條直線都垂直 我們就說直線l與平面 互相垂直 記作l 2 直線與平面垂直的判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 則該直線與此平面垂直 鞏固練習(xí) P A B C 引課 我們知道 當(dāng)直線和平面垂直時(shí) 該直線叫做平面的垂線 如果直線和平面不垂直 是不是也該給它取個(gè)名字呢 此時(shí)又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢 直線與平面所成的角 1 平面的斜線 如圖 若一條直線PA和一個(gè)平面 相交 但不垂直 那么這條直線就叫做這個(gè)平面的斜線 斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足 P A 斜足 斜線 2 直線和平面所成的角 如圖 過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO 過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角 叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角 斜線 斜足 射影 垂足 垂線 一條直線垂直于平面 我們說它所成的角是直角 一條直線和平面平行 或在平面內(nèi) 我們說它所成的角是00的角 規(guī)定 想一想 直線與平面所成的角 的取值范圍是什么 例1 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 直線A1B和平面BCC1B1所成的角 2 直線A1B和平面A1B1CD所成的角 O 例題示范 鞏固新知 分析 找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)的射影 就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角 鞏固練習(xí) 1 判斷下列說法是否正確 1 兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線 2 兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線 3 兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影要么是平行直線 要么是相交直線 4 若斜線段長(zhǎng)相等 則它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)也相等 2 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 AB1在面BB1D1D中的射影 2 AB1在面A1B1CD中的射影 3 AB1在面CDD1C1中的射影 A D C B 鞏固練習(xí) 2 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 AB1在面BB1D1D中的射影 2 AB1在面A1B1CD中的射影 3 AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 鞏固練習(xí) 2 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 AB1在面BB1D1D中的射影 2 AB1在面A1B1CD中的射影 3 AB1在面CDD1C1中的射影 A D C B 鞏固練習(xí) 2 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 AB1在面BB1D1D中的射影 2 AB1在面A1B1CD中的射影 3 AB1在面CDD1C1中的射影 A D C B 鞏固練習(xí) 3 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 A1C1與面ABCD所成的角 2 A1C1與面BB1D1D所成的角 3 A1C1與面BB1C1C所成的角 4 A1C1與面ABC1D1所成的角 A D C B 0o 鞏固練習(xí) 3 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 A1C1與面ABCD所成的角 2 A1C1與面BB1D1D所成的角 3 A1C1與面BB1C1C所成的角 4 A1C1與面ABC1D1所成的角 A D C B 90o 鞏固練習(xí) 3 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 A1C1與面ABCD所成的角 2 A1C1與面BB1D1D所成的角 3 A1C1與面BB1C1C所成的角 4 A1C1與面ABC1D1所成的角 A D C B 45o 鞏固練習(xí) 3 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 求 1 A1C1與面ABCD所成的角 2 A1C1與面BB1D1D所成的角 3 A1C1與面BB1C1C所成的角 4 A1C1與面ABC1D1所成的角 A D C B 30o 鞏固練習(xí) 1 下面四個(gè)命題 其中真命題的個(gè)數(shù)是 B 垂直于同一直線的兩條直線平行 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行 平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 平行于同一直線的兩條直線平行 B 3個(gè)D 1個(gè) A 2個(gè)C 4個(gè) 解析 正確 線面垂直判定定理的應(yīng)用 例1 已知 如圖1 空間四邊形ABCD中 AB AC DB DC 取BC中點(diǎn)E 連接AE DE 求證 BC 平面AED 圖1 證明 AB AC DB DC E為BC中點(diǎn) AE BC DE BC 又 AE與DE交于E BC 平面AED 由判定定理可知要證明直線垂直平面 只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直即可 證明 PA O所在平面 BC O所在平面 PA BC AB為 O直徑 AC BC 又PA AC A BC 平面PAC 又AE 平面PAC BC AE AE PC PC BC C AE 平面PBC 線面垂直判定定理的應(yīng)用例3 如圖6 已知PA O所在平面 AB為 O直徑 C是圓周上任一點(diǎn) 過A作AE PC于E 求證 AE 平面PBC 圖6 1 2 如圖3 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AC CD E是PC上的任一點(diǎn) 除P和C點(diǎn)外 證明 CD AE 圖3 例2 如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 側(cè)棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中點(diǎn) 1 證明 PA 面EDB 2 求EB與底面ABCD所成角的正切值 P D C A B E 1 2 圖2 A SG 平面EFGC GF 平面SEF B SD 平面EFGD GD 平面SEF 解析 在題圖 1 中 SG1 G1E SG3 G3F 在題圖 2 中 SG GE SG GF SG 平面EFG A 歸納小結(jié) 1 直線與平面垂直的概念 1 利用定義 2 利用判定定理 3 數(shù)學(xué)思想方法 轉(zhuǎn)化的思想 3 直線與平面垂直的判定 垂直于平面內(nèi)任意一條直線 2 線面角的概念及范圍 作業(yè)布置作業(yè) P74A組9題 B組4題