《（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 專題拓展 7.7 新定義問題（試卷部分）課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 專題拓展 7.7 新定義問題（試卷部分）課件.ppt（160頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

7 7新定義問題 中考數(shù)學(xué) 北京專用 1 2018北京 28 7分 對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M N 給出如下定義 P為圖形M上任意一點 Q為圖形N上任意一點 如果P Q兩點間的距離有最小值 那么稱這個最小值為圖形M N間的 閉距離 記作d M N 已知點A 2 6 B 2 2 C 6 2 1 求d 點O ABC 2 記函數(shù)y kx 1 x 1 k 0 的圖象為圖形G 若d G ABC 1 直接寫出k的取值范圍 3 T的圓心為T t 0 半徑為1 若d T ABC 1 直接寫出t的取值范圍 好題精練 解析 1 如圖1 點O到 ABC上的點的距離的最小值為2 即d 點O ABC 2 圖1 2 k的取值范圍為 1 k 1且k 0 提示 如圖1 y kx k 0 的圖象經(jīng)過原點 在 1 x 1范圍內(nèi) 函數(shù)圖象為線段 當(dāng)y kx 1 x 1 k 0 的圖象經(jīng)過 1 1 時 k 1 此時d G ABC 1 當(dāng)y kx 1 x 1 k 0 的圖象經(jīng)過 1 1 時 k 1 此時d G ABC 1 1 k 1 k 0 1 k 1且k 0 3 t的取值范圍為t 4或0 t 4 2或t 4 2 提示 T與 ABC的位置關(guān)系分三種情況 如圖2 T在 ABC的左側(cè)時 d T ABC 1 此時t 4 T在 ABC的內(nèi)部時 d T ABC 1 此時0 t 4 2 T在 ABC的右側(cè)時 d T ABC 1 此時t 4 2 綜上所述 t 4或0 t 4 2或t 4 2 圖2 解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要從點到點的距離中發(fā)現(xiàn)點到直線的距離和平行線間的距離 2 2017北京 29 8分 對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和圖形M 給出如下定義 若在圖形M上存在一點Q 使得P Q兩點間的距離小于或等于1 則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點 1 當(dāng) O的半徑為2時 在點P1 P2 P3中 O的關(guān)聯(lián)點是 點P在直線y x上 若P為 O的關(guān)聯(lián)點 求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍 2 C的圓心在x軸上 半徑為2 直線y x 1與x軸 y軸分別交于點A B 若AB上的所有點都是 C的關(guān)聯(lián)點 直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍 解析 1 P2 P3 設(shè)直線y x與以原點為圓心 半徑為1和3的兩個圓的交點從左到右依次為D E F G 過點D作DM x軸于點M 如圖1 圖1由可求得點D的橫坐標(biāo)為 同理 可求得點E F G的橫坐標(biāo)分別為 當(dāng)點P與原點重合時 對于 O上任意一點Q 均有PQ 2 1 不符合題意 當(dāng)點P與原點不重合時 設(shè)射線OP與 O的交點為Q i 當(dāng)01 此時P不是 O的關(guān)聯(lián)點 圖2 ii 當(dāng)1 OP 3時 如圖3 PQ OP OQ 1 此時P是 O的關(guān)聯(lián)點 圖3 iii 當(dāng)OP 3時 如圖4 圖4 對于 O上任意一點Q 總有PQ OP OQ OP OQ PQ 1 此時P不是 O的關(guān)聯(lián)點 綜上所述 當(dāng)P為 O的關(guān)聯(lián)點時 1 OP 3 點P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍是 xP 或 xP 2 圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍是 2 xC 1 或2 xC 2 提示 由 1 可知 線段AB上的點均滿足 與圓心C的距離大于等于1 且小于等于3 以下為臨界情況 如圖a C1E AB 且C1E 1 此時點C1的橫坐標(biāo)為1 圖a 如圖b C2A 3 此時點C2的橫坐標(biāo)為 2 圖b如圖c AC3 1 此時點C3的橫坐標(biāo)為2 圖c 如圖d C4B 3 此時點C4的橫坐標(biāo)為2 圖d易知點C在線段C1C2和C3C4上滿足題意 圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍是 2 xC 1 或2 xC 2 3 2015北京 29 8分 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 C的半徑為r P是與圓心C不重合的點 點P關(guān)于 C的反稱點的定義如下 若在射線CP上存在一點P 滿足CP CP 2r 則稱P 為點P關(guān)于 C的反稱點 下圖為點P及其關(guān)于 C的反稱點P 的示意圖 特別地 當(dāng)點P 與圓心C重合時 規(guī)定CP 0 1 當(dāng) O的半徑為1時 分別判斷點M 2 1 N T 1 關(guān)于 O的反稱點是否存在 若存在 求其坐標(biāo) 點P在直線y x 2上 若點P關(guān)于 O的反稱點P 存在 且點P 不在x軸上 求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍 2 C的圓心在x軸上 半徑為1 直線y x 2與x軸 y軸分別交于點A B 若線段AB上存在 點P 使得點P關(guān)于 C的反稱點P 在 C的內(nèi)部 求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍 解析 1 點M關(guān)于 O的反稱點不存在 點N關(guān)于 O的反稱點存在 坐標(biāo)為 點T關(guān)于 O的反稱點存在 坐標(biāo)為 0 0 如圖1 直線y x 2與x軸 y軸分別交于點E 2 0 點F 0 2 設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x i 當(dāng)點P在線段EF上 即0 x 2時 1 OP 2 在射線OP上一定存在一點P 使得OP OP 2 點P關(guān)于 O的反稱點存在 其中點P與點E或點F重合時 OP 2 點P關(guān)于 O的反稱點為O 不符合題意 02時 OP 2 對于射線OP上任意一點P 總有OP OP 2 點P關(guān)于 O的反稱點不存在 綜上所述 點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是0 x 2 圖1 2 若線段AB上存在點P 使得點P關(guān)于 C的反稱點P 在 C的內(nèi)部 則1 CP 2 依題意可知 點A的坐標(biāo)為 6 0 點B的坐標(biāo)為 0 2 BAO 30 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為 x 0 當(dāng)x 6時 過點C作CH AB于點H 如圖2 0 CH CP 2 0 CA 4 0 6 x 4 2 x 6 并且 當(dāng)2 x2 CH 2 在線段AB上一定存在點P 使得CP 2 此時點P關(guān)于 C的反稱點為C 且點C在 C的內(nèi)部 2 x2 CA 2 在線段AB上一定存在一點P 使得CP 2 此時點P關(guān)于 C的反稱點為C 且點C在 C的內(nèi)部 6 x 8 綜上所述 圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍是2 x 8 思路點撥根據(jù)反稱點的定義可知 當(dāng)一點到圓心的距離大于半徑的2倍時 此點無反稱點 所以要確定一點有沒有反稱點 先要求出它到圓心的距離 解題關(guān)鍵 1 要準(zhǔn)確理解 反稱點 的含義 2 通過具體實例加深對 反稱點 的理解 3 運用運動變化 分類討論的思想解決較復(fù)雜的問題 4 2014北京 25 8分 對某一個函數(shù)給出如下定義 若存在實數(shù)M 0 對于任意的函數(shù)值y 都滿足 M y M 則稱這個函數(shù)是有界函數(shù) 在所有滿足條件的M中 其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值 例如 下圖中的函數(shù)是有界函數(shù) 其邊界值是1 1 分別判斷函數(shù)y x 0 和y x 1 4a 的邊界值是2 且這個函數(shù)的最大值也是2 求b的取值范圍 3 將函數(shù)y x2 1 x m m 0 的圖象向下平移m個單位 得到的函數(shù)的邊界值是t 當(dāng)m在什么范圍時 滿足 t 1 解析 1 y x 0 不是有界函數(shù) y x 1 4a y隨x的增大而減小 y的最大值是 a 1 y的最小值是 b 1 函數(shù)的最大值是2 a 1 又 函數(shù)的邊界值是2 b 1 2 b 3 1 b 3 3 由題意知 函數(shù)平移后的表達式為y x2 m 1 x m m 0 當(dāng)x 1時 y 1 m 當(dāng)x 0時 y m 當(dāng)x m時 y m2 m 根據(jù)二次函數(shù)的對稱性 當(dāng)0 m 1時 1 m m2 m 當(dāng)m 1時 1 m1時 由題意知 邊界值t m 不存在滿足 t 1的m值 綜上所述 當(dāng)0 m 或 m 1時 滿足 t 1 5 2013北京 25 8分 對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和 C 給出如下定義 若 C上存在兩個點A B 使得 APB 60 則稱P為 C的關(guān)聯(lián)點 已知點D E 0 2 F 2 0 1 當(dāng) O的半徑為1時 在點D E F中 O的關(guān)聯(lián)點是 過點F作直線l交y軸正半軸于點G 使 GFO 30 若直線l上的點P m n 是 O的關(guān)聯(lián)點 求m的取值范圍 2 若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點 求這個圓的半徑r的取值范圍 解析 1 D E 當(dāng)OP 2時 過點P向 O作兩條切線PA PB A B為切點 則 APB 60 點P為 O的關(guān)聯(lián)點 事實上 當(dāng)0 OP 2時 點P是 O的關(guān)聯(lián)點 當(dāng)OP 2時 點P不是 O的關(guān)聯(lián)點 F 2 0 且 GFO 30 OGF 60 OF 2 OG 2 如圖 以O(shè)為圓心 OG為半徑作圓 設(shè)該圓與l的另一個交點為M 當(dāng)點P在線段GM上時 OP 2 點P是 O的關(guān)聯(lián)點 當(dāng)點P在線段GM的延長線或反向延長線上時 OP 2 點P不是 O的關(guān)聯(lián)點 連接OM 可知 GOM為等邊三角形 過點M作MN x軸于點N 可得 MON 30 ON 0 m 2 設(shè)該圓圓心為C 根據(jù) 可得 若點P是 C的關(guān)聯(lián)點 則0 PC 2r 由題意知 點E F都是 C的關(guān)聯(lián)點 EC 2r FC 2r EC FC 4r 又 EC FC EF 當(dāng)點C在線段EF上時 等號成立 4r EF E 0 2 F 2 0 EF 4 r 1 事實上 當(dāng)點C是EF的中點時 對所有r 1的 C 線段EF上的所有點都是 C的關(guān)聯(lián)點 綜上所述 r 1 6 2018北京東城一模 28 給出如下定義 對于 O的弦MN和 O外一點P M O N三點不共線 且P O在直線MN的異側(cè) 當(dāng) MPN MON 180 時 稱點P是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點 圖1是點P為線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點的示意圖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 O的半徑為1 1 如圖2 M N 在A 1 0 B 1 1 C 0 三點中 是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點的是 2 如圖3 M 0 1 N 點D是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點 MDN的大小為 在第一象限內(nèi)有一點E m m 點E是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點 判斷 MNE的形狀 并直接寫出點E的坐標(biāo) 點F在直線y x 2上 當(dāng) MFN MDN時 求點F的橫坐標(biāo)xF的取值范圍 解析 1 C 2 60 MNE是等邊三角形 點E的坐標(biāo)為 1 直線y x 2交y軸于點K 0 2 交x軸于點T 2 0 OK 2 OT 2 OKT 60 作OG KT于點G 連接MG NG M 0 1 OM 1 M為OK的中點 又在Rt OKG中 KG OK 1 MKG為等邊三角形 MG MK OM 1 MGO MOG 30 OG G MON 120 GON 90 又OG ON 1 OGN 30 MGN 60 G是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點 由 知點E 1 也是線段MN關(guān)于點O的關(guān)聯(lián)點 經(jīng)驗證 點E 1 在直線y x 2上 結(jié)合圖象可知 當(dāng)點F在線段GE上時 符合題意 xG xF xE xF 7 2018北京西城一模 28 對于平面內(nèi)的 C和 C外一點Q 給出如下定義 若過點Q的直線與 C存在公共點 記為點A B 設(shè)k 則稱點A 或點B 是 C的 k相關(guān)依附點 特別地 當(dāng)點A和點B重合時 規(guī)定AQ BQ k 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中 Q 1 0 C 1 0 C的半徑為r 1 如圖 當(dāng)r 時 若A1 0 1 是 C的 k相關(guān)依附點 則k的值為 A2 1 0 是不是 C的 2相關(guān)依附點 答 選 是 或 否 2 若 C上存在 k相關(guān)依附點 M 當(dāng)r 1 直線QM與 C相切時 求k的值 當(dāng)k 時 求r的取值范圍 3 若存在r使得直線y x b與 C有公共點 且公共點是 C的 相關(guān)依附點 直接寫出b的取值范圍 解析 1 是 2 如圖1 當(dāng)r 1時 不妨設(shè)直線QM與 C相切的切點M在x軸上方 切點M在x軸下方時同理 連接CM 則QM CM 圖1 Q 1 0 C 1 0 r 1 CQ 2 CM 1 MQ 此時k 如圖2 若直線QM與 C不相切 設(shè)直線QM與 C的另一個交點為N 不妨設(shè)點M N均在x軸上方 且QNQM 點N M在x軸下方時同理 作CD QM于點D 則MD ND 圖2 MQ NQ MN NQ NQ 2ND 2NQ 2DQ CQ 2 k DQ 當(dāng)k 時 DQ 此時CD 1 r 1 假設(shè) C經(jīng)過點Q 此時r 2 點Q在 C外 r的取值范圍是1 r 2 3 1 b 3 8 2018北京海淀一模 28 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 對于點P和 C 給出如下定義 若 C上存在一點T 不與O重合 使點P關(guān)于直線OT的對稱點P 在 C上 則稱P為 C的反射點 C的反射點P的示意圖如圖所示 1 已知點A的坐標(biāo)為 1 0 A的半徑為2 在點O 0 0 M 1 2 N 0 3 中 A的反射點是 點P在直線y x上 若P為 A的反射點 求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍 2 C的圓心在x軸上 半徑為2 y軸上存在點P是 C的反射點 直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍 解析 1 A的反射點是M N 設(shè)直線y x與以原點為圓心 1和3為半徑的兩個圓的交點從左至右依次為D E F G 過點D作DH x軸于點H 如圖 可求得點D的橫坐標(biāo)為 同理可求得點E F G的橫坐標(biāo)分別為 點P是 A的反射點 則 A上存在一點T 使點P關(guān)于直線OT的對稱點P 在 A上 則OP OP 1 OP 3 1 OP 3 反之 若1 OP 3 A上存在點Q 使得OP OQ 故線段PQ的垂直平分線經(jīng)過原點 且與 A相交 因此點P是 A的反射點 點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是 x 或 x 2 圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍是 4 x 4 提示 OT與y軸正半軸的夾角 POT越小 則OP 與OC的夾角 COP 越大 當(dāng)OP 與圓C相切時 COP 最大 如圖 此時 COP COT POT 又因為 POT COT 90 所以3 COT 90 COT 30 又圓C的半徑為2 故此時OC為4 當(dāng)圓在y軸左側(cè)時同理 故圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍是 4 x 4 9 2018北京朝陽一模 28 對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和線段AB 其中A t 0 B t 2 0 給出如下定義 若在線段AB上存在一點Q 使得P Q兩點間的距離小于或等于1 則稱P為線段AB的伴隨點 1 當(dāng)t 3時 在點P1 1 1 P2 0 0 P3 2 1 中 線段AB的伴隨點是 在直線y 2x b上存在線段AB的伴隨點M N 且MN 求b的取值范圍 2 線段AB的中點關(guān)于點 2 0 的對稱點是C 將射線CO以點C為中心 順時針旋轉(zhuǎn)30 得到射線l 若射線l上存在線段AB的伴隨點 直接寫出t的取值范圍 解析 1 線段AB的伴隨點是P2 P3 如圖1 當(dāng)直線y 2x b經(jīng)過點 3 1 時 b 5 此時b取得最大值 如圖2 當(dāng)直線y 2x b經(jīng)過點 1 1 時 b 3 此時b取得最小值 b的取值范圍是3 b 5 2 t的取值范圍是 t 2 提示 線段AB中點的坐標(biāo)是 t 1 0 關(guān)于點 2 0 的對稱點C的坐標(biāo)為 3 t 0 根據(jù)30 角和伴隨點定義可知 當(dāng)點B在射線左側(cè)時 點B橫坐標(biāo)的最小值為1 t 令1 t t 2 得t 當(dāng)點A在射線右側(cè)時 點A橫坐標(biāo)的最大值為 3 t 1 令3 t 1 t 得t 2 所以t的取值范圍是 t 2 10 2018北京豐臺一模 28 對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點M和圖形W1 W2 給出如下定義 點P為圖形W1上一點 點Q為圖形W2上一點 當(dāng)點M是線段PQ的中點時 稱點M是圖形W1 W2的 中立點 如果點P x1 y1 Q x2 y2 那么 中立點 M的坐標(biāo)為 已知 點A 3 0 B 0 4 C 4 0 1 連接BC 在點D E 0 1 F中 可以成為點A和線段BC的 中立點 的是 2 已知點G 3 0 G的半徑為2 如果直線y x 1上存在點K可以成為點A和 G的 中立點 求點K的坐標(biāo) 3 以點C為圓心 2為半徑作圓 點N為直線y 2x 4上的一點 如果存在點N 使得y軸上的一點可以成為點N與 C的 中立點 直接寫出點N的橫坐標(biāo)xN的取值范圍 解析 1 D F 2 點A和 G的 中立點 在以點O為圓心 1為半徑的圓上 因為點K在直線y x 1上 所以設(shè)點K的坐標(biāo)為 x x 1 則x2 x 1 2 1 解得x1 0 x2 1 所以點K的坐標(biāo)為 0 1 或 1 0 3 6 xN 2 提示 點N與 C的 中立點 在以線段NC的中點P為圓心 1為半徑的圓上 圓P與y軸相切時 符合題意 當(dāng)點P的坐標(biāo)為 1 4 時 yPC x 與y 2x 4聯(lián)立 可解得x 6 當(dāng)點P的坐標(biāo)為 1 0 時 可得xN 2 所以點N的橫坐標(biāo)的取值范圍為 6 xN 2 11 2018北京石景山一模 29 對于平面上兩點A B 給出如下定義 以點A或點B為圓心 AB長為半徑的圓稱為點A B的 確定圓 如圖為點A B的 確定圓 的示意圖 1 已知點A的坐標(biāo)為 1 0 點B的坐標(biāo)為 3 3 則點A B的 確定圓 的面積為 2 已知點A的坐標(biāo)為 0 0 若直線l y x b上只存在一個點B 使得點A B的 確定圓 的面積為9 求點B的坐標(biāo) 3 已知點A在以P m 0 為圓心 1為半徑的圓上 點B在直線y x 上 若要使所有點A B的 確定圓 的面積都不小于9 直接寫出m的取值范圍 解析 1 25 2 直線l y x b上只存在一個點B 使得點A B的 確定圓 的面積為9 A的半徑AB 3且直線l y x b與 A相切于點B 如圖 當(dāng)b 0時 點B在第二象限 過點B作BE x軸于點E 在Rt BEA中 BAE 45 AB 3 BE AE B 當(dāng)b 0時 點B 在第四象限 同理可得B 綜上所述 點B的坐標(biāo)為或 3 m 5或m 11 提示 易得A B兩點間距離的最小值為4 直線y x 與x軸的夾角為30 所以m 3 8或m 3 8 即m 5或m 11 12 2018北京通州一模 28 在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩個點Q x1 y1 與P x2 y2 若Q P為某個直角三角形的兩個銳角頂點 且該直角三角形的直角邊均與x軸或y軸平行 或重合 則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點Q與點P之間的 直距 記作DPQ 特別地 當(dāng)PQ與某條坐標(biāo)軸平行 或重合 時 線段PQ的長即為點Q與點P之間的 直距 例如在下圖中 點P 1 1 點Q 3 2 此時點Q與點P之間的 直距 DPQ 3 1 已知O為坐標(biāo)原點 點A 2 1 B 2 0 則DAO DBO 點C在直線y x 3上 請你求DCO的最小值 2 點E是以原點O為圓心 1為半徑的圓上的一個動點 點F是直線y 2x 4上一個動點 請你直接寫出點E與點F之間 直距 DEF的最小值 解析 1 3 2 設(shè)C x0 y0 則DCO x0 y0 點C在直線y x 3上 x y 3 即x0 y0 3 故DCO為定值3 DCO的最小值為3 2 2 13 2018北京大興一模 28 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 過y軸上一點A作平行于x軸的直線交某函數(shù)圖象于點D 點P是x軸上一動點 連接DP 過點P作DP的垂線交y軸于點E E在線段OA上 E不與點O重合 則稱 DPE為點D P E的 平橫縱直角 圖1為點D P E的 平橫縱直角 的示意圖 圖1 圖2如圖2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知某二次函數(shù)的圖象與y軸交于點F 0 m m 0 與x軸分別交于點B 3 0 C 12 0 若過點F作平行于x軸的直線交該拋物線于點N 1 點N的橫坐標(biāo)為 2 已知一直角為點N M K的 平橫縱直角 若在線段OC上存在不同的兩點M1 M2 使相應(yīng)的點K1 K2都與點F重合 試求m的取值范圍 3 設(shè)拋物線的頂點為點Q 連接BQ與FN交于點H 當(dāng)45 QHN 60 時 求m的取值范圍 解析 1 9 2 解法一 MK MN 要使線段OC上存在不同的兩點M1 M2 使相應(yīng)的點K1 K2都與點F重合 也就是使以FN為直徑的圓與OC有兩個交點 設(shè)以FN為直徑的圓的半徑為r 則r m 0 0 m 解法二 m 0 點K在x軸的上方 過N作NW OC于點W 設(shè)OM x OK y 則CW OC OW 3 WM 9 x 由 MOK NWM 得 y x2 x 令y m 則m x2 x 化為x2 9x m2 0 由題意可得方程x2 9x m2 0有兩個不同的實數(shù)解 9 2 4m2 0 得 m 0 0 m 3 設(shè)拋物線的表達式為y a x 3 x 12 a 0 拋物線過點F 0 m m 36a a m y m x 3 x 12 m m 過點Q作QG x軸于點G 與FN交于點R FN x軸 QRH 90 tan BQG QG m BG tan BQG 又45 QHN 60 30 BQG 45 當(dāng) BQG 30 時 可求得m 當(dāng) BQG 45 時 可求得m m的取值范圍為 m 14 2018北京順義一模 28 如圖1 對于平面內(nèi)的點P和兩條曲線L1 L2 給出如下定義 若從點P任意引出一條射線分別與L1 L2交于Q1 Q2 總有是定值 我們稱曲線L1與L2曲似 定值為曲似比 點P為曲心 圖1例如 如圖2 以點O 為圓心 r1 r2 都是常數(shù) 分別為半徑的兩個同心圓C1 C2 從點O 任意引出一條射線分別與兩圓交于點M N 因為總有 是定值 所以同心圓C1與C2曲似 曲似比為 曲心為O 圖2 圖3 1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 直線y kx與拋物線y x2 y x2分別交于點A B 如圖3所示 試判斷兩拋物線是否曲似 并說明理由 2 在 1 的條件下 以O(shè)為圓心 OA為半徑作圓 過點B作x軸的垂線 垂足為C 是否存在k值 使 O與直線BC相切 若存在 求出k的值 若不存在 說明理由 3 在 1 2 的條件下 若將 y x2 改為 y x2 其他條件不變 當(dāng)存在 O與直線BC相切時 直接寫出m的取值范圍及k與m之間的關(guān)系式 解析 1 是 過點A B作x軸的垂線 垂足分別為D C 依題意可得A k k2 B 2k 2k2 因此D k 0 C 2k 0 AD x軸 BC x軸 AD BC 兩拋物線曲似 曲似比是 2 假設(shè)存在k值使 O與直線BC相切 則OA OC 2k 又 OD k AD k2 并且OD2 AD2 OA2 k2 k2 2 2k 2 解得k 即存在滿足條件的k 且k 3 m的取值范圍是m 1 k與m之間的關(guān)系式為k2 m2 1 15 2018北京房山一模 28 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 當(dāng)圖形W上的點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時 則稱點P為圖形W的 夢之點 1 已知 O的半徑為1 在點E 1 1 F M 2 2 中 O的 夢之點 為 若點P位于 O內(nèi)部 且為雙曲線y k 0 的 夢之點 求k的取值范圍 2 已知點C的坐標(biāo)為 1 t C的半徑為 若在 C上存在 夢之點 P 直接寫出t的取值范圍 3 若二次函數(shù)y ax2 ax 1的圖象上存在兩個 夢之點 A x1 y1 B x2 y2 且 x1 x2 2 求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo) 解析 1 F O的半徑為1 O的 夢之點 坐標(biāo)為和 又 雙曲線y k 0 與直線y x的交點即為雙曲線的 夢之點 將代入雙曲線表達式中 得k xy 點P位于 O內(nèi)部 0 k 2 1 t 3 3 由 夢之點 的定義可得A x1 x1 B x2 x2 令x ax2 ax 1 整理得 ax2 a 1 x 1 0 解得x1 1 x2 把兩個根代入 x1 x2 2中 得 2 解得a1 1 a2 當(dāng)a 1時 y x2 x 1 其圖象的頂點坐標(biāo)為 當(dāng)a 時 y x2 x 1 其圖象的頂點坐標(biāo)為 16 2018北京平谷一模 28 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 點M的坐標(biāo)為 x1 y1 點N的坐標(biāo)為 x2 y2 且x1 x2 y1 y2 以MN為邊構(gòu)造菱形 若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸 y軸 則稱該菱形是以MN為邊的 坐標(biāo)菱形 1 已知點A 2 0 B 0 2 則以AB為邊的 坐標(biāo)菱形 的最小內(nèi)角為 2 若點C 1 2 點D在直線y 5上 以CD為邊的 坐標(biāo)菱形 為正方形 求直線CD的表達式 3 O的半徑為 點P的坐標(biāo)為 3 m 若在 O上存在一點Q 使得以QP為邊的 坐標(biāo)菱形 為正方形 直線寫出m的取值范圍 解析 1 60 2 以CD為邊的 坐標(biāo)菱形 為正方形 直線CD與直線y 5的夾角是45 過點C作CE DE于E 則CE DE 3 D 4 5 或 2 5 直線CD的表達式為y x 1或y x 3 3 1 m 5或 5 m 1 提示 17 2018北京朝陽二模 28 對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和直線m 給出如下定義 若存在一點P 使得點P到直線m的距離等于1 則稱P為直線m的平行點 1 當(dāng)直線m的表達式為y x時 在點P1 1 1 P2 0 P3中 直線m的平行點是 O的半徑為 點Q在 O上 若點Q為直線m的平行點 求點Q的坐標(biāo) 2 點A的坐標(biāo)為 n 0 A半徑等于1 若 A上存在直線y x的平行點 直接寫出n的取值范圍 解析 1 P2 P3 由題意可知 直線m的所有平行點組成平行于直線m 且到直線m的距離為1的直線 設(shè)該直線與x軸交于點A 與y軸交于點B 如圖1 當(dāng)點B在原點上方時 作OH AB于點H 可知OH 1 由直線m的表達式為y x 可知 OAB OBA 45 所以O(shè)B 直線AB與 O的交點即為滿足條件的點Q 連接OQ1 作Q1N y軸于點N OQ1 在Rt OHQ1中 可得HQ1 3 所以BQ1 2 在Rt BNQ1中 可求NQ1 NB 所以O(shè)N 2 所以點Q1的坐標(biāo)為 2 同理可得點Q2的坐標(biāo)為 2 如圖2 當(dāng)點B在原點下方時 同理可求得點Q3的坐標(biāo)為 2 點Q4的坐標(biāo)為 2 綜上所述 點Q的坐標(biāo)為 2 2 2 2 2 n 思路分析本題需要明確點到直線的距離是點到直線的垂線段的長度 進而利用90 構(gòu)造直角三角形來解決問題 解題關(guān)鍵解決本題最后一問的關(guān)鍵是要找到臨界平行線 進而借助切線和解直角三角形的知識來確定n的取值范圍 18 2017北京海淀一模 29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 若P Q為某個菱形相鄰的兩個頂點 且該菱形的兩條對角線分別與x軸 y軸平行 則稱該菱形為點P Q的 相關(guān)菱形 下圖為點P Q的 相關(guān)菱形 的一個示意圖 已知點A的坐標(biāo)為 1 4 點B的坐標(biāo)為 b 0 1 若b 3 則R 1 0 S 5 4 T 6 4 中能夠成為點A B的 相關(guān)菱形 頂點的是 2 若點A B的 相關(guān)菱形 為正方形 求b的值 3 B的半徑為 點C的坐標(biāo)為 2 4 若 B上存在點M 在線段AC上存在點N 使點M N的 相關(guān)菱形 為正方形 請直接寫出b的取值范圍 解析 1 R S 2 如圖 點A B的 相關(guān)菱形 為正方形 ABH為等腰直角三角形 點A的坐標(biāo)為 1 4 BH AH 4 b 3或5 3 5 b 0或3 b 8 解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要按照題目要求畫出示意圖 同時要熟練掌握特殊四邊形的判定方法 思路分析要理解相關(guān)菱形與正方形的判定方法 要同時關(guān)注邊和角的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系 19 2017北京東城一模 29 設(shè)平面內(nèi)一點到等邊三角形中心的距離為d 等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r 外接圓半徑為R 對于一個點與等邊三角形 給出如下定義 滿足r d R的點叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 等邊 ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A 0 2 B 1 C 1 1 已知點D 2 2 E 1 F 在D E F中 是等邊 ABC的中心關(guān)聯(lián)點的是 2 如圖1 過點A作直線交x軸正半軸于M 使 AMO 30 若線段AM上存在等邊 ABC的中心關(guān)聯(lián)點P m n 求m的取值范圍 將直線AM向下平移得到直線y kx b 當(dāng)b滿足什么條件時 直線y kx b上總存在等邊 ABC的中心關(guān)聯(lián)點 直接寫出答案 不需要過程 3 如圖2 點Q為直線y 1上一動點 Q的半徑為 當(dāng)Q從點 4 1 出發(fā) 以每秒1個單位長度的速度向右移動 運動時間為t秒 是否存在某一時刻t 使得 Q上所有點都是等邊 ABC的中心關(guān)聯(lián)點 如果存在 請直接寫出所有符合題意的t的值 如果不存在 請說明理由 圖1 圖2 解析 1 E F 2 因為A 0 2 AMO 30 所以M 2 0 可求得直線AM的解析式為y x 2 經(jīng)驗證 E在直線AM上 因為OE OA 2 MAO 60 所以 OAE為等邊三角形 所以AE邊上的高為 當(dāng)點P在AE上時 OP 2 所以當(dāng)點P在AE上時 點P都是等邊 ABC的中心關(guān)聯(lián)點 所以0 m b 2 3 存在 t 4 或4 20 2017北京豐臺一模 29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 對于任意三點A B C 給出如下定義 如果矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行 且A B C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上 則稱該矩形為點A B C的覆蓋矩形 點A B C的所有覆蓋矩形中 面積最小的矩形稱為點A B C的最優(yōu)覆蓋矩形 例如 下圖中的矩形A1B1C1D1 A2B2C2D2 AB3C3D3都是點A B C的覆蓋矩形 其中矩形AB3C3D3是點A B C的最優(yōu)覆蓋矩形 1 已知A 2 3 B 5 0 C t 2 當(dāng)t 2時 點A B C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為 若點A B C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40 求直線AC的表達式 2 已知點D 1 1 E m n 是雙曲線y x 0 上一點 P是點O D E的最優(yōu)覆蓋矩形的外接圓 求出 P的半徑r的取值范圍 解析 1 35 點A B C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40 由定義可知 t 3或6 即點C的坐標(biāo)為 3 2 或 6 2 設(shè)直線AC的表達式為y kx b k 0 或 或 y 5x 13或y x 2 如圖1 當(dāng)OD所在的直線交雙曲線于點E時 易知 P的半徑最小 此時矩形OFEG是點O D E的最優(yōu)覆蓋矩形 圖1 點D 1 1 OD所在直線的表達式為y x 點E的坐標(biāo)為 2 2 OE 2 P的半徑為 如圖2 當(dāng)點E的縱坐標(biāo)為1時 P的半徑最大 由1 解得x 4 圖2連接OE 則OE 此時 P的半徑為 當(dāng)點E的橫坐標(biāo)為1時 過程同上 綜上 r 思路分析理解最優(yōu)覆蓋矩形的含義 同時要通過畫圖觀察如何保證最優(yōu) 解題關(guān)鍵解決本題第 2 問的關(guān)鍵是要能夠發(fā)現(xiàn)最優(yōu)覆蓋矩形 21 2017北京西城一模 29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 若點P和點P1關(guān)于y軸對稱 點P1和點P2關(guān)于直線l對稱 則稱點P2是點P關(guān)于y軸 直線l的二次對稱點 1 如圖1 點A 1 0 若點B是點A關(guān)于y軸 直線l1 x 2的二次對稱點 則點B的坐標(biāo)為 點C 5 0 是點A關(guān)于y軸 直線l2 x a的二次對稱點 則a的值為 點D 2 1 是點A關(guān)于y軸 直線l3的二次對稱點 則直線l3的表達式為 2 如圖2 O的半徑為1 若 O上存在點M 使得點M 是點M關(guān)于y軸 直線l4 x b的二次對稱點 且點M 在射線y x x 0 上 b的取值范圍是 3 E t 0 是x軸上的動點 E的半徑為2 若 E上存在點N 使得點N 是點N關(guān)于y軸 直線l5 y x 1的二次對稱點 且點N 在y軸上 求t的取值范圍 圖1 圖2 解析 1 3 0 2 y x 2 2 b 1 3 將點N關(guān)于y軸的對稱點記為點P 點P和點N 關(guān)于直線l5 y x 1對稱 直線y x 1和y軸關(guān)于直線l5 y x 1對稱 點P在直線y x 1上 直線y x 1和直線y x 1關(guān)于y軸對稱 點N在直線y x 1上 符合題意的點N是y x 1與 E的公共點 i 當(dāng)直線y x 1與 E相離時 則不存在符合題意的點N ii 當(dāng)直線y x 1與 E相切時 如圖所示 則符合題意的點N是直線y x 1與 E的切點 記直線y x 1與x軸交于點R 易知R 0 若點E在點R的左側(cè) 則由E1N1 2 可得RE1 4 OE1 4 t1 4 若點E在點R的右側(cè) 則由E2N2 2 可得RE2 4 OE2 4 t2 4 iii 當(dāng)直線y x 1與 E相交時 由 ii 可知 4 t 4 綜上 t的取值范圍是 4 t 4 22 2017北京順義一模 29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 對于雙曲線y m 0 和雙曲線y n 0 如果m 2n 則稱雙曲線y m 0 和雙曲線y n 0 為 倍半雙曲線 雙曲線y m 0 是雙曲線y n 0 的 倍雙曲線 雙曲線y n 0 是雙曲線y m 0 的 半雙曲線 1 雙曲線y 的 倍雙曲線 是 雙曲線y 的 半雙曲線 是 2 如圖1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知點A是雙曲線y 在第一象限內(nèi)任意一點 過點A且與y軸平行的直線交雙曲線y 的 半雙曲線 于點B 求 AOB的面積 3 如圖2 已知點M是雙曲線y k 0 在第一象限內(nèi)任意一點 過點M與y軸平行的直線交雙曲線y 的 半雙曲線 于點N 過點M與x軸平行的直線交雙曲線y 的 半雙曲線 于點P 若 MNP的面積記為S MNP 且1 S MNP 2 求k的取值范圍 圖1圖2 解析 1 雙曲線y 的 倍雙曲線 是y 雙曲線y 的 半雙曲線 是y 2 雙曲線y 的 半雙曲線 是y AOC的面積為2 BOC的面積為1 AOB的面積為1 3 解法一 依題意可知雙曲線y k 0 的 半雙曲線 為y k 0 設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x x 0 則點M的坐標(biāo)為 點N的坐標(biāo)為 CM CN MN 同理 PM S MNP MN PM 1 S MNP 2 1 2 4 k 8 解法二 依題意可知雙曲線y k 0 的 半雙曲線 為y k 0 設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x x 0 則點M的坐標(biāo)為 點N的坐標(biāo)為 易知點N為MC的中點 點P為MD的中點 連接OM PMN OCM 90 PMN OCM S OCM k S MNP 1 S MNP 2 1 2 4 k 8 思路分析 1 根據(jù) 倍半雙曲線 的定義解題 2 確定反比例函數(shù)解析式 根據(jù)k的幾何意義求解 3 解法一 表示出相關(guān)點的坐標(biāo) 由三角形面積公式得到S MNP 列不等式求出k的范圍 解法二 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出S MNP 再求k的范圍 23 2016北京西城一模 29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 對于點P和圖形W 如果線段OP與圖形W無公共點 則稱點P為關(guān)于圖形W的 陽光點 如果線段OP與圖形W有公共點 則稱點P為關(guān)于圖形W的 陰影點 1 如圖1 已知點A 1 3 B 1 1 連接AB 圖1 在P1 1 4 P2 1 2 P3 2 3 P4 2 1 這四個點中 關(guān)于線段AB的 陽光點 是 線段A1B1 AB A1B1上的所有點都是關(guān)于線段AB的 陰影點 且當(dāng)線段A1B1向上或向下平移時 都會有A1B1上的點成為關(guān)于線段AB的 陽光點 若A1B1的長為4 且點A1在B1的上方 則點A1的坐標(biāo)為 2 如圖2 已知點C 1 C與y軸相切于點D 若 E的半徑為 圓心E在直線l y x 4上 且 E上的所有點都是關(guān)于 C的 陰影點 求點E的橫坐標(biāo)的取值范圍 3 如圖3 M的半徑為3 點M到原點的距離為5 點N是 M上到原點距離最近的點 點Q和T是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個動點 且 M上的所有點都是關(guān)于 NQT的 陰影點 直接寫出 NQT的周長的最小值 解析 1 P1 P4 2 6 2 情況一 如圖 當(dāng) E與y軸相切時 設(shè)切點為F 連接EF E與y軸相切于點F EF y軸 E的半徑為 EF 此時點E的橫坐標(biāo)為 情況二 如圖 設(shè)直線l分別與x軸 y軸交于點G H 連接CD CO 過點O作 C的另一條切線OI 切點為I 直線OI與直線l交于點J 當(dāng) E與直線OI相切時 過點E作EK y軸于點K C與y軸相切于點D CD y軸 點C的坐標(biāo)為 1 tan COD COD 30 C與OI相切于點I COI COD 30 HOJ COI COD 60 直線l y x 4分別與x軸 y軸交于點G H G 4 0 H 0 4 tan OHG OHG 30 OJH 180 HOJ OHJ 90 HG OJ E與直線OJ相切 切點為點J EJ 在Rt OHJ中 HJ OH cos OHJ 6 HE HJ EJ KE HE 此時點E的橫坐標(biāo)為 可知 點E在直線l上 從情況一中的位置運動到情況二中的位置時 都滿足題意 所以點E的橫坐標(biāo)的取值范圍是 xE 3 詳解 連接OM與 M的交點即為點N 作圓M的切線OH OI 切點為H I 連接MH MI 分別作N關(guān)于OH OI的對稱點N N 連接N N 分別交OH OI于Q T 連接NQ NT 此時 NQT的周長最小 由OM 5 MI MN 3 可得OI 4 ON 2 由 OMI ONJ 可得NJ 所以NN OMI KNN sin KNN sin OMI KN N N NQT的周長最小值為 思路分析 1 根據(jù)新定義判斷 用相似解決 2 分情況討論 以臨界點為突破口 3 在 2 的基礎(chǔ)上利用對稱求最短距離 解題關(guān)鍵第一要準(zhǔn)確理解 陽光點 陰影點 的概念 第二熟練應(yīng)用相似的相關(guān)知識 第三能根據(jù)新定義畫出符合題意的圖形 并進行計算 24 2016北京海淀一模 29 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 C的半徑為r P是與圓心C不重合的點 點P關(guān)于 C的限距點的定義如下 若P 為直線PC與 C的一個交點 滿足r PP 2r 則稱P 為點P關(guān)于 C的限距點 下圖為點P及其關(guān)于 C的限距點P 的示意圖 1 當(dāng) O的半徑為1時 分別判斷點M 3 4 N T 1 關(guān)于 O的限距點是否存在 若存在 求其坐標(biāo) 點D的坐標(biāo)為 2 0 DE DF分別切 O于點E 點F 點P在 DEF的邊上 若點P關(guān)于 O的限距點P 存在 求點P 的橫坐標(biāo)的取值范圍 2 保持 1 中D E F三點不變 點P在 DEF的邊上沿E F D E的方向運動 C的圓心C的坐標(biāo)為 1 0 半徑為r 請從下面兩個問題中任選一個作答 解析 1 點M 點T關(guān)于 O的限距點不存在 點N關(guān)于 O的限距點存在 坐標(biāo)為 1 0 點D的坐標(biāo)為 2 0 O的半徑為1 DE DF分別切 O于點E 點F 切點坐標(biāo)為 如圖所示 不妨設(shè)點E的坐標(biāo)為 點F的坐標(biāo)為 連接EO FO EO FO的延長線分別交 O于點E F 則E F 設(shè)點P關(guān)于 O的限距點的橫坐標(biāo)為x a 當(dāng)點P在線段EF 包括端點 上時 直線PO與的交點P 滿足1 PP 2 故點P關(guān)于 O的限距點存在 其橫坐標(biāo)x滿足 1 x b 當(dāng)點P在線段DE DF 不包括端點 上時 直線PO與 O的交點P 滿足0 PP 1或2 PP 3 故點P關(guān)于 O的限距點不存在 c 當(dāng)點P與點D重合時 直線PO與 O的交點P 1 0 滿足PP 1 故點P關(guān)于 O的限距點存在 其橫坐標(biāo)x 1 綜上所述 點P關(guān)于 O的限距點的橫坐標(biāo)x的范圍為 1 x 或x 1 2 問題1 問題2 0 r 問題1 若點P在圓C的外部 且P的限距點P 存在 則r PP 2r 2r CP 3r P 隨點P的運動所形成的路徑長為 r 且 DEF為等邊三角形 P在一邊上運動 P 隨之運動所形成的路徑長為 r r n 60 當(dāng)CP 3r時 C到DE的距離為 r r的最小值為 問題2 當(dāng)3r 即r 時 P關(guān)于 C的限距點P 不存在 1 2018江西 23 12分 小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時 經(jīng)歷了如下過程 求解體驗 1 已知拋物線y x2 bx 3經(jīng)過點 1 0 則b 頂點坐標(biāo)為 該拋物線關(guān)于點 0 1 成中心對稱的拋物線表達式是 抽象感悟我們定義 對于拋物線y ax2 bx c a 0 以y軸上的點M 0 m 為中心 作該拋物線關(guān)于點M對稱的拋物線y 則我們又稱拋物線y 為拋物線y的 衍生拋物線 點M為 衍生中心 2 已知拋物線y x2 2x 5關(guān)于點 0 m 的衍生拋物線為y 若這兩條拋物線有交點 求m的取值范圍 問題解決 3 已知拋物線y ax2 2ax b a 0 若拋物線y的衍生拋物線為y bx2 2bx a2 b 0 兩拋物線有兩個交點 且恰好是它們的頂點 求a b的值及衍生中心的坐標(biāo) 若拋物線y關(guān)于點 0 k 12 的衍生拋物線為y1 其頂點為A1 關(guān)于點 0 k 22 的衍生拋物線為y2 教師專用題組 其頂點為A2 關(guān)于點 0 k n2 的衍生拋物線為yn 其頂點為An n為正整數(shù) 求AnAn 1的長 用含n的式子表示 備用圖 解析 1 4 2 1 y x 2 2 1 或y x2 4x 5 2 易知拋物線y x2 2x 5的頂點坐標(biāo)為 1 6 且點 1 6 關(guān)于點 0 m 的對稱點為 1 2m 6 衍生拋物線的解析式為y x 1 2 2m 6 由y x 1 2 6 y x 1 2 2m 6 y y 得x2 m 5 0 即x2 5 m 當(dāng)5 m 0 即m 5時 方程有解 m的取值范圍為m 5 3 拋物線y ax2 2ax b的頂點為 1 a b 拋物線y bx2 2bx a2的頂點為 1 b a2 由兩拋物線的交點恰好是它們的頂點 得a2 3a 0 a2 a 4b 0 解得a1 0 b1 0 舍去 a2 3 b2 3 拋物線y的頂點為 1 0 拋物線y 的頂點為 1 12 兩拋物線的衍生中心坐標(biāo)為 0 6 y ax2 2ax b a x 1 2 a b y1 a x 1 2 2k 2 a b 頂點A1為 1 2k 2 a b y2 a x 1 2 2k 8 a b 頂點A2為 1 2k 8 a b yn a x 1 2 2k 2n2 a b 頂點An為 1 2k 2n2 a b yn 1 a x 1 2 2k 2 n 1 2 a b 頂點An 1為 1 2k 2 n 1 2 a b AnAn 1 2k 2 n 1 2 a b 2k 2n2 a b 2 n 1 2 2n2 4n 2 思路分析 1 將 1 0 代入拋物線y x2 bx 3求得b值 將拋物線解析式配方得出頂點坐標(biāo) 先求出頂點坐標(biāo)關(guān)于點 0 1 成中心對稱的對應(yīng)點坐標(biāo) 再根據(jù)開口方向相反求得該拋物線關(guān)于點 0 1 成中心對稱的拋物線表達式 2 首先確定拋物線y x2 2x 5關(guān)于點 0 m 的衍生拋物線y 然后聯(lián)立兩個解析式得出x2 5 m 若這兩條拋物線有交點 則5 m 0 從而得出m的取值范圍 3 先求出拋物線y ax2 2ax b a 0 的頂點 1 a b 拋物線y的衍生拋物線y bx2 2bx a2 b 0 的頂點 1 b a2 依據(jù)兩拋物線有兩個交點 且恰好是它們的頂點 把 1 a b 代入y bx2 2bx a2 b 0 把 1 b a2 代入y ax2 2ax b a 0 得出a2 a 4b 0和a2 3a 0 解得a和b值 進而得出衍生中心的坐標(biāo) 先求出頂點A1 A2的坐標(biāo) 進一步發(fā)現(xiàn)頂點An的坐標(biāo) 根據(jù)頂點橫坐標(biāo)相同這一特點求出AnAn 1的長 方法指導(dǎo)數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系 就是把抽象的數(shù)學(xué)語言 數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形 位置關(guān)系結(jié)合起來 通過 以形助數(shù) 或 以數(shù)解形 即抽象思維與形象思維的結(jié)合 使復(fù)雜問題簡單化 抽象問題具體化 從而起到優(yōu)化解題途徑的目的 2 2018重慶 25 10分 對任意一個四位數(shù)n 如果千位與十位上的數(shù)字之和為9 百位與個位上的數(shù)字之和也為9 則稱n為 極數(shù) 1 請任意寫出三個 極數(shù) 并猜想任意一個 極數(shù) 是不是99的倍數(shù) 請說明理由 2 如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的平方 則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù) 若四位數(shù)m為 極數(shù) 記D m 求滿足D m 是完全平方數(shù)的所有m 解析 1 4158 6237 9900 2分 任意一個 極數(shù) 是99的倍數(shù) 理由 設(shè)任意一個 極數(shù) n的千位數(shù)字為x 百位數(shù)字為y 其中1 x 9 0 y 9 且x y為整數(shù) 則十位上的數(shù)字為9 x 個位上的數(shù)字為9 y 則這個數(shù)可以表示為n 1000 x 100y 10 9 x 9 y 化簡 得n 990 x 99y 99 99 10 x y 1 1 x 9 0 y 9 且x y為整數(shù) 10 x y 1為整數(shù) 任意一個 極數(shù) 都是99的倍數(shù) 4分 2 由 1 可知 設(shè)任意一個 極數(shù) m的千位數(shù)字為x 百位數(shù)字為y 其中1 x 9 0 y 9 且x y為整數(shù) 則 極數(shù) m可表示為m 99 10 x y 1 D m 3 10 x y 1 5分 1 x 9 0 y 9 11 10 x y 1 100 33 3 10 x y 1 300 D m 為完全平方數(shù)且D m 是3的倍數(shù) D m 36或81或144或225 6分 當(dāng)D m 36時 得10 x y 11 解得x 1 y 1 此時 m 1188 當(dāng)D m 81時 得10 x y 26 解得x 2 y 6 此時 m 2673 當(dāng)D m 144時 得10 x y 47 解得x 4 y 7 此時 m 4752 當(dāng)D m 225時 得10 x y 74 解得x 7 y 4 此時 m 7425 綜上 滿足條件的m為1188 2673 4752 7425 10分 思路分析 1 設(shè) 極數(shù) n的千位數(shù)字為x 百位數(shù)字為y 則極數(shù)n 1000 x 100y 10 9 x 9 y 化簡得n 99 10 x y 1 顯然是99的倍數(shù) 2 根據(jù) 1 得出的極數(shù)m 99 10 x y 1 進而得出D m 3 10 x y 1 進一步得出D m 的取值范圍 根據(jù)完全平方數(shù)的定義推出D m 36或81或144或225 最后得出極數(shù)m的值 易錯警示易忽略x y的取值范圍及所得關(guān)系式的自身特征而致錯 3 2017江西 23 12分 我們定義 如圖1 在 ABC中 把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 0 180 得到AB 把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) 得到AC 連接B C 當(dāng) 180 時 我們稱 AB C 是 ABC的 旋補三角形 AB C 邊B C 上的中線AD叫做 ABC的 旋補中線 點A叫做 旋補中心 特例感知 1 在圖2 圖3中 AB C 是 ABC的 旋補三角形 AD是 ABC的 旋補中線 如圖2 當(dāng) ABC為等邊三角形時 AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD BC 如圖3 當(dāng) BAC 90 BC 8時 則AD長為 猜想論證 2 在圖1中 當(dāng) ABC為任意三角形時 猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系 并給予證明 拓展應(yīng)用 3 如圖4 在四邊形ABCD中 C 90 D 150 BC 12 CD 2 DA 6 在四邊形內(nèi)部是否存在點P 使 PDC是 PAB的 旋補三角形 若存在 給予證明 并求 PAB的 旋補中線 長 若不存在 說明理由 圖4 解析 1 4 2 猜想 AD BC 證明 證法一 如圖 延長AD至E 使DE AD 連接B E C E AD是 ABC的 旋補中線 B D C D 四邊形AB EC 是平行四邊形 EC B A EC B A AC E B AC 180 由定義可知 B AC BAC 180 B A BA AC AC AC E BAC EC BA AC E CAB AE CB AD AE AD BC 證法二 如圖 延長B A至F 使AF B A 連接C F B AC C AF 180 由定義可知 B AC BAC 180 B A BA AC AC CAB C AF AB AF ABC AFC BC FC B D C D B A AF AD是 B FC 的中位線 AD FC AD BC 證法三 如圖 將 AB C 繞點A順時針旋轉(zhuǎn) C AC的度數(shù) 得到 AEC 此時AC 與AC重合 設(shè)D的對應(yīng)點為D 連接AD 由定義可知 B AC BAC 180 由旋轉(zhuǎn)得 B AC EAC BAC EAC 180 E A B三點在同一直線上 AB AB AE ED D C AD 是 EBC的中位線 AD BC AD BC 3 存在 如圖 以AD為邊在四邊形ABCD的內(nèi)部作等邊 PAD 連接PB PC 延長BP交AD于點F 則有 ADP APD 60 PA PD AD 6 CDA 150 CDP 90 過點P作PE BC于點E 易知四邊形PDCE為矩形 CE PD 6 tan 1 1 30 2 60 PE BC 且易知BE EC PC PB 3 2 60 APD BPC 60 120 180 又PA PD PB PC PDC是 PAB的 旋補三角形 3 60 DPE 90 DPF 30 ADP 60 BF AD AF AD 3 PF AD 3 在Rt PBE中 PB 4 BF PB PF 7 在Rt ABF中 AB 2 PDC是 PAB的 旋補三角形 由 2 知 PAB的 旋補中線 長為AB 求解 旋補中線 補充解法如下 如圖 分別延長AD BC相交于點G ADC 150 BCD 90 GDC 30 GCD 90 在Rt GDC中 GD 2 4 GC GD 2 GA 6 4 10 GB 2 12 14 過A作AH GB交GB于點H 在Rt GAH中 AH GA sin60 10 5 GH AG 5 HB GB GH 14 5 9 在Rt ABH中 AB 2 PDC是 PAB的 旋補三角形 由 2 知 PAB的 旋補中線 長為AB 4 2016重慶 24 10分 我們知道 任意一個