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數學模型課程設計要求 　一. 三人為一組完成一個題目。 　二. 答題時可以使用任何外部資源（如圖書館、計算機、軟件包、書籍等），但不可以與本組外的人商量。 　三. 答題時間：2011年11月25日—2011年12月6日. 　四. 答卷以科研論文的形式提交，論文內容大體包括：300字左右的摘要，問題重述與分析（或引言），假設，建模，求解，分析，檢驗（模擬仿真），參考文獻等。 　五．論文書寫格式如下 1.論文封面的規(guī)定： 　論文的封面使用統一的封面樣式（見下頁），A4大小。 2.論文書寫格式紙張的規(guī)定 　論文（指摘要和正文），小四宋體，1.25倍行距，用A4紙打印。 3. 論文的摘要： 　1）.論文的第一部分必須是論文摘要（300字左右的摘要），用單獨一頁書寫，放在封面后正文前。 　2）.摘要中把論文的主要內容及特點充分表達出來。 4. 論文主要部分的內容： 　1）.要闡述題目，假設，分析，建模，解模和結果的全過程。 　2）.對模型的檢驗及模型的優(yōu)缺點和發(fā)展前景也要有所表述。 5. 論文附加部分的內容： 　1）.有關計算過程的詳細資料（例如程序和圖表等）。 　2）.作者認為需要交代的其他資料（例如參考文獻等）。 6. 論文打印要求： 　論文打印稿要求有課程設計封面，和論文正文兩部分。 　注：論文要同時交書面和電子版的！ 　資料查詢方式 　1）.圖書館數字書查閱 　2）.外部資源利用（Google搜索，其它學校網站） 　 數學建模課程設計 題目 第 組 組員1 組員2 組員3 姓名 學號 專業(yè) 成績 　　　　 　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　 數學模型課程設計 題目1：報童的最佳定貨策略 　　報童每天清晨從報社購進大量各種不同類型報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回．由于顧客對各種類型報紙的喜好不同，常常碰到以下問題： 　　如果報紙購進太少，有些報紙會脫銷，那么報童將會少賺錢；如果購進太多，有些報紙買不完，那么報童退回報紙將要賠錢． 　　為了解決這個問題，報童需要考慮不同類型報紙搭配的最佳訂貨策略。問題 ?。?）請你為報童籌劃一下，制定一種最佳的訂購方案，使報童贏得最大的利潤． 　（2）假設報童每天投入的資金設為定值S，那么在資金一定的條件下，制定最佳的訂購方案，使報童贏得最大的利潤． 　（3）自己設計或調查一組數據對模型進行檢驗。 　　 數學模型課程設計 題目2：舉重問題 　　運動員在高度和體重方面差別很大，為了在舉重比賽中對此做出補償，規(guī)定要從運動員舉起的重量中減去其體重,以下是1996年奧林匹克運動會上優(yōu)勝者的舉重成績： 　　　　級別 最大體重（千克） 抓舉（千克） 挺舉（千克） 總重量（千克） 　　　　1 54 132.5 155.0 287.5 　　　　2 59 137.5 170.0 307.5世界記錄 　　　　3 64 147.5 187.5 335.0 　　　　4 70 162.5 195.0 357.5世界記錄 　　　　5 76 167.5 200.0 367.5 　　　　6 83 180.0 212.5 392.5世界記錄 　　　　7 91 187.5 213.0 402.5 　　　　8 99 185.0 235.0 420.0世界記錄 　　　　9 108 195.0 235.0 430.0 　　　　10 超過108 197.5 260.0 457.5 1. 這個規(guī)定暗示了什么關系，結合上表說明這種關系。 2. 已經提出的生理學論證建議肌肉的強度和其橫截面的面積成比例，利用這個強度子模型，建立一個表示舉重能力和體重之間關系的模型，列出所有的假設,用所提供的數據來檢驗你的模型。 3. 假定體重中有一部分是與成年人的尺寸無關的，提出一個把這種改進融合進去的模型，并討論兩個模型各自的優(yōu)缺點，然后提出一種經驗法則，對不同體重的舉重運動員設定障礙，使得比賽受體重因素的影響較小，從而更加公平。 　　　　 數學模型課程設計 題目3：道路改造項目中碎石運輸的設計 　　在一平原地區(qū)要進行一項道路改造項目，在A，B之間建一條長200km，寬15m，平均鋪設厚度為0.5m的直線形公路。為了鋪設這條道路，需要從S1，S2兩個采石點運碎石。1立方米碎石的成本都為60元。（S1，S2運出的碎石已滿足工程需要，不必再進一步進行粉碎。）S1，S2與公路之間原來沒有道路可以利用，需鋪設臨時道路。臨時道路寬為4m，平均鋪設厚度為0.1m。而在A，B之間有原來的道路可以利用。假設運輸1立方米碎石1km運費為20元。此地區(qū)有一條河，故也可以利用水路運輸：順流時，平均運輸1立方米碎石1km運費為6元；逆流時，平均運輸1立方米碎石1km運費為10元。如果要利用水路，還需要在裝卸處建臨時碼頭。建一個臨時碼頭需要用10萬元。 建立一直角坐標系，以確定各地點之間的相對位置： A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。 　 河與AB的交點為m4(50,100) （m4處原來有橋可以利用）。河流的流向為m1→m7，m4的上游近似為一拋物線，其上另外幾點為m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似為一拋物線，其上另外幾點為m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。 　 橋的造價很高，故不宜為運輸石料而造臨時橋。 　　此地區(qū)沒有其它可以借用的道路。 　　為了使總費用最少，如何鋪設臨時道路（要具體路線圖）；是否需要建臨時碼頭，都在何處建；從s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的總費用。 　　　　 數學模型課程設計 題目4:超額錄取留學生的策略 　　眾所周知，選擇出國留學學生越來越多。不可避免的，他們需要向國外的大學提出申請，同時需要交納一定金額的申請費。如果你所申請的學校給你發(fā)來“offer”，并且你順利地通過簽證，你就可以預訂機票了。 　　通常說來，國外學校錄取留學生的數量A由該校提供給留學生獎學金的經費數決定。但是，出于以下的原因： （1）得到“offer”的學生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去報到； （2）得到“offer”的學生未能順利拿到簽證。發(fā)出“offer”的數量B往往要多于錄取留學生的數量A。但是不同的學校面臨的情況并不相同，也許收到一所知名學?！皁ffer”的人中，90%的人都會去，而去一所普通學校的人可能不到50%。由于經費有限，如果報到的學生太多，學校往往沒有太多的辦法。因此，發(fā)出“offer”需要一定的策略。 　　當前的情況為： 學生從一個學校調到另一個學校的情形越來越少。 學生出于各自的偏好，不愿意更換學校。 簽證被拒的比例在上升。 所有學校都必須先交申請費，再決定是否考慮發(fā)放offer。 　　問題： （1）如果獎學金經費C確定，學校該發(fā)多少封“offer”？給出最佳方案。 （2）如果你是一個學生，考慮到申請過程中的所有費用，（申請的學校越多，費用越高），同時還能去一個理想的學校，你應該向多少個學校提出申請？ 　　　　 數學模型課程設計 題目5：高考志愿選擇策略 　　一年一度的高考結束后，許多考生面臨估分后填寫志愿的決策過程。這個決策關系重大，請你建立一個數學模型，幫考生考慮到各種決策因素使之能輕松應對這一重大決策。 　　假設每個考生可填寫四個志愿?，F有北京甲、上海乙、成都丙、重慶丁四所大學。 　　考生通過網上信息初步考慮因素重要性主觀數據如下表 　　　　 相關權數 北京甲 上海乙 成都丙 重慶丁 　　　　校譽 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6 　　　　 錄取風險 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3 　　　　 年獎學金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7 　　　　 就業(yè)前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5 　　　　生活環(huán)境 離家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8 　　　　 生活費用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8 　　　　 氣候環(huán)境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6 　　　　學習環(huán)境 專業(yè)興趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8 　　　　 師資水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65 　　　　可持續(xù)發(fā)展 碩士點 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8 　　　　 博士點 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5 　　　　經過建模計算，給出志愿排序的合理決策。 　　　 數學模型課程設計 題目6：服務機構勞務安排的優(yōu)化設計 　　在一些大型服務機構中，不同的時間段內需要的服務量有顯著的不同。例如，交通管理人員、醫(yī)院醫(yī)護人員、賓館服務人員、超市賣場營銷人員等。在不同的時段勞務需求量不同，主管單位在不同時段支付的勞務工資往往也不同。因此對于既要滿足需要，又要盡量節(jié)約勞務開支是管理者必須思考的決策問題?，F就某公司超市賣場營銷人員工作安排問題建立一個數學模型來進行優(yōu)化設計，使得既要滿足公司超市賣場需要，又使公司的勞務開支最少。 　　超市賣場的營業(yè)時間是上午8點到21點，以兩小時為一時段，各時段內所需的服務人員數如表1，每個營銷人員可在任一時段開始時上班，但要連續(xù)工作8小時，中途需要1小時的吃飯和休息時間。為保證營業(yè) 　　時間內都有人值班，公司安排了四個班次，其班次與休息時間安排如表2，在不同時段的工資標準不同，上午8點到17點工作的人員月工資為1200元，中午12點到21點工作的人員月工資為1500元。 　　　　序號 時間區(qū)間 最少需求人數 　　　　1 8：00－10：00 30 　　　　2 10：00－12：00 35 　　　　3 12：00－14：00 20 　　　　4 14：00－16：00 40 　　　　5 16：00－18：00 30 　　　　6 18：00－20：00 25 　　　　7 20：00－21：00 20 　　　　表2 　　　　班次 工作時間 休息時間 月工資 　　　　1 8：00－17：00 12：00－13：00 1200 　　　　2 8：00－17：00 13：00－14：00 1200 　　　　3 12：00－21：00 16：00－17：00 1500 　　　　4 12：00－21：00 17：00－18：00 1500 　　進一步討論對8點至17點和12點至21點分別安排更多的班次其勞務支出的變化。 　　　 數學模型課程設計 題目7：人類的演化 　　觀察地球生物發(fā)展的大歷史，似乎看得出來，有些原始生物演化速度很慢，幾千萬年來表面都沒有改變，至今仍然存在，例如銀杏樹，腔棘魚、鱟等生物，稱為活化石。據此推論越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越長。假設平均而言，隨生物種類的不同，一種生物會以每百萬年累積0.5--1000個致死基因，當致死基因累積達3000個以上，其滅絕的概率會超過0.75，當致死基因累積達5000個以上，其滅絕的概率會超過0.95。據此而言，人類（智人，Homo sapiens約2-3萬年前出現，是很晚才出現的物種）未來的演化速度如何？何時該滅絕？請建立一個數學模型來討論上述問題。 　　　　 數學模型課程設計 題目8：火車彎道緩和曲線問題 　　火車駛上彎道時，根據力學原理，會產生離心力F，在軌道的直道與彎道（圓弧）的銜接部，列車受到的離心力由零突變到F，會損壞線路和車輛，并使乘車人感到不適，甚至發(fā)生危險。為此火車軌道在彎道處采取“外軌超高”的辦法，即把彎道上的外軌抬高一定高度，使列車傾斜，這樣產生的向心力抵消部分離心力，以保證列車安全運行。為使等高的直線軌道與外軌超高的圓弧平緩銜接，同時避免離心力的突然出現，要在彎道與直道間加設一段曲線，以使列車受到的離心力從零均勻地增大到F，外軌超高也從零逐漸增大到h。所加曲線稱為緩和曲線。 　　現有一處鐵路彎道，原轉彎半徑R=400m，適應列車時速 120km∕h。由于火車提速，要求將此彎道改為適應列車時速200 km∕h，并要求將原長200 m的緩和曲線一并進行改造。試討論下面問題： （1）求緩和曲線方程。 （2）若要求外軌超高不改變，緩和曲線應如何改造？ （3）若外軌超高可以改變，緩和曲線又應如何改造？ 　　　 數學模型課程設計 題目9：人力資源安排問題 　“pe公司”是一家從事電力工程技術的中美合資公司，現有41個專業(yè)技術人員，其結構和相應的工資水平分布如表1所示。 　　　　表1 公司的人員結構及工資情況 　　　　 高級工程師 工程師 助理工程師 技術員人數 日工資（元） 9 10 17 5 250 200 170 110 　 目前，公司承接有4個工程項目，其中2項是現場施工監(jiān)理，分別在a地和b地，主要工作在現場完成；另外2項是工程設計，分別在c地和d地，主要工作在辦公室完成。由于4 個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項目的合同對有關技術人員的收費標準不同，具體情況如表2所示。 　　　　表2 不同項目和各種人員的收費標準 　　　　高級工程師 工程師 助理工程師 技術員 　　　　收費（元/天） a 1000 1500 1300 1000 　　　b 800 800 900 800　　 c 600 700 700 700 d 500 600 400 500 　　為了保證工程質量，各項目中必須保證專業(yè)人員結構符合客戶的要求，具體情況如表3 所示： 　　　　表3：各項目對專業(yè)技術人員結構的要求 　　　　 　　　　 高級工程師 工程師 助理工程師 技術員 　　　a 總計1～3 ≥2 ≥2 ≥1 ≤10 　　　b 總計2～5 ≥2 ≥2 ≥3 ≤16 　　　c 總計　2 ≥2 ≥2 ≥1 ≤11 d 總計1～2 2～8　 ≥1 -- ≤18 說明： 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符號的同理； 項目d，由于技術要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術員不能參加； 高級工程師相對稀缺，而且是質量保證的關鍵，因此，各項目客戶對高級工程師的配備有不能少于一定數目的限制。各項目對其他專業(yè)人員也有不同的限制或要求； 各項目客戶對總人數都有限制； 由于c、d兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理費開支。 　　由于收費是按人工計算的，而且4個項目總共同時最多需要的人數是10+16+11+18=55，多于公司現有人數41。因此需解決的問題是：如何合理的分配現有的技術力量，使公司每天的直接收益最大？ 　　　　 數學模型課程設計 題目10：飛越北極 　 今年6月，揚子晚報發(fā)布消息：“中美航線下月可飛越北極，北京至底特律可節(jié)省4小時”，摘要如下： 　　7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機飛越北極，此改變可大幅度縮短北美與亞洲間的飛行時間，旅客可直接從休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飛北京等地。據加拿大空中交通管制局估計，如飛越北極，底特律至北京的飛行時間可節(jié)省4個小時。由于不需中途降落加油，實際節(jié)省的時間不止此數。 　　假設：飛機飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時980公里；從北京至底特律原來的航線飛經以下10處： 　　A1 (北緯31度，東經122度)； A2 (北緯36度，東經140度)； 　　A3 (北緯 53度，西經165度)； A4 (北緯62度，西經150度); 　　A5 (北緯 59度，西經140度)； A6 (北緯 55度，西經135度)； 　　A7 (北緯 50度，西經130度)； A8 (北緯 47度，西經125度)； 　　A8 (北緯 47度，西經122度)； A10 (北緯 42度，西經87度)。 　　請對“北京至底特律的飛行時間可節(jié)省4小時“從數學上作出一個合理的解釋，分兩種情況討論： ?。?） 設地球是半徑為6371千米的球體； ?。?） 設地球是一旋轉橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千米。 數學模型課程設計 題目11：“南水北調”水的分配 　　南水北調中線工程建成后，預計2010年的調水量為110億立方米，主要用來改善經過京、津、冀、豫四省市沿線20個大中城市的用水。用水指標的分配原則是：改善城市環(huán)境、促進經濟發(fā)展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工業(yè)用水和綜合服務業(yè)用水的分配比例分別為40％、38％和22％。下表是2000年各城市基本狀況的統計數據，可以看出，各城市的人口數量差異很大，各城市的生活、工業(yè)和綜合服務業(yè)的用水情況不同，相同的供水量所產生的經濟效益也不同。 城市 城市 工業(yè) 綜合服務業(yè)產值 (m3)萬元工業(yè) (m3)萬元綜合服務業(yè) 總數(萬人) 年自然　 (億元) 年 (%)人均產值 年增長率 序號 人口 產值 人均生活用水量 增加值用水量 用水量(m3) 增長率(‰)增加值 增長率 (萬元) 　 (%) 1 1285 2.04 737 11.1 1.16 13.2 160 143 354 2 682 3.03 739 11.7 0.83 12.2 140 72 209 3 56 9.15 193 10.0 0.30 10.0 180 102 245 4 87 5.90 268 12.5 0.23 12.1 360 96 325 5 46 5.87 480 9.8 0.22 8.6 315 110 185 6 78 6.12 256 7.6 0.20 7.6 318 120 178 7 218 5.41 464 10.2 0.44 11.8 235 86 267 8 52 4.50 189 10.9 0.15 12.0 315 131 165 9 81 3.69 721 10.0 0.22 11.4 320 126 230 10 83 6.61 110 6.9 0.16 11.7 310 186 320 11 42 8.00 36 9.6 0.18 12.3 320 210 220 12 41 6.10 97 8.7 0.14 13.5 352 170 174 13 72 6.01 104 10.3 0.22 8.9 280 205 160 14 128 6.92 67 8.0 0.18 9.4 310 180 250 15 220 5.12 310 12.9 0.53 10.2 220 88 164 16 78 6.56 72 11.1 0.17 9.2 320 210 180 17 90 6.61 114 8.8 0.18 8.4 310 189 155 18 32 6.44 106 10.0 0.12 11.3 340 210 165 19 58 4.60 83 9.0 0.15 10.3 280 200 148 20 121 5.90 211 10.4 0.13 8.8 320 180 202 全國平均 10.7 9.9 0.23 7.8 219 610 288 　　請你從保障人民生活用水和經濟發(fā)展的角度，給出2010年的調水量的分配方案。應注意到，每個城市的工業(yè)和綜合服務業(yè)的發(fā)展受產業(yè)規(guī)模的限制，不可能在10年內無限增長，要適當照顧各城市經濟發(fā)展的均衡 　　　　 數學模型課程設計 題目12：鉛球投擲模型 　　眾所周知，鉛球的投擲運動是運動員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45o的有效扇形區(qū)域內。以鉛球的落地點與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠度，并以鉛球投擲遠度的大小評定運動員的成績。 　　在鉛球的訓練和比賽中，鉛球投擲距離的遠與近是人們最關心的問題。而對于教練和運動員最為關心的問題是如何使鉛球擲得最遠。影響鉛球投擲遠度的因素有哪些？建立一個數學模型，將預測的投擲距離表示為初始速度和出手角度的函數。最優(yōu)的出手角度是什么？如果在采用你所建議的出手角度時，該運動員不能使初始速度達到最大，那么他應該更關心出手角度還是出手速度？應該怎樣折中？ 　　哪些是影響遠度的主要因素？在平時訓練中，應該更注意哪些方面的訓練？試通過組建數學模型對上述問題進行分析，給教練和運動員以理論指導。 　　　　參考數據資料如下： 　　　　 　　　　表1 李素梅與斯盧皮亞內克鉛球投擲成績 　　　　 姓名 出手速度出手高度出手角度實測成績 　　　　李梅素 13.75 1.90 37.60 20.95 　　　　李梅素 13.52 2.00 38.69 20.30 　　斯盧皮亞內克 13.77 2.06 40.00 21.41 　　　　 　　　　表2 我國優(yōu)秀運動員的鉛球投擲數據 　　　　姓名 成績s(m) 出手速度出手角度出手高度 　　　李梅素 19.40 13.16 40.27 2.02 　　　李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00 　　　黃志紅 20.76 13.58 37.75 2.02 　　　隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04 　　　李梅素 21.76 14.08 35.13 1.95 　　　　 數學模型課程設計 題目13：按揭還款 　　銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法．有人認為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認為銀行在隱瞞信息，賺消費者的錢．所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清． 1．請你建立數學模型討論這兩種房貸還款方式是否有無好壞之分； 2．是否可以設計一些其它房貸還款方式，并作討論； 　　　 數學模型課程設計 題目14：醫(yī)療保障基金額度的分配 　　某集團下設四個子公司：子公司A、子公司B、子公司C和子公司D。各子公司財務分別獨立核算。每個子公司都實施了對雇員的醫(yī)療保障計劃，由各子公司自行承擔雇員的全部醫(yī)療費用。過去的統計數據表明，每個子公司的雇員人數以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定。四個子公司各年度的醫(yī)療費用支出見表1。 　　為進一步規(guī)范各個子公司的醫(yī)療保障計劃，集團董事會規(guī)定，在2003年底,各個子公司均需以銀行活期存款的方式，設立醫(yī)療保障基金，基金專門用于支付2004年度雇員的醫(yī)療費用。 并規(guī)定每個子公司的醫(yī)療保障基金只能用于支付本子公司雇員。已知2004年銀行活期存款利率為1%。 　　董事會綜合考慮了各種因素，確定本集團設立的2004年度醫(yī)療保障基金的總額度為80萬元，這一額度在四個子公司之間分配。對于各子公司，如果2004年度總的醫(yī)療費用支出低于該子公司的醫(yī)療保障基金的額度， 則雇員可以及時得到醫(yī)療方面的保障。 而如果總的醫(yī)療費用超過了醫(yī)療保障基金的額度， 則子公司需要通過其他渠道來籌措超出部分的額度。這會導致某些雇員無法及時報銷醫(yī)療費用。 　　試確定80萬元醫(yī)療保障基金在四個子公司之間的分配方案，并論證方案優(yōu)良性。 表2給出了相關年度 　　　　的通貨膨脹指數。 　　　　 　　　　表2—通貨膨脹指數 　　　　日期 通貨膨脹指數 日期 通貨膨脹指數 　　　　1980年1月1日 100 1992年1月1日 181 　　　　1981年1月1日 105 1993年1月1日 182 　　　　1982年1月1日 115 1994年1月1日 189 　　　　1983年1月1日 128 1995年1月1日 191 　　　　1984年1月1日 130 1996年1月1日 197 　　　　1985年1月1日 140 1997年1月1日 200 　　　　1986年1月1日 150 1998年1月1日 210 　　　　1987年1月1日 151 1999年1月1日 211 　　　　1988年1月1日 152 2000年1月1日 215 　　　　1989年1月1日 160 2001年1月1日 217 　　　　1990年1月1日 175 2002年1月1日 219 　　　　1991年1月1日 180 2003年1月1日 226 　　　　注：2003年1月1日的通貨膨脹指數為226，是指在1980年1月1日價格為100元的物品，在2003年1月1日價格為226元。 　　　　表1：公司A、公司B、公司C 和公司D的醫(yī)療費用支出（單位：萬元） 　　　　年度 公司A 公司B 公司C 公司D 　　　　1980 8.28 8.81 8.02 10.50 　　　　1981 8.76 9.31 8.36 10.76 　　　　1982 9.29 10.41 9.20 11.34 　　　　1983 10.73 11.61 10.51 12.89 　　　　1984 10.88 11.39 10.70 13.20 　　　　1985 11.34 12.53 11.20 14.24 　　　　1986 11.97 13.58 13.01 14.90 　　　　1987 12.02 13.70 13.24 15.28 　　　　1988 12.16 13.32 13.82 15.20 　　　　1989 12.83 14.32 14.74 16.96 　　　　1990 13.90 15.84 17.33 19.23 　　　　1991 14.71 14.67 18.50 20.99 　　　　1992 16.11 14.99 17.72 23.22 　　　　1993 16.40 14.56 18.45 23.19 　　　　1994 17.07 14.55 19.77 24.04 　　　　1995 16.96 14.80 19.56 23.72 　　　　1996 16.88 15.41 19.70 24.88 　　　　1997 17.20 15.76 20.52 27.34 　　　　1998 19.87 16.76 22.51 28.12 　　　　1999 20.19 17.68 23.10 28.38 　　　　2000 20.00 17.33 23.24 28.81 　　　　2001 19.81 17.03 23.22 26.71 　　　　2002 19.40 16.95 23.76 19.82 　　　　2003 20.48 16.66 24.50 20.48 　　　 數學模型課程設計 題目15： 人民幣匯率與經濟 　　近年來，有不少經濟學家在探討人民幣匯率對我國及世界經濟發(fā)展的影響。一些學者希望提高人民幣對一些主要貨幣的匯率，另一些學者希望穩(wěn)定人民幣的匯率。試建立數學模型，解決下列問題： 1．以英鎊匯率為例，考察匯率與貿易額的線性關系，并據此說明匯率的變 化對英國經濟的影響； 2．利用人民幣匯率與主要貨幣（如英鎊、日元、歐元等）的匯率關系， 　　探討人民幣匯率在什么范圍內變化比較有利于我們經濟持續(xù)、健康發(fā)展。 　　　　 數學模型課程設計 題目16：最佳捕魚方案 　　一個水庫，由個人承包，為了提高經濟效益，保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，必須對水庫的雜魚做一次徹底清理，因此放水清庫。水庫現有水位平均為15米，自然放水每天水位降低0.5米，經與當地協商，水庫水位最低降至5米，這樣預計需要二十天時間，水位可達到目標。 據估計水庫內尚有草魚25000余公斤，鮮活草魚在當地市場上，若日供應量在500公斤以下，其價格為30元/公斤；日供應量在500—1000公斤，其價格降至25元/公斤，日供應量超過1000公斤時，價格降至20元/公斤以下，日供應量到1500公斤，已處于飽和， 捕撈草魚的成本水位于15米時，每公斤6元；當水位降至5米時，為3元/公斤。同時隨著水位的下降草魚死亡和捕撈造成損失增加，至最低水位5米時損失率為10%。 承包人提出了這樣一個問題：如何捕撈鮮活草魚投放市場，效益最佳？請你建立相關模型求解，給出最佳答案。 　　　 數學模型課程設計 題目17：最佳廣告費用及其效應 　　某裝飾材料公司以每桶2元的價錢購進一批彩漆，為了盡快收回資金并獲得較多的贏利，公司經理李先生打算做廣告，于是便找到廣告公司的王先生進行咨詢。李經理認為，隨著彩漆售價的提高，預期銷售量將減少，并對此進行了估算（見表1）。他問王先生廣告有多大效應。王先生說：“投入一定的廣告費后，銷售量將有一個增長，這由銷售增長因子來表示。例如，投入3萬元的廣告費，銷售增長因子為1.85，即銷售量將是預期銷售量的1.85倍。據經驗，廣告費與銷售增長因子的關系有表2?！崩罱浝砺牶?，迫切想知道最佳廣告費和售價為多少時預期的利潤最大，試經過計算給出解答。 　　　　表1 售價與預期銷售量 表 2 廣告費與銷售增長因子 　　　　售價 預期銷售量 　　　　 2 41 　　　　2.5 38 　　　　 3 34 　　　　3.5 32 　　　　4 29 　　　　4.5 28 　　　　5 25 　　　　5.5 22 　　　　6 20 　　　　廣告費 銷售增長因子 　　　　 0 1.0 　　　　10000 1.4 　　　　20000 1.7 　　　　30000 1.85 　　　　40000 1.95 　　　　50000 2.0 　　　　60000 1.95 　　　　70000 1.8 數學模型課程設計 題目18：軍用設備的海中投放 　　軍用設備的海中投放 軍方需要用轟炸機定點空投一軍用球型設備到某海域，飛機速度為100米/秒，球型設備半徑為0.1米，密度為0.85，當地海水密度為1.03，若此設備在水中的摩擦力與速度相反，且成正比，比例系數=0.5公斤.秒/米，（ g = 9.8 ）。 （1）、軍方希望球型設備不要落入比65米還深的海水里，請你分析飛機當時應飛行的高度。 （2）、軍方也關心球型設備停在海面上時的位子，請你給出。 （3）、描述球型設備的軌跡特征，并給出球型設備的一種軌跡圖。 　　　　 數學模型課程設計 題目19：農場計劃 　　英國某農場主有200英畝土地的農場，用來飼養(yǎng)奶牛?，F要為五年制定生產計劃?，F在他有120頭母牛，其中20頭為不到2歲的幼牛，100頭為產奶牛，但他手上已無現金，且欠別人帳20000英鎊須盡早用利潤歸還。每頭幼牛需用2/3英畝土地供養(yǎng)，每頭奶牛需用1英畝。產奶牛平均每頭每年生1.1頭牛，其中一半為公牛，出生后不久即賣掉，平均每頭賣30英鎊；另一半為母牛，可以在生出后不久賣掉，平均每頭40英鎊，也可以留下飼養(yǎng)，養(yǎng)至2歲成為產奶牛。幼牛年損失5%；產奶牛年損失2%。產奶牛養(yǎng)到滿12歲就要賣掉，平均每頭賣120英鎊?，F有的20頭幼牛中，0歲和1歲各10頭；100頭奶牛中，從2歲至11歲各有10頭。應該賣掉的小牛都已賣掉。所有20頭要飼養(yǎng)成奶牛。 一頭牛所產的奶提供年收入370英鎊。現在最多只能養(yǎng)160頭牛，超過此數每多養(yǎng)一頭，每年要多花費90英鎊。每頭產奶牛每年消耗0.6噸糧食和0.7噸甜菜。糧食和甜菜可以由農場種植出來。每英畝產甜菜1.5噸。只有80英畝的土地適合于種糧食，且產量不同。按產量可分作4組：第一組20英畝，畝產1.1噸；第二組30英畝，畝產0.9噸；第三組20英畝，畝產0.8噸；第四組10英畝，畝產0.65噸。從市場購糧食每噸90英鎊，賣糧食每噸75英鎊；買甜菜每噸70英鎊，賣甜菜每噸50英鎊。養(yǎng)牛和種植所需勞動量為：每頭牛每年10小時；每頭產奶牛每年42小時；種一英畝糧食每年須4小時；種一英畝甜菜每年須14小時。 其他費用：每頭幼牛每年50英鎊；產奶牛每頭每年100英鎊；種糧食每畝每年15英鎊；種甜菜每畝每年10英鎊；勞動費用現在每年為6000英鎊，提供5500小時的勞動量。超過此數的勞動量每小時費用為1.80英鎊。 貸款年率10%，每年貨幣的收支之差不能為負值。此外，農場主不希望產奶牛的數目在五年末較現在減少超過50%，也不希望增加超過75%。 應如何安排5年的生產，使收益最大？ 　 數學模型課程設計 題目20：住房貸款問題 　　年初由中國建設銀行北京市分行印發(fā)的《個人住房貸款簡介》的小冊子中介紹了有關個人住房貸款的有關問題。其中指明貸款最高金額為擬購買住房費用的70%；貸款期限最長為20年。個人住房貸款利率如附表1所示。借款人在借款期內每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。附表2中列出了在不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負擔總和。試給出公式說明附表2中后三列數是如何算出來的。 　　近來經國務院批準，中國人民銀行決定從1999年9月21日起，延長個人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮(zhèn)居民購房。各商業(yè)銀行個人住房貸款的最長期限由現行的20年延長到30年。每筆貸款年限由商業(yè)銀行根據個人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協商確定。個人住房貸款年利率最高水平降為5.58%，并根據貸款期限劃分為兩個檔次：5年以下（含五年）為年利率5.31%，五年以上為年利率5.58% 　　請你根據新規(guī)定計算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負擔總和，并與原附表2中的同期貸款的負擔情況比較，住房貸款的負擔各降低了多少。 附表1：中國建設銀行北京市分行個人住房貸款利率表 　　 貸款期 1年（含） 1～3年（含） 3～5年（含） 5～10年（含） 10～20年（含） 　月利率（‰） 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30 　年利率（%） 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56　 附表2：中國建設銀行北京市分行個人住房貸款1～20年月均還款金額表（借款金額為一萬元）單位：元 　　　貸款期限（年） 年利率（%） 還款總額 利息負擔總和 月均還款總額 　　　　1 6.12 10612.00 612.00 一次還本付息 　　　　5 6.66 11784.60 1784.60 196.41 　　　　20 7.56 19423.20 9423.20 80.93 　 數學模型課程設計 題目21：大象群落的穩(wěn)定發(fā)展 　　位于非洲某國的國家公園中棲息這近11000頭象。管理者要求有一個健康穩(wěn)定的環(huán)境一邊維持這個11000頭象的穩(wěn)定群落。管理者逐年統計了象的數量，發(fā)現在過去的20年中，整個象群經過一些偷獵槍殺以及轉移到外地還能保持在11000頭的數量，而其中每年大約有近600頭到800頭是被轉移的。 　　近年來，偷獵被禁止，并且每年要轉移是些象也比較困難，因此，要控制現的數量就使用了一種避孕注射法。用這種方法注射一次可以使得一頭成熟母象在兩年內不會受孕。 　　目前在公園中已經很少發(fā)生移入和移出象的情況。象的性別比也非常接近于1：1，且采取了措施精良維持這個性別比。欣賞的幼象的性別比也在1：1左右。而雙胞胎的機會接近于1.35%。 　　母象在10歲和12歲之間將第一次懷孕，平均美3.5年產下一個幼象，直到60歲左右為止。每次懷孕期未22個月。注射避孕藥會使母象每月發(fā)情，但不會懷孕。象通常在3.5年中僅僅求偶一次，所以這種注射不會引起其它附加的反應。 　　新生的幼象中只有70%到80%可以活到1歲。但是其后的存活率很高，要超過95%，并且這個存活率對各個年齡段都是相同的，一直到60歲左右。假定象的最高年齡是70歲，由于在這個公園里不可以狩獵，偷獵也微乎其微。 　　公園有一個近兩年內從這個地區(qū)運出的象的大致年齡和性別的統計（見表）。但是沒有這個公園里的被射殺的和被留下的象的任何可用的數據。 現在的任務是： （1）探討年齡在2歲到60歲之間的象的合理的存活率的模型，推測這個大象群落的當前的年齡結構。 （2）估計每年有多少母象要注射避孕藥，可以使象群固定在11000頭左右。這里不免有些不確定性，也要估計這種不確定性的影響。 （3）假如每年轉移50頭到300頭象到別處，那么上面的避孕措施將可以有怎樣的改變？ （4）如果由于某種原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一場災難導致大量象的死亡），那時重新壯大象群的能力如何？ 　　　　前一年的情況 前兩年的情況 年齡 象的頭數 母象頭數 年齡 象的頭數 母象頭數 年齡 象的頭數 母象頭數 年齡 象的頭數 母象頭數 1 0 0 31 3 0 1 0 0 31 13 7 2 0 0 32 5 2 2 20 10 32 16 12 3 0 0 33 8 5 3 21 12 33 13 6 4 3 2 34 12 3 4 13 3 34 10 6 5 4 1 35 10 4 5 12 5 35 10 0 6 7 2 36 3 1 6 13 4 36 12 8 7 20 10 37 7 3 7 22 4 37 16 5 8 9 2 38 14 2 8 14 7 38 12 2 9 15 7 39 10 0 9 40 21 39 10 4 10 9 3 40 16 12 10 14 8 40 12 6 11 22 12 41 21 11 11 26 10 41 19 10 12 3 1 42 13 4 12 13 10 42 13 7 13 23 13 43 10 6 13 14 4 43 24 10 14 5 2 44 12 4 14 27 12 44 17 10 15 13 6 45 6 4 15 3 1 45 16 4 16 21 10 46 3 2 16 14 3 46 25 12 17 0 0 47 6 0 17 12 8 47 12 3 18 22 12 48 9 3 18 20 10 48 45 23 19 14 6 49 13 2 19 25 11 49 23 12 20 5 4 50 10 4 20 17 14 50 34 10 21 13 7 51 3 1 21 14 10 51 13 9 22 10 5 52 6 4 22 10 7 52 16 4 23 0 0 53 21 11 23 0 0 53 10 4 24 13 5 54 15 6 24 2 0 54 17 7 25 30 12 55 4 1 25 3 0 55 13 3 26 14 6 56 13 4 26 4 2 56 13 6 27 12 5 57 10 5 27 4 2 57 12 3 28 0 0 58 32 12 28 3 1 58 3 2 29 20 10 59 14 8 29 2 1 59 22 11 30 6 5 60 0 0 30 3 0 60 20 10 數學模型課程設計 題目22：雜技項目中碰撞問題 　　某雜技團刻意求新，在海濱城市演出時，利用當地靠海的條件，設計了一個驚險節(jié)目：在離海邊9米的沙灘上，建一個10米高臺，高臺下5米處放置一個彈性極佳的斜面（如下圖），斜面與水平面成450角。演員從高臺上團身跳下，經與斜面碰撞后將其彈到海里。不知此方案是否可行? 　數學模型課程設計 　題目23：污水處理問題 　　如下圖，有若干工廠的污水經排污口流入某江，各口有污水處理站，處理站對面是居民點。工廠1上游江水流量和污水濃度，國家標準規(guī)定的水的污染濃度，以及各個工廠的污水流量和污水濃度均已知道。設污水處理費用與污水處理前后的濃度差和污水流量成正比，使每單位流量的污水下降一個濃度單位需要的處理費用為已知。處理后的污水與江水混合，流到下一個排污口之前，自然狀態(tài)下的江水也會使污水濃度降低一個比例系數，該系數可以估計。試確定各污水處理站出口的污水濃度，使在符合國家標準規(guī)定的條件下總的處理費用最小。 　　　　 工廠1 工廠2 工廠3 　　　　 　　　　 處理站1 處理站2 處理站3 　　　　 　　　　 江水 　　　　 　　　　 居民點1 居民點2 居民點3 　　先建立一般的數學模型，再求解以下的具體問題： 　　設上游江水流量為10001012l/min，污水濃度為0.8mg/l，三個工廠的污水流量均為51012l/min，污水濃度（從上游到下游排列）分別為100，60，50（mg/l），處理系數均為1萬元/（（1012 l/min）(1mg/l)），3個工廠之間的兩段江面的自凈系數（從上游到下游）分別為0.9，0.6。國家標準規(guī)定的污染濃度不超過1mg/l。 （1）為了使江面上所有地段的水污染達到國家標準，最少需要花費多少費用？ （2）如果只要求三個居民點上游的水污染達到國家標準，最少需要花費多少費用？ 數學模型課程設計 題目24：草原鼠患問題 　 在我國的內蒙古大草原，由于各種人為因素對自然生態(tài)系統的破壞(如過度放牧、大量消滅草原上的狼群等)，造成草原鼠患問題嚴重，并由此引發(fā)了嚴重的生態(tài)問題。 　　老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它們食量巨大，每年都得在洞內外囤積大量牧草。以一個大沙鼠的洞為例，里面經常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力強，在自然界堪稱獨一無二。老鼠對草原危害最大的莫過于它們挖掘洞穴的習性。由于挖掘造成的環(huán)境損失遠遠大于單純的食草所造成的危害。所有鼠害發(fā)生的地方，洞