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習 題 一 （A） 1．解下列不等式，并用區(qū)間表示不等式的解集： （1）x-4<7； （3） （5） （2）1x-2<3； x-a0)； （4）（6）ax-x00)； x2-x-6>0； x2+x-20． 解： .j即(-3,11). 1)由題意去掉絕對值符號可得：-70,x>3或x<-2即(- ， 6）由題意原不等式可化為(x+2)(x-1)0,解得-2x1.既[-2 , 1]. ２．判斷下列各對函數是否相同，說明理由： （1）y=x與y=10lgx； （3）y=arcsin(sinx)與y=x； （2）y=+cos2x與2cosx； （4）y=tan(arctanx)與y=x； 1+x（5）y=lg(x2-1)與y=lg(x+1)+lg(x-1)； （6）y=lg1-x與x=lg(1-x)-lg(1+x)． 解：1)不同，因前者的定義域為(- , +)，后者的定義域為(0 , +)； 2)不同,因為當x k--U((2k+2)p , (2k+2)p)時， 22+13 1+cos2x>0,而2cosx<0； 3）不同，因為只有在[-p, p]上成立； 4）相同； 5)不同，因前者的定義域為(- , -1)(1 , +))，后者的定義域為(1 , +)； 6）相同 3．求下列函數的定義域（用區(qū)間表示）： （1） y= lg(4-x)x-1 ； （2） y= lg 5x-x2 4 ； （3）y=（5）y= 1-x1+x 2 ； （4）y= ； （6）y=3 x-2+ 1 1 +lg(5-x)； x-3 x-4x+3 x - 11-lgx ； （7）y= 解： 12x +arccoslg 1-x ； （8） 2x-1y= x2-x-6 ． 1)原函數若想有意義必須滿足 (- , -1)(1 , 4) x-1>0 和 4-x>0 可解得 x<-1 10,可解得 00 x-1x2-4x+30 5)原函數若想有意義必須滿足,可解得 ,即(- , 1][ 3 , + ). x3(x-3)(x-1)0 x>0 0101-lgx0 7)原函數若想有意義必須滿足1-102x0可解得00, 2x-1 1可解得[ -3 , -2 ]( 3 , 4 )7 . 4．求下列分段函數的定義域及指定的函數值，并畫出它們的圖形： （1）y= -x2, 2 x<33x<4 x-1, ，求y(0) , y(3)； （2） 解： 1x<0x,y=x-3 ,0x1-2x+1 ,1 解:C； ∵ f(a)+f(b) Ｄ．f(a+b)>f(a)+f(b)a+bf(a+b)f(a)f(a+b)f(b)<2 ∴f(a+b)< 10．指出下列函數的奇偶性： （1）sinx+cosx； （2）xx x4-1+tanx； ； x<0 ，1-x ， 1+x , x0 .（3）lg( x+1-x)；2 （4）ax+a-xa-a（5）coslgx； （6）f(x)= 解：1）偶函數；f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=sinx+cosx=-xxf(x) 2）奇函數；f(-x)=-x 3）奇函數；f(-x)=1g(x4-1+tan(-x)=xx4-1+tan(x)=-f(x) x2+1+x)=1g1 x+1-x2=-f(x) 4）奇函數；f(-x)=a-x+ax a-x-ax=-f(x) 5）非奇非偶函數；f(x)定義域不關于原點對稱 6）偶函數. 1+x x<0 f(-x)=1-x x0 11．判別下列函數是否是周期函數，若是則求出其周期： （1）sin2x； （2）3-sin4x； （3）xcosx； （3）2cosx-3sinx. 23 解：1）是周期函數，因為sin2(x+p)=sin2x ,所以周期T=p。 2）是周期函數，因為3-sin4(x+p)4=3-sin4x，所以周期T=p. 4 3)不是周期函數。 4）因為 12．設f(x)和g(x)均為周期函數，f(x)的周期為2，g(x)的周期為3，問：f(x)g(x) ，f(x)g(x)cosx2的周期為4p，而sinx的周期為6p，所以符合函數周期為12p。 3是否是周期函數，若是，求出它們的周期. 解：是周期函數，且周期都是6。 13．求下列函數的反函數及其定義域： （1）y=x+3 x-3，x1； （2）y=x3+7，xR； 25-x2 , 00 ． 2 4).y=25-x2 ， 0x1 10. 18．將下列函數分解成基本初等函數的復合： （1）y=lgtan2x； （2）y=arcsinax； （3）y=2 解：1).y=lgu , u=v2 , v=tanx. 2).Y=arcsinu , u=av , v= 3).y=2u , u=xcosx2； （4）y=lg2arctanx3. . ,v=cosw , w=x2. 4).y=u2 , u=1gv ,v=arctanw ,w=x3. 19．在下列函數對y= （1）f(u)=f(u) , u=g(x)中，哪些可復合成f[g(x)]，其定義域為何？ u , g(x)=1g1 2+x2； （2）f(u)=lg(1-u) , g(x)=sinx； （3）f(u)=arccosu , g(x)=lgx； （4）f(u)=arcsinu , g(x)=x 1+x2. 解：1).令u=g(x)=lg1 2+x2<0，所以f(u)=u無意見。 2).f[g(x)]=lg(1-sinx) ，因為1-sinx1，所以x(2k+1)p，kz. 3). f[g(x)]=arcos(lgx)，-1lgx1=>10-1x.10 4). f[g(x)]=arcsin 20．設f(x)= x x1=， (x1 ， x) 解：f[f(x)]=1-2xx1-1-x x x11f{f[f(x)]}==, (x , x , x)x1-3x231-1-2xx1+x ， -p2x1+xp2=>xR. x1-x，求f[f(x)]和ff(x)}. x2 , 0x1 , 求g(x)21．設g(x+1)=2x , 10時，f(x)+f(-x)=(x2-1)+1-(-x)2=0. 當x<0時，f(x)+f(-x)=(-x)2-1+1-x2=0. 2 x0x-1 ，f(x)= , 求f(x)+f(-x). 21-x ， x<0 當x=0時，f(x)+f(-x)=-2. 所以f(x)+f(-x)= 23．設 解：f(x-1)=xx21+x40 , x0. -2 , x=0.1x2f(x-)=x1+x4，求f(x). =1 (x-)2+2x 令u=x-1 x 所以 f(u)-1u+2，所以f(x)=1x+2. 24．設f(x2-1)=lg x2x-2，且f[j(x)]=lgx，求j(x). 解：令u=x2-1，則f(u)=lgu+1， u-1 所以f(u)=lgx+1. x-1 令j(x)=x， 則f[j(x)]=lgj(x)+1=lgx , (x>0). j(x)-1 所以j(x)+1=x. j(x)-1 所以j(x)=x+1(x>0 , x1). x-1 25．在半徑為R的球中 (01 y2x2(x2)則 所以遞減 故選D (8)f(-x)=-xtan(-x)esin-x=xtan xe-sinxg(x)f(x)∴f(x)不是偶函數 =x沒有周期，f(x)不是周期函數 是周期函數，f(x)不是單調函數 g(x)=tan xesinx 2．填空題 (1)設f(x)= (2)設1+x x<0則f[f(x)]． 1， x0x , -1) ; （2）xn1 n=3(-1)n ; 1n（3）xn=1g ; （4）xn=(-1)n(1+) ; （5）xn=3+(-1)n ; （6）xn=sec ; 11+L+1+3+5+L+(2n-1)2. （7）lim; （8）limnn2+4+6+L+2n1++L+221+1n1n 解：1）收斂.因為當n時,an(a>1) ;所以xn0 ;所以lim xn=lim xx1a=0 . 3 n為偶數 2)因為xn=xn=1n為奇數3 所以xn是發(fā)散的; 3)發(fā)散的.因為當n時, 4)因為xn=1 n為偶數 -1 n為奇數110;所以xn=1g-; nnxn是發(fā)散的; 所以 5)收斂的.因為當n時, 6)收斂的.當n時, 110;所以xn=3+(-1)n3;即limxn=3; nnx110;sec1;即limxn=1; nnx n(1+2n-1) 1+3+5L+(2n-1)n==7)因為; 2+4+6+L+2n1+n 2 所以limxn=1; 1+n 所以是收斂的; 111++L+1-1328)因為 == n-121+2n-11++L+1-()221-221-1 所以lim313=; x21+22 所以是收斂的; 2.據我國古書記載，公元前三世紀戰(zhàn)國時代的思想家莊子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的樸素極限思想，將一尺長的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成數列，并考察其極限. 解：數列為1,, 2, K , 所以通項為an=1 2112212n-1 ; ;所以liman=0; x 3.由函數圖形判別函數極限是否存在，如存在則求出其值： （1）limxm(m>0) ; （2）limxm(m<0) ; x0x （3）limax(a>0 , 1) ; （4）limax(a>0 , 1) ; x0x （5）limlogax(a>0 , 1) ; （6）limarccosx ; x1x-1 （7）limarctanx ; （8）limcosx . x1x 解：1）當x0時,limxu(u>0)=0 ; x 2）limxu(u<0)=limx1xx(u<0)=0 ; 3）limax(a>0 , a1)=1 x 4） 0 0 a<1 .limax(a>0 , a1)=x1 a>1 .a<1 ; 所以 1 a>1 ; 5)limlogax(a>0 , a1)=0 x-1 6)limarccosx=p所以cosp=-1 ; x-1 7)limarctanx=. x-1p4 8)limcosx的極限不存在 x 4．求下列函數在指定點處的左、右極限，并判定函數在該點的極限是否存在： （1）f(x)=x x , x=0 ; （2）f(x)=1 3x, x=0 ; （3）f(x)= , x=0 ; 1, x<1 , x=1 . （4）f(x)=1g(1+x) arcsin(x-1) , 1x21x 解：1)lim-1f(x)=-1lim+f(x)=1 ;所以該點的極限不存在 x0x0 2)lim-1f(x)=0lim+f(x)= ;所以該點的極限不存在 x0x0 3)lim-1f(x)=-x0p2limf(x)=x0+p2;所以該點的極限不存在 4)lim-f(x)=x11limf(x)=0 ; 所以該點的極限不存在 1g2x1+ 5．用e-d或e-N的方法陳述下列極限： （1）lim+f(x)=A ; （2）lim-f(x)=A ; xaxa （3）limf(x)=A ; （4）limf(x)=A . x+x- 解：1)當0M時 f(x)-A所以對于任意給定的x,存在N=11x1 n即n>1x成立 1n=0 x4當n>N時恒有-0N時恒有 5-n25-n23n+12+10,存在d=x2當01gx成立 所以存在X=1gx .當x>X時恒有x>1gx成立 即lim10x=0 . x 7．求下列極限： (x+h)3-x3xn-1（1）lim ; （2）lim; h0x1x-1h （3）limx+1(arctanx+2x) ; （4）lim1x- ; x1x-1x-x -x-3 2+x（5）limx2 1-+x2x0; （6）limx ; （7）lim x+1-3x-2-2x4 ; （8）lim(x2+x+1-x2-x-3) . x (x+h)3-h3x3+3x2h+3xh2+h3-x3解：1）lim=lim=lim(3x2+3xh+h2)=3x2 h0h0h0hh xn-12)lim=n x1x-1 1p3）limarctanx+2x=lim(arctanx+1)=+1 x+2x+ 4)lim(x1x1(x-1)(x+1)x+1 -)=lim=limx1x(x-1)x1xx-1x-x x2 =limx2(1++x2) -x25)limx01-+x2x0=-lim(1++x2)=-2 x0 6)lim-x-3 2+xx-=1-x-9(2+x)(-x+3) =(2+x)(x2-2x+4) (2+x)(-x+3) =-2 7)lim2x+1-3 x-2-2x4=lim(x+1-3)(2x+1+3)x-2-2)(2x+1+3)x4( =lim =lim =2(x-4)x-2-2)(2x+1+3)(2x+1+3)x4(2(x-2+2)x4 2 38)lim(x2+x+1-x2-x-3) x =lim(x2x+4x+x+1+x-x-3 2+4 22) =lim(x+1113++--xxxx)=1 8．求lim 5-4nn-15n-4n-1n5+3. 解：limn5+314n()=1 =limn55+9()n 51- 9．下列數列{xn}，當n時是否是無窮小量？ （1）xn=1050 3n; （2）xn=1+(-1)n[]1 n; （3）xn=n . 解：1)是無窮小量 因為limxn=0 n 2)是,因為limxn=0(n為奇數或者偶數) n 3)不是. 10．當x0時下列變量中哪些是無窮小量？哪些是無窮大量？ （1）y=100x3 ; （2）y=1 10x ; （3）y=log2(1+x) ; （4）y=cot4x ; （5）y=sec-x ; （6）y=sin. 2p1x1x 解：1)是無窮小,因為limy=0 x0 2)是無窮大量,因為limy=+ x0 3)是無窮小量,因為limy=0 x0 4)是無窮大量,因為limy=+ x0 5)是無窮大量,因為limy=+ x0 6)非大非小 11．已知lim 解：因為lim2arctanx2x2=lim= , x0x05x5x5xx0f(x)存在，而limg(x)=0，證明limf(x)=0 . g(x)xx0xx0 limf(x)f(x)xx0lim=存在 xx0g(x)limg(x)xx0 而limg(x)=0 xx0 所以limf(x)=0 ; xx0 12．設lim x2+ax+b解：因為lim=limx+y=3 x1x1x-1x2+ax+b=3，求a，b. x1x-1 所以x2+ax+b(x-1)(x-2) =x-1x-1所以a=1,b=-2 -ax-b=0，求a，b . 13．設limxx+1x2+1 x2+1x2+1-ax2-ax-bx-b解：lim(-ax-b)=lim=0 xx+1xx+1 所以即x2+1-ax2-ax-bx-b為一常數 所以a=1 b=-1 14．當x0時，下列變量中與3x2+x4相比為同階無窮小的是（B）. A．x B．x2 C．x3 D．x4 解：B． 因為lim 15．求lim 解：lim3n-9n 82x2+x4x03x2=lim1x03+x2=1 3-9n28n. 5n-81n+21n5-9=3 n=lim5n-81n+2n52-+8nn 16．設xa時f(x)，g(x)，則下列各式中成立的是（D）. A．f(x)+g(x) B．f(x)-g(x)0 C．110 D．0 f(x)+g(x)f(x) 解：D. 因為xa時f(x),g(x)，所以 17．求下列極限 （1）lim 解：1)lim(2x+1)10(3x-4)5 (2x-7)110，0. f(x)g(x)(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)x; （2）lim(100+cosx) . xx3+xx2+1(2x+1)10(3x-4)5=limxx15(2x-7)15 x15=21035215=243 32 11+x+1x(100+105x) 2)lim(100+105x)=limxx+xx1+2x2 18．求下列極限： （1）limsin2xx-sinx; （2）lim; x0sin3xx0x+sinx （3）lim2arctanxp ; （4）limnsin ; x05xnn sinxx ; （6）lim; xpp-xx0+-cosx-cosx2tanx-sinx; （8）lim; 1-cosxx0x（5）lim（7）limx0 （9）lim x-xcosxsin(x-1) ; （10）lim . x0tanx-sinxx