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第一套線性代數(shù)模擬試題解答 一、填空題(每小題4分，共24分) 1、 若是五階行列式中帶正號(hào)的一項(xiàng)，則。 令，，取正號(hào)。 2、 若將階行列式的每一個(gè)元素添上負(fù)號(hào)得到新行列式，則= 。 即行列式的每一行都有一個(gè)(-1)的公因子，所以=。 3、設(shè), 則=。 可得 4、設(shè)為5 階方陣，，則。 由矩陣的行列式運(yùn)算法則可知：。 5、為階方陣,且 0 。 由已知條件：， 而 ：。 6、設(shè)三階方陣可逆，則應(yīng)滿足條件。 可逆，則行列式不等于零：。 二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，共24分) 7、設(shè)，則行列式 A 。 A． B． C． D． 由于 8、設(shè)階行列式，則的必要條件是 D 。 A．中有兩行(或列)元素對(duì)應(yīng)成比例 B．中有一行(或列)元素全為零 C．中各列元素之和為零 D．以為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解 9、對(duì)任意同階方陣，下列說(shuō)法正確的是 C 。 A. B. C. D. 10、設(shè)為同階可逆矩陣，為數(shù)，則下列命題中不正確的是 B 。 A. B. C. D. 由運(yùn)算法則，就有。 11、設(shè)為階方陣，且，則 C 。 A． B． C． D． 因?yàn)椤? 12、矩陣的秩為2，則= D 。 A. 2 B. 3 C.4 D.5 通過(guò)初等變換，由秩為2可得： 三、計(jì)算題(每小題7分，共42分) 13、計(jì)算行列式： 。 解：。 14、計(jì)算行列式： 。 解：先按第一行展開(kāi)，再按第三行展開(kāi)，有： =。 15、問(wèn)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解。 解：齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式為零： 16、設(shè)矩陣，計(jì)算。 解：因?yàn)?，所以都可逆，? 。 17、解矩陣方程，求，其中=。 解：, 。 18、設(shè)，利用分塊矩陣計(jì)算。 解： 四、證明題(每小題5分，共10分) 19、設(shè)階方陣滿足，證明矩陣可逆，并寫出逆矩陣的表達(dá)式。 證明：因?yàn)椋? 從而。 20、若矩陣，則稱矩陣為反對(duì)稱矩陣，證明奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣一定不是滿秩矩陣。 證明：設(shè)為階反對(duì)稱矩陣，為奇數(shù)，則 ， 所以不可逆，即不是滿秩矩陣。 第二套線性代數(shù)模擬試題解答 一、填空題(每小題4分，共24分) 1、 為3階方陣,且是的伴隨矩陣,則= -4 。 因?yàn)椋骸? 2、為53矩陣,秩()=3, ,則秩()= 3 。 因?yàn)榭赡?，相?dāng)于對(duì)作列初等變換，不改變的秩。 3、均為4維列向量，，， ， ，則= 40 。 。 4、，，且，則 = -4 。 。 5、如果元非齊次線性方程組有解，，則當(dāng) n 時(shí)有唯一解； 當(dāng) < n 時(shí)有無(wú)窮多解。 非齊次線性方程組有解的定義。 6、設(shè)四元方程組的3個(gè)解是。其中，如，則方程組的通解是 。 因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系含4-3=1個(gè)解向量；又 都是的解，相加也是的解，從而可得的一個(gè)解為： ， 于是的通解為：。 二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，共24分) 7、對(duì)行列式做 D 種變換不改變行列式的值。 A.互換兩行 B.非零數(shù)乘某一行 C.某行某列互換 D.非零數(shù)乘某一行加到另外一行 8、階方陣滿足，其中為單位矩陣，則必有 D 。 A. B. C. D. 矩陣乘法不滿足變換律，而D中。 9、矩陣的秩為2，則= D A. 3 B. 4 C.5 D.6 通過(guò)初等變換，由秩為2可得：。 10、若方陣不可逆，則的列向量中 C 。 A. 必有一個(gè)向量為零向量 B. 必有二個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例 C. 必有一個(gè)向量是其余向量的線性組合 D. 任一列向量是其余列向量的線性組合 方陣不可逆，則的列向量線性相關(guān)，，由定義可得。 11、若r維向量組線性相關(guān)，為任一r維向量，則 A 。 A. 線性相關(guān) B. 線性無(wú)關(guān) C. 線性相關(guān)性不定 D. 中一定有零向量 由相關(guān)知識(shí)可知，個(gè)數(shù)少的向量組相關(guān)，則個(gè)數(shù)多的向量組一定相關(guān)。 12、若矩陣有一個(gè)3階子式為0，則 C 。 A.秩()≤2 B. 秩()≤3 C. 秩()≤4 D. 秩()≤5 由矩陣秩的性質(zhì)可知：，而有一個(gè)3階子式為0，不排除4階子式不為0。 三、計(jì)算題(每小題7分，共42分) 13、計(jì)算行列式。 解： 14、設(shè)，，，，求矩陣。 解：。 15、已知三階方陣，且，計(jì)算矩陣。 解： 16、求矩陣的秩，并找出一個(gè)最高階非零子式。 解： ， 最高階非零子式是。 17、寫出方程組的通解。 解： 18、已知R3中的向量組 線性無(wú)關(guān)，向量組， 線性相關(guān)，求k值。 解： ， 由 線性無(wú)關(guān)，得， 因?yàn)橄嚓P(guān)，所以有非零解，故系數(shù)行列式=0，得。 四、證明題(每小題5分，共10分) 19、設(shè)為階方陣，若，則秩秩。 證明：因?yàn)榫€性方程組，當(dāng)秩時(shí)，基礎(chǔ)解系為個(gè)，由 則有，即B的列均為的解，這些列的極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)≤即秩(，從而秩。 20、如果線性相關(guān)，但其中任意3個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)，證明必存在一組全不為零的數(shù)，使得。 證明：因?yàn)榫€性相關(guān)，所以存在一組“ 不全為零”的數(shù)，使得 ， 如果，則 ，且由于 不全為零，所以 線性無(wú)關(guān)，與題設(shè)矛盾，所以； 同理，可證明。 第三套線性代數(shù)模擬試題解答 一、填空題(每小題4分，共24分) 1、 已知三階行列式，表示它的元素的代數(shù)余子式，則與對(duì)應(yīng)的三階行列式為。 由行列式按行按列展開(kāi)定理可得。 2、均為階方陣，，則=。 由于： 。 3、 ，則=。 由于。 4、向量組線性 無(wú) 關(guān)。 因?yàn)椋骸? 5、設(shè)6階方陣的秩為5，是非齊次線性方程組的兩個(gè)不相等的解，則 的通解為。 由于，所以的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)向量：，故有上通解。 6、已知為的特征向量，則。 。 二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，共24分) 7、， ，則 D 。 A． B． C． D． 對(duì)A作行變換，先作，將第一行加到第三行上，再作，交換一二行。 8、元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 B 。 A． B． C． D． 齊次線性方程組有非零解的定理。 9、已知矩陣的秩為，是齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，為任意常數(shù)，則方程組的通解為 D 。 A． B． C． D． 基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，但必須不等于零，只有D可保證不等于零。 10、矩陣與相似,則下列說(shuō)法不正確的是 B 。 A.秩()=秩() B. = C. D. 與有相同的特征值 相似不是相等。 11、若階方陣的兩個(gè)不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量分別是和，則 B 。 A. 和線性相關(guān) B. 和線性無(wú)關(guān) C. 和正交 D. 和的內(nèi)積等于零 特征值，特征向量的定理保證。 12、階方陣具有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是與對(duì)角矩陣相似的 C 條件。 A.充分條件 B. 必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要 矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要定理保證。 三、計(jì)算題(每小題7分，共42分) 13、設(shè)與均為3階方陣，為3階單位矩陣，，且 ；求。 解：因?yàn)锳B+E=A2+B ，可逆 所以。 14、滿足什么條件時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解？ 解： 當(dāng)且時(shí)，方程組有惟一解。當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解。 當(dāng)時(shí)方程組當(dāng)時(shí) 這時(shí)方程組只有零解。 當(dāng)時(shí)，這時(shí)方程組有無(wú)窮多解。 15、向量組 ，（1）計(jì)算該向量組的秩，（2）寫出一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向 量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。 解：， 為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組， ， 16、設(shè)矩陣的一個(gè)特征值為3，求。 解： 17、計(jì)算矩陣的特征值與特征向量。 解：， 所以得：特征值，解方程組， 只得一個(gè)對(duì)應(yīng)特征向量為：； ， 解方程組，可得特征向量為。 18、當(dāng)為何值時(shí)，為正定二次型？ 解： 解不等式：。 四、證明題(每小題5分，共10分) 19、設(shè)向量能由這三個(gè)向量線性表示且表達(dá)式唯一, 證明：向量組線性無(wú)關(guān)。 證明：（反證法）如果線性相關(guān)，則有一組不全為0的系數(shù)使= （1），由已知設(shè)，結(jié)合（1）式得 （2） 由于不完全為零，則，，必與不同，這樣已有兩種表示，與表示法惟一相矛盾，證畢。 20、設(shè)是階方陣的3個(gè)特征向量，它們的特征值不相等，記，證明不是的特征向量。 證明：假設(shè)， 又： 從而：，由于特征值各不相等，所以 線性無(wú)關(guān)，所以的，矛盾。