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111 2.3 勻變速直線運動的位移與時間的關(guān)系 學(xué)案 理解領(lǐng)悟 本節(jié)課運用極限思想，用速度圖象中圖線下面四邊形的面積代表位移，導(dǎo)出了勻變速直線運動的位移公式，并進一步導(dǎo)出了勻變速直線運動的速度—位移關(guān)系式。要會應(yīng)用勻變速直線運動的位移公式及速度—位移關(guān)系式分析和計算。 O v t 圖2－20 A B C 基礎(chǔ)級 1. 從速度圖象求勻速直線運動的位移 勻速直線運動的速度不隨時間變化，所以其速度圖象是平行于時間軸的直線。由勻速直線運動的位移公式x = v t結(jié)合速度圖象可知，勻速直線運動的位移可以用速度圖象圖線與時間軸之間的面積（如圖2－20中矩形OABC的面積）來表示。 2. 從速度圖象求勻變速直線運動的位移 對于勻變速直線運動，上述結(jié)論也成立嗎？ O v t 圖2－21 A B C D 仔細研究教材“思考與討論”欄目中用紙帶上各點的瞬時速度估算小車位移的方法，不難看出：時間間隔越小，對位移的估算就越精確。 圖2－21中的傾斜直線AB表示一個做勻變速直線運動的速度圖線。為了求出物體在時間t內(nèi)的位移，我們把時間劃分為許多小的時間間隔。設(shè)想物體在每一時間間隔內(nèi)都做勻速直線運動，而從一個時間間隔到下一個時間間隔，物體的速度跳躍性地突然變化。因此，它的速度圖線由圖2－21中的一些平行于時間軸的間斷線段組成。由于勻速直線運動的位移可以用速度圖象圖線與時間軸之間的面積來表示，因此上面設(shè)想的物體運動在時間t內(nèi)的位移，可用圖2－21中的一個個小矩形面積之和（即階梯狀折線與時間軸之間的面積）來表示。如果時間的分割再細些，物體速度的躍變發(fā)生得更頻繁，它的速度圖象就更接近于物體的真實運動的圖象，階梯狀折線與時間軸之間的面積就更接近于傾斜直線AB與時間軸之間的面積。當(dāng)時間間隔無限細分時，間斷的階梯線段就趨向于傾斜直線AB，階梯狀折線與時間軸之間的面積就趨向于傾斜直線AB與時間軸之間的面積。這樣，我們就得出結(jié)論：勻速直線運動的位移也可以用速度圖象圖線與時間軸之間的面積來表示。 運用類似的分析方法可以得出，上述結(jié)論不僅對勻變速直線運動適用，對一般的變速直線運動也是適用的。 3. 用極限思想分析問題 在上一章中，我們用極限思想（無限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的時間間隔趨向于0，介紹了瞬時速度和瞬時加速度；本節(jié)課介紹速度圖象中圖線與時間軸之間四邊形的面積代表勻變速直線運動的位移時，又一次應(yīng)用了極限思想。極限思想是一種常用的研究方法，教材滲透這樣的思想，只要求我們對極限思想有初步的認識，并不要求會計算極限。 4. 用公式表達勻變速直線運動位移與時間的關(guān)系 由上述分析可知，做勻變速直線運動的物體在時間t內(nèi)的位移x，可以用圖2－21中梯形OABC的面積S表示。而 ， 把面積及各條線段換成所代表的物理量，上式變成 ， 將代入，可得勻變速直線運動的位移公式 。 圖2－21中梯形OABC的面積S也可表示為矩形AOCD的面積S1和三角形ABD的面積S2之和，即S= S1+ S2，而 ， （式中k表示直線AB的斜率），故 。 把面積、各條線段及斜率k換成所代表的物理量，也可得勻變速直線運動的位移公式 。 勻變速直線運動的位移公式反映了位移與初速度、加速度、時間之間的關(guān)系，是計算位移的常用公式。應(yīng)用此式時，也要注意符號法則，若取初速度的方向為正方向，位移和加速度都是代數(shù)量，都帶有符號。 5. 用公式表達勻變速直線運動位移與速度的關(guān)系 由勻變速直線運動的速度公式和位移公式 ， 消去時間t，可得 ， 這就是勻變速直線運動的速度—位移關(guān)系式。 勻變速直線運動的速度—位移關(guān)系式反映了初速度、末速度、加速度與位移之間的關(guān)系，在不涉及時間或不需要求時間的情況下，用這個公式分析求解問題通常比較簡便。與其他勻變速直線運動的規(guī)律一樣，該式在應(yīng)用時也必須注意符號法則，當(dāng)取初速度的方向為正方向時，加速度和位移也都帶有符號。 v0=? a=1m/s2 圖2－22 t=12s x=180m 180 O 6. 教材中例題的分析 / 本節(jié)教材的例題研究的是汽車的加速過程，已知汽車運動的加速運動時間和位移，需求初速度，如圖2—22所示。圖中，若把x解釋為汽車0~x的位移，則解釋為0~t的一段時間；若把x解釋為汽車的位置，則解釋為t時刻。本題可先由勻變速直線運動的位移公式，得出v0的表達式后再代入數(shù)值計算出結(jié)果。 7. 兩個物體加速度的比較 教材在“比一比”欄目中提出：如果已知兩個物體在相同時間內(nèi)從靜止開始做勻加速直線運動的位移之比，怎樣根據(jù)運動學(xué)的規(guī)律由此求出加速度之比？ 由勻變速直線運動的位移公式 ， 因v0=0，故有 ， t相同，，即 。 8. 對勻變速直線運動規(guī)律的再認識 到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了涉及勻變速直線運動規(guī)律的四個公式或關(guān)系式，它們是： 勻變速直線運動的速度公式 勻變速直線運動的位移公式 勻變速直線運動的速度—位移關(guān)系式 由平均速度求位移的公式 以上四個公式或關(guān)系式共涉及勻變速直線運動的初速度v0、末速度v、加速度a、時間t和位移x五個物理量，每個式子涉及其中的四個物理量。四個公式或關(guān)系式中只有兩個是獨立的，即由任意兩式可推出另外兩式。而兩個獨立方程只能解出兩個未知量，所以解題時需要三個已知條件才能求解。式中v0、v、a和x均為矢量，應(yīng)用時要規(guī)定正方向（通常將v0的方向規(guī)定為正方向），并注意各物理量的正、負。 順便指出，在v0、v、a、t和x五個物理量中，勻變速直線運動的速度公式涉及到除x外的四個，位移公式涉及到除v外的四個，速度—位移關(guān)系式涉及到除t外的四個，由平均速度求位移的公式涉及到除a外的四個。那么，還應(yīng)該有一個涉及到除v0外的四個物理量的關(guān)系式，那就是（請同學(xué)們自行證明），不過此式并不常用。 發(fā)展級 9. 勻變速直線運動某段位移中間位置的速度 我們知道，若勻變速直線運動的初速度為v0，末速度為v，則某段時間中間時刻的速度為。那么，勻變速直線運動某段位移中間位置的速度又為多大呢？ 設(shè)該段位移為x，由勻變速直線運動的速度—位移關(guān)系式可得，在前、后兩半段分別有，， 由以上兩式可解得 。 10. 關(guān)于初速度為0的勻加速直線運動 因v0=0，由公式，可得 ， 這就是初速度為0的勻加速直線運動的位移公式。 因v0=0，由關(guān)系式，可得 ， 這就是初速度為0的勻加速直線運動的速度—位移關(guān)系式。 對于初速度為0的勻加速直線運動，除了上一節(jié)講到的物體在時刻t、2t、3t、…… n t的速度之比 v1︰v2︰v3︰……︰vn=1︰2︰3︰……︰n 之外，還有如下的一些比例關(guān)系： 因加速度a為定值，由，可得。所以，在物體做初速度為0的勻加速直線運動時，物體通過位移x、2x、3x、…… nx時的速度之比 v1’︰v2’︰v3’︰……︰vn’=︰︰︰……︰。 因加速度a為定值，由可得。所以，在物體做初速度為0的勻加速直線運動時，物體在時間t、2t、3t、…… nt內(nèi)通過的位移之比 x1︰x2︰x3︰……︰x n =12︰22︰32︰……︰n2。 由上式可得x1︰(x2－x1) ︰(x3－x2)︰……︰(x n－x n-1)=1︰3︰5︰……︰(2n－1)。這就是說，在物體做初速度為0的勻加速直線運動時，從開始計時的連續(xù)相等的時間內(nèi)，物體通過的位移之比等于從1開始的連續(xù)奇數(shù)比，即 xⅠ︰xⅡ︰xⅢ︰……︰xN= 1︰3︰5︰……︰(2n－1)。 因加速度a為定值，由可得。所以，在物體做初速度為0的勻加速直線運動時，物體通過位移x、2x、3x、…… nx所需的時間之比 t1︰t2︰t3︰……︰t n =︰︰︰……︰。 由上式可得t1︰(t2－t1) ︰(t3－t2)︰……︰(t n－t n-1)=︰(－)︰(－)︰……︰(－)。這就是說，在物體做初速度為0的勻加速直線運動時，從開始計時起，通過連續(xù)相等的位移所需的時間之比 tⅠ︰tⅡ︰tⅢ︰……︰tN =︰(－)︰(－)︰……︰(－)。 O x t 圖2—23 11. 勻變速直線運動的位移圖象 本節(jié)教材“說一說”欄目要求畫出勻變速直線運動的位移圖象的草圖，運用初中數(shù)學(xué)中學(xué)到的二次函數(shù)知識，該草圖如圖2—23所示，圖線為通過原點的拋物線的一部分。這是勻加速直線運動的位移圖象，拋物線的開口向上；當(dāng)物體做勻減速直線運動時，拋物線的開口向下。 對于“我們研究的是直線運動，為什么畫出來的位移圖象不是直線”的疑問，可作如下解釋：位移圖象描述的是物體的位移與時間的關(guān)系，它并不表示物體運動的軌跡。 12. 利用光電計時器研究自由下落物體的運動 教材“做一做”欄目要求利用光電計時器研究自由下落物體的運動。教材圖2.3-4所示的裝置用于研究自由落體運動，與電腦計時器配合使用。首先調(diào)整立柱豎直，將立柱上的光電門、電磁鐵的插口與計時器連接。在計時器“測重力加速度”這一功能中，在電磁鐵斷電的時刻開始計時。小球通過第一個光電門時記錄小球到達時間t1，小球到達第二個光電門時記錄小球到達時間t2，計時器先后顯示這兩次的時間值。這類儀器有4個光電門、2個光電門、1個光電門等幾種。立柱上有刻度，可讀出對應(yīng)時間小球的位移。畫出x—t圖象，圖線為曲線。再畫出x—t2圖象，圖線為通過原點的傾斜直線?？梢姡矬w自由下落時，位移與時間的平方成正比，即。 應(yīng)用鏈接 本節(jié)課的應(yīng)用主要是極限思想的滲透，以及勻變速直線運動的位移公式、速度—位移關(guān)系式、某段位移中間位置的速度公式和有關(guān)比例關(guān)系的分析與計算。 基礎(chǔ)級 例1 物體由靜止開始做勻加速直線運動，當(dāng)其位移為x時的速度為v，求位移為時的速度v’為多大？ 提示 物體在做勻加速直線運動的過程中，加速度不變。本題沒有涉及時間，也不需要求時間，故可根據(jù)速度—位移關(guān)系式求解。 解析 由勻變速直線運動的速度—位移關(guān)系式，又v0=0，可得，即，所以 ， 得位移為時物體的速度 。 點悟 本題也可先由，求得，再由，求得。顯然，采用比例法求解要簡便一些。 例2 一物體做勻變速直線運動，某時刻速度的大小為4m/s，后速度的大小變?yōu)?0m/s。在這1s內(nèi)該物體的（ ） A. 位移的大小可能小于4m B. 位移的大小可能大于10m C. 加速度的大小可能小于4m/s2 D. 加速度的大小可能大于10m/s2 提示 分成勻加速直線運動和勻減速直線運動兩種情況討論。 解析 對于勻變速直線運動，有 , ， 選取初速度的方向為正方向，則v0=4m/s, 又t=1s。若物體做勻加速直線運動，則v=10m/s, 故 m=7m; m/s2=6m/s2； 若物體做勻減速直線運動，則v=－10m/s, 故 m=－3m; m/s2=－14m/s2，， 即位移、加速度的大小分別為3m、14m/s2，負號表示它們的方向與初速度方向相反。 可見，本題正確選項為A、D。 點悟 當(dāng)物體的運動狀態(tài)無法確認時，須根據(jù)可能情況分別加以討論。要注意培養(yǎng)思維的廣闊性，克服片面性。同時，要注意矢量的正負號僅表示方向，不表示大小。 例3 有一個做勻變速直線運動的質(zhì)點，它在兩段連續(xù)相等的時間內(nèi)通過的位移分別為24ｍ和64ｍ，連續(xù)相等的時間為4ｓ，求質(zhì)點的初速度和加速度大小。 提示 由勻變速直線運動的位移公式求解。 解析 兩段連續(xù)相等的時間t=4s，通過的位移分別為x1=24m, x2=64m。設(shè)質(zhì)點運動的初速度為v0，加速度為a，對前一過程和整個過程分別應(yīng)用勻變速直線運動的位移公式，可得 x1= v0t+at2， x1+ x2= v02t+a(2t)2, 由以上兩式解得質(zhì)點的加速度m/s2=2.5m/s2， 質(zhì)點的初速度 m/s=1m/s。 點悟 在應(yīng)用勻變速直線運動的規(guī)律解題時，要注意研究過程的選取，盡可能少設(shè)未知量。本題若分別對兩段連續(xù)相等的時間應(yīng)用位移公式，則將涉及中間時刻的速度，須多設(shè)一個未知量，從而多建立一個方程才能求解。 本題也可直接由公式△s=at2，得 ， 解出加速度a，然后再由位移公式得到初速度v0。 例4 火車以54km/h的速度前進，現(xiàn)在需要在車站暫停。如果停留時間是1min，剎車引起的加速度大小是30cm/s2，啟動時發(fā)電機產(chǎn)生的加速度大小是50cm/s2，火車暫停后仍要以原速前進，求火車由于暫停所延遲的時間。 提示 火車由于暫停所延遲的時間等于其實際運行時間與預(yù)定運行時間之差。 解析 火車因暫停而減速的時間為 t1=s=30s， 火車暫停后加速到原速所需的時間為 =50s。 火車從開始減速到恢復(fù)原速所通過的路程為 s=s1+s2=， 這段路程火車正常行駛所需的時間為 s=40s。 所以，火車由于暫停所延遲的時間為 △t=(t1+t2+t3)－t=(30+60+50)s－40s=100s。 點悟 解答運動學(xué)問題，分析物體的運動過程是求解的關(guān)鍵。對于勻變速直線運動問題，一般的解題思路是：明確研究對象，建立運動途圖景，規(guī)定坐標(biāo)方向，列出運動方程。分析題意時，要弄清物理量中哪些是未知的，哪些是已知的，然后根據(jù)勻變速直線運動的公式或關(guān)系式列出方程，正確求解。其中，加速度是解決一般問題的關(guān)鍵。 發(fā)展級 例5 一物體由靜止開始做直線運動，先以加速度a1做勻加速直線運動，接著又以大小為a2的加速度做勻減速直線運動直到停止。已知通過全程所經(jīng)歷的時間為t，求該物體的總位移。 提示 物體的總位移等于勻加速和勻減速兩個運動階段的位移之和。 解析 設(shè)物體在勻加速和勻減速兩個運動階段的位移分別為x1、x2，經(jīng)歷時間分別為t1、t2。在勻加速運動階段，因初速度為0，故有；在勻減速直線運動階段，因末速度為0，“倒過來”看就是初速度為0的勻加速運動，故有。因a1t1=a2t2，故，又t1+ t2=t，可得 ，。 從而，該物體的總位移 。 點悟 本題中物體的運動涉及多個階段，求解時要注意尋找各運動階段之間的聯(lián)系，通?？蓮臅r間、位移、速度等方面尋找聯(lián)系。 有關(guān)勻變速直線運動的問題，往往有多種解法。例如，本題也可以這樣來解： 設(shè)物體在勻加速運動階段的末速度為v（這一速度也是物體在勻減速運動階段的初速度），則物體在全程內(nèi)的平均速度。因，又，故， v a a’ v1 v2 l1 l1 l2 l2 圖2－24 可得。從而，該物體的總位移 。 v t11 t2 t O vm 圖2－25 a a’ 例6 兩支完全相同的光滑直角彎管，如圖2－24所示放置?，F(xiàn)有兩只相同小球a和a’ 同時從管口由靜止滑下，問誰先從下端的出口掉出？ 提示 利用速率圖象進行分析。 解析 根據(jù)拐角處的高低，首先可以確定小球到達拐角處的速率v1> v2，而兩小球到達出口時的速率v相等。又由題意可知兩球經(jīng)歷的總路程s相等.。根據(jù)圖中管的傾斜程度，小球a第一階段的加速度跟小球a/第二階段的加速度大小相同（設(shè)為a1）；小球a第二階段的加速度跟小球a/第一階段的加速度大小相同（設(shè)為a2），顯然有a1> a2。根據(jù)這些物理量大小的分析，在同一個v－t圖象（速率—時間圖象）中兩球速率曲線下所圍的面積應(yīng)該相同，且末狀態(tài)速率也相同（縱坐標(biāo)相同）。開始時，a球曲線的斜率大。由于兩球兩階段加速度對應(yīng)相等，如果同時到達（經(jīng)歷時間為t1）則必然有s1>s2，顯然不合理?？紤]到兩球末狀態(tài)速率相等（圖中v），兩球 的速率圖象只能如圖2－25所示。因此有t1< t2，即a球先從下端的出口掉出。 點悟 本題只要定性比較兩小球運動的時間，而不需要計算兩小球到達出口處的具體時間，因而選用了圖象法進行分析。運用圖象分析物理問題，往往能收到事半功倍的效果。 另外，需要特別指出的是：圖2－25是速率圖象，而不是速度圖象，圖線與時間軸之間的四邊形面積表示路程而不是位移。 課本習(xí)題解讀 [p.44問題與練習(xí)] 1. 列車的初速度v0=36km/h=10m/s，加速度a=0.2m/s2，時間t=30s，根據(jù)，得坡路的長度為 m+m=390m。 根據(jù)，得列車到達坡底時的速度為 v=10m/s+0.230m/s=16m/s。 2. 汽車的初速度v0=18m/s，時間t=3s，位移x=36m，根據(jù)，得汽車的加速度為 m/s2=－4m/s2， 即汽車加速度的大小為4m/s2，負號表示加速度的方向與初速度方向相反。 3. 列車的初速度v0=0，把列車達到最高行駛速度前的運動看成勻加速運動，則勻加速運動的末速度v=430km/h=119m/s。關(guān)鍵是確定列車做勻加速運動的時間t，題中已知列車全程行駛約7min30s，以最高速度行駛約30s處于行駛時段的正中，可見列車做勻加速運動的時間t=3.5min=210s。根據(jù)，得列車的加速度 m/s2≈0.567 m/s2。 4. 返回艙在最后減速階段的初速度v0=10m/s，末速度v=0，位移x=1.2m，根據(jù)，得返回艙在最后減速階段的加速度 m/s2≈－42m/s2， 即返回艙加速度的大小為，負號表示加速度的方向與初速度方向相反。 5. 若飛機靠自身發(fā)動機起飛，飛機初速度為0，加速度a=5m/s2，位移x=100m，設(shè)末速度為vx，由得 m/s＜50m/s， 所以不行。 設(shè)彈射系統(tǒng)必須使飛機具有的初速度為v0，飛機的末速度才能達到起飛速度v=50m/s。根據(jù)，得 m/s≈39 m/s。 111