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第1課時　方程的根與函數(shù)的零點 1.了解方程的根與函數(shù)零點的概念,會利用零點的概念解決簡單的問題. 2.理解零點存在性定理,會利用零點存在性定理判斷零點的存在性或者零點所在的范圍. 3.能夠運用函數(shù)思想、數(shù)形結合思想和化歸思想解決方程的根的問題. 一個小朋友畫了兩幅圖: 問題1:上面的兩幅圖中哪一幅能說明圖中的小朋友一定渡過河? 顯然,圖1說明了此小朋友一定渡過河,但對于圖2,則無法判斷,用數(shù)學的角度來看,如果把小朋友運動的軌跡當作函數(shù)圖象,小河看作x軸,那么問題即轉化為函數(shù)圖象與x軸是否存在交點. 問題2:(1)什么是函數(shù)的零點,零點是點嗎? (2)二次函數(shù)的零點個數(shù)如何判斷? (1)對于函數(shù)y=f(x),我們把使　　　　的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)的零點.由定義可知零點是一個實數(shù)不是點. (2)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,當　　　　　時,有兩個零點;當Δ=0時,有　　　　零點;當　　　　　時,沒有零點. 問題3:函數(shù)y=f(x)的零點,方程f(x)=0的根,函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標,這三者有什么關系? 函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標. 事實上,方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點. 問題4:(1)零點存在性定理的內(nèi)容是什么? (2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足零點存在性定理的條件,即存在零點,那么在(a,b)上到底有幾個零點呢? (3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,那么你認為f(a)f(b)與0的關系是怎樣的?請舉例說明. (1)零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有　　　　　　,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根. (2)至少有一個. (3)如圖所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0. 利用零點的概念求零點 判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出. (1)f(x)=x+3x;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x. 函數(shù)零點所在區(qū)間的判定 函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是(　　). A.(-2,-1)　　 B.(-1,0)　　 C.(0,1)　　 D.(1,2) 函數(shù)零點的個數(shù)判定 函數(shù)f(x)=1x+x2-2x有幾個零點? (2014年北京卷)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x,在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是(　　). A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 　　考題變式(我來改編): 第1課時　方程的根與函數(shù)的零點 知識體系梳理 問題2:(1)f(x)=0　(2)Δ>0　一個　Δ<0 問題4:(1)f(a)f(b)<0 重點難點探究 探究一:【解析】(1)令x+3x=0,解得x=-3,所以函數(shù)f(x)=x+3x的零點是-3. (2)令x2+2x+4=0,因為Δ=22-414=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0無實數(shù)根, 所以函數(shù)f(x)=x2+2x+4不存在零點. (3)令2x-3=0,解得x=log23, 所以函數(shù)f(x)=2x-3的零點是log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3, 所以函數(shù)f(x)=1-log3x的零點是3. 【小結】求函數(shù)f(x)的零點時,通常轉化為解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有實數(shù)根,則函數(shù)f(x)存在零點,該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點;否則,函數(shù)f(x)不存在零點. 　　探究二:【解析】因為f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零點在區(qū)間(0,1)上,選C. 【答案】C　 【小結】要判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間,只需把各區(qū)間的端點代入函數(shù)解析式中,看區(qū)間兩端點對應的函數(shù)值是否異號,再用函數(shù)的零點存在性定理判斷. 　　探究三: 【解析】由1x+x2-2x=0,得1x=-x2+2x,在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=1x和y=-x2+2x的圖象,如圖所示. 由圖可知,兩個函數(shù)圖象有2個交點,所以函數(shù)f(x)=1x+x2-2x有2個零點. [問題]得到的答案是否正確? [結論]不正確,畫圖不夠準確. (法一)由1x+x2-2x=0,得1x=-x2+2x,在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=1x和y=-x2+2x的圖象,如圖所示. 由圖可知,兩個函數(shù)圖象有3個交點,所以函數(shù)f(x)=1x+x2-2x有3個零點. (法二)解方程1x+x2-2x=0,即x3-2x2+1x=0,(x-1)(x2-x-1)=0,所以方程有三個解,分別為x1=1,x2=1-52,x3=1+52. 【小結】判斷函數(shù)的零點個數(shù)有以下幾種方法:①解方程;②畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象與x軸交點的個數(shù)判斷零點的個數(shù);③結合函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理進行判斷;④把方程轉化為兩個函數(shù),畫出兩個函數(shù)的圖象,根據(jù)它們交點的個數(shù)判斷零點的個數(shù),要求準確地畫出函數(shù)的圖象. 全新視角拓展 【解析】由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0,由零點存在性定理,可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上必存在零點. 【答案】C 思維導圖構建 實數(shù)x　x軸　有零點　f(a)f(b)<0