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例談高中數(shù)學一題多解和一題多變的意義 摘 要：高中數(shù)學教學中,用一題多解和一題多變的形式,可以使所學的知識得到活化，融會貫通，而且可以開闊思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力，從而達到提高學生的學習興趣，學好數(shù)學的效果。 關鍵詞：一題多變 一題多解 創(chuàng)新思維 數(shù)學效果 　　 很大部分的高中生對數(shù)學的印象就是枯燥、乏味、不好學、沒興趣.但由于高考“指揮棒”的作用，又只能硬著頭皮學.如何才能學好數(shù)學？俗話說“熟能生巧”，很多人認為要學好數(shù)學就是要多做.固然，多做題目可以使學生提高成績，但長期如此，恐怕也會使學生覺得數(shù)學越來越枯燥。 我覺得要使學生學好數(shù)學，首先要提高學生的學習興趣和數(shù)學思維能力。根據(jù)高考數(shù)學“源于課本，高于課本”的命題原則，教師在教學或復習過程中可以利用書本上的例題和習題，進行對比、聯(lián)想，采取一題多解與一題多變的形式進行教學.這是提高學生數(shù)學學習興趣和思維能力的有效途徑。下面舉例說明： 例題： 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 分析：因為題中有sinα、cosα、tanα，考慮他們之間的關系，最容易想到的是用同角三角函數(shù)關系式和方程解此題： 法一 根據(jù)同角三角函數(shù)關系式tanα= = ，且sina2α + cos2α =1。 兩式聯(lián)立，得出：cos2α=,cosα= 或者cosα= - ；而sinα=或者sinα=- 。 分析：上面解方程組較難且繁瑣，充分利用用同角三角函數(shù)關系式“1”的代換，不解方程組，直接求解就簡潔些： 法二 tanα=：α在第一、三象限 在第一象限時： cos2α = == cosα= sinα== 而在第三象限時： cosa=- sina=- 分析：利用比例的性質(zhì)和同角三角函數(shù)關系式，解此題更妙： 法三 tanα= = ?= ?= = ∴sinα=，cosα= 或sinα=-，cosα=- 分析： 上面從代數(shù)法角度解此題，如果單獨考慮sinα、cosα、tanα，可用定義來解此題。初中時，三角函數(shù)定義是從直角三角形引入的，因此我們可以嘗試幾何法來解之： 法四 當α為銳角時，由于tana=,在直角△ABC中，設α=A,a=3x,b=4x，則勾股定理，得，c=5x sinA= = ,cosA= = ∴sinα= ，cosα= 或sinα= -，cosα= - 分析 ：用初中三角函數(shù)定義解此題，更應該嘗試用三角函數(shù)高中的定義解此題，因為適用范圍更廣： 法五 當α為銳角時，如下圖所示，在單位圓中，設α=∠AOT， 因為tanα= ，則T點坐標是T(1, ),由勾股定理得：OT== ∵△OMP∽△0AT∴== ，OM=, MP =, p(, ), ∴sinα= ，cosα= 或sinα=-，cosα= - 分析： 圓和直線已經(jīng)放入直角坐標系中，肯定可以嘗試用解析幾何法來解此題： 解法六，如上圖，易求出直線OT的方程和單位圓的方程 y= x；x2+y2=1 兩式聯(lián)立，得出： ， 或 . T點坐標是P(-, -) P(, ) ∴sinα= ，cosα= 或sinα= -，cosα= - 分析： 先考慮sinα、cosα兩者之間的關系，容易想到用三角函數(shù)輔助角公式來幫助解決此問題： 解法七tanα= = 4sina-3cosa=0 由三角函數(shù)輔助角公式得， 5sin（a+φ）= 0,其中，sinφ= , cosφ= ∴a+φ=kπ ，k∈Z sina=sin（kπ -φ）=sinφ α在第一、三象限 ∴容易求出sinα= ，cosα= 或sinα=-，cosα= - 分析： 僅僅從角度變換考慮，看一看，用二倍角公式是否能解決此問題： 解法八，由二倍角公式，得，tanα== 3tan2 +8tan-3=0 ∴tan= -3,或tan= sinα=2sincos==2 ∴sinα= ，cosα= 或sinα= -，cosα= -判別式 此外，我們還可以嘗試從向量的角度思考這個問題，這里就不再贅述。下面展示本題的變式與推廣： 變式1： 已知tanα=-3，求sinαcosα的值 變式2：已知tanα=m，求sinα，cosα的值 變式3 ：已知sinα=m，求cosα，tanα的值 由上例可以看出，一題多解和一題多變可以使學生更積極參與到課堂中來,從而激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣和信心。一道數(shù)學題因思考的角度不同可得到多種不同的解法,這有助于拓寬解題思路,提高學生分析問題的能力；一道數(shù)學題通過聯(lián)想、類比、推廣，可以得到一系列新的題目,甚至得到更一般的結論,這有助于學生應變能力的提高和發(fā)散思維的形成,增強學生面對新問題敢于聯(lián)想分析予以解決的意識。一題多解和一題多變猶如一座金橋，,能把學生從已知的此岸渡到未知的彼岸。