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武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案 2012 — 2013 學(xué)年度第一學(xué)期 開課系部 公共課部 課程名稱 高等數(shù)學(xué) 授課班級 汽制1203班、電商1202班 任課教師 李海霞 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（理論教學(xué)首頁） 章 節(jié)名 稱 第二章第一節(jié)（導(dǎo)數(shù)的概念） 裝 訂 線 授 課安 排 授 課 時 數(shù) 2 授 課時 間 第十一周 授 課 方 法 啟發(fā)、講授 授 課 教 具 多媒體教室、課件 教 學(xué)目 的 1、 了解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握利用定義求導(dǎo)數(shù)的方法。 2、 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義，學(xué)會求曲線的切線、法線方程。 3、了解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 教 學(xué)重 點 1、導(dǎo)數(shù)的概念。 2、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義求部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、掌握求曲線上過某點的切線、法線方程。 教 學(xué) 難 點 1、導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義。 2、會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 一．本章及本節(jié)內(nèi)容剖析 導(dǎo)數(shù)是微積分的重要部分，是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的；同時，又促進了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展。它不但在天文、物理、工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在日常生活及經(jīng)濟領(lǐng)域也日漸顯示出其重要的功能。本章主要介紹初等函數(shù)以及隱函數(shù)，含參數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)問題，下一章主要就是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 本節(jié)內(nèi)容分了四部分，一是非勻速直線運動物體的瞬時速度；二是過曲線上一點的切線的斜率；三是導(dǎo)數(shù)的定義；四是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。學(xué)習(xí)切線的斜率與瞬時速度是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念，介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是為了加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解。 進行導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)時還應(yīng)該看到，通過若干個特殊時刻的瞬時速度過渡到任意時刻的瞬時速度；從物體運動的平均速度的極限是瞬時速度過渡到函數(shù)的平均變化率的極限是瞬時變化率。再由一般曲線任意一點的切線斜率定義，由割線的斜率取極限得到切線的斜率。進而引出導(dǎo)數(shù)的概念。 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） 二、教學(xué)方法和手段 1、通過導(dǎo)數(shù)概念的形成過程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，從特殊到一般的思維方法。 2、提高類比歸納、抽象概括、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力。 3、在探索“平均變化率”的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與理性，感受數(shù)學(xué)中的美感，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛，養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度。 4、接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的積極態(tài)度。 三．教學(xué)過程 1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 （1）平均速度與瞬時速度（8分鐘） 【創(chuàng)設(shè)情景，引入課題】播放一段視頻林躍在2008年北京奧運會10米跳臺奪冠的視頻。（1分鐘） 【教師提問】假如在比賽過程中，林躍相對水面的高度h(m)與起跳后的時間t(s)存在這樣一個函數(shù)關(guān)系：.請同學(xué)們思考一下在 時刻時林躍的瞬時速度是多少？ 【學(xué)生活動】通過討論，找到突破口：要求瞬時速度，就是通過研究時它附近的平均速度變化，如圖（1）。 【教師提問】所謂的時的附近的平均速度速度又要怎么刻畫呢？瞬時速度和平均速度有什么關(guān)系呢？ 【教師總結(jié)】先求出時刻到時刻的平均速度，那么瞬時速度可以用平均速度來約等于，當(dāng)時間變化量越小時，平均速度就越接近于瞬時速度，于是我們得到。 （2）曲線的切線斜率（5分鐘） （1）為什么求曲線的切線的歷史原因，17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題。 （2）任意曲線在任意一點的切線定義：割線的極限位置即為切線位置。 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） 【教師提問】那么點的切線斜率，按照切線的定義怎么求呢？如下圖（2）。 【學(xué)生活動】學(xué)生按照上述例子瞬時速度的總結(jié)，討論歸納出點切線斜率。即：割線的斜率為平均變化率，當(dāng)自變量的該變量趨于零時的平均變化率即為點的瞬時速度。 設(shè)；割線的斜率 ,點切線斜率： 2.導(dǎo)入新課 （1）導(dǎo)數(shù)的定義（20分鐘） 【教師總結(jié)】教師根據(jù)以上兩種情形總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的詳細定義， 定義 設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從變到時，函數(shù)的增量，函數(shù)的增量和自變量的 增量比值稱為函數(shù)的平均變化率。當(dāng)時， 平均變化率的極限：如果存在，則稱此極限 值為在處的導(dǎo)數(shù)。可用下列記號表示 【教師提問】從導(dǎo)數(shù)的定義總結(jié)出，用定義求在點處導(dǎo)數(shù)的步驟是什么呢？ 【提問學(xué)生】學(xué)生通過教師的引導(dǎo)總結(jié)出用定義求函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)步驟： ① 求函數(shù)的增量 ② 求平均變化率 ③ 取極限，得導(dǎo)數(shù)。 【典型例題，深刻體會】 例 用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 【教師提問】通過以上的例子總結(jié)常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。 【學(xué)生活動】學(xué)生通過教師講解，總結(jié)公式如下： 特別地，， （2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義（5分鐘） 表示曲線在點處的切線的斜率（如圖（2）），即 特別地： 曲線在點處切線的方程為： 曲線在點處法線的方程為： 【典型例題】求等邊雙曲線在點處的切線的斜率，并求出該點處的切線方程和法線方程。 （3）可導(dǎo)與連續(xù)（3分鐘） 定理 函數(shù)可導(dǎo)必定連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。 【典型例題】討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 3．本節(jié)課內(nèi)容小結(jié)（2分鐘） ①導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限; ②導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率; ③函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo); ④求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù). 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） 4．布置作業(yè)（1分鐘） 習(xí)題2.1 3（2）；6；7（3） 5.作業(yè)要求（1分鐘） 要求每周交一次作業(yè)，每周上課之前交到學(xué)習(xí)委員，作業(yè)寫清題號，要認(rèn)真自己完成，按照作業(yè)的完成情況分成三個情況予以平時分。 四．教學(xué)參考資料 1．《高職數(shù)學(xué)教程》 張國勇 高等教育出版社 2.《高職高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 汪志鋒 安徽大學(xué)出版社 五．教學(xué)后記 一.本節(jié)課是微積分導(dǎo)數(shù)部分的第一節(jié)課，重在讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的定義，適應(yīng)高等數(shù)學(xué)快節(jié)奏的思維方式。 二.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是理解導(dǎo)數(shù)的概念，以及記住幾個可以用定義求的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。從與學(xué)生的眼神交流和提問來看，學(xué)生掌握了重點，教學(xué)目標(biāo)完成的較好。 三.本節(jié)課總體是理論課的教學(xué)但是結(jié)合物理實例和歷史一些數(shù)學(xué)知識，總體學(xué) 生比較有興趣，接受情況較好。 四.電商專業(yè)的學(xué)生由于女生較多，故課堂氣氛不夠活躍，課堂的例題應(yīng)該再加深難度，由易到難。照顧各個層次學(xué)生的接受水平。如是為了彌補這個在課后作業(yè)的布置上就注意滿足各個接受層次的學(xué)生?！　? 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（理論教學(xué)首頁） 章 節(jié)名 稱 第二章第二節(jié)（導(dǎo)數(shù)基本公式與求導(dǎo)法則） 裝 訂 線 授 課安 排 授 課 時 數(shù) 2 授 課時 間 第十二周 授 課 方 法 啟發(fā)、講授 授 課 教 具 課件 教 學(xué)目 的 1、掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則； 2、熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 4、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 5、了解反函數(shù)的求導(dǎo)法則。 教 學(xué)重 點 1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則； 3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 教 學(xué) 難 點 1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 2、反函數(shù)的求導(dǎo)法則。 2.2 導(dǎo)數(shù)基本公式與求導(dǎo)法則 一．本節(jié)內(nèi)容剖析 在上節(jié)課中已經(jīng)利用導(dǎo)數(shù)的定義求出了部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，本節(jié)直接 給出了導(dǎo)數(shù)的運算法則，因為高職高專的學(xué)生不要求根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)這些公式 和法則，只要求能夠利用他們能求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可。在教學(xué)中，適量的聯(lián)系 對于熟悉公式和法則的運用是必要的，但應(yīng)避免過量的形式化的運算聯(lián)系。 二、教學(xué)方法和手段 1、回顧公式、尋找技巧 2、自主探究、合作學(xué)習(xí) 3、 成果展示，匯報交流 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） 三、教學(xué)過程 1、回顧上節(jié)課內(nèi)容（3分鐘） 【學(xué)生活動】請學(xué)生到黑板默寫公式，檢查上節(jié)課的學(xué)習(xí)成果。 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 2、新內(nèi)容講授（35分鐘） 【教師活動】教師直接給出求導(dǎo)法則，并分析導(dǎo)數(shù)運算法則的速記方法。 （1）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則： 導(dǎo)數(shù)運算法則 1． 2． 3． （c為常數(shù)） 典例講解： 例1 ，求及。 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） 例2 ，求。 例3 已知，求. 同理：. 【學(xué)生活動】教師提問學(xué)生到黑板實際演練。 （2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 【教師活動】教師先跟學(xué)生一起回顧復(fù)合函數(shù)的定義。 復(fù)合函數(shù)：.例如：. 【教師活動】教師直接給出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積． 若，則 【教師活動】教師給出運算法則的典例講解。 例1 ，求. 例2 ，求. 例3 ，求. 【教師總結(jié)】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果． 【學(xué)生活動】學(xué)生實際操作 練習(xí)： 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） （3）反函數(shù)求導(dǎo)法則 定理 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在點處可導(dǎo)，而且，那么它的 反函數(shù)在對應(yīng)的點處可導(dǎo)，且有 或或 例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 （1）（2）. 答案 ，。 類似地，有 ，。 3．本節(jié)課內(nèi)容小結(jié)(5分鐘) 1．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)法則，推出了所有基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，即建立了和差積商求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，這樣就解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。 2． 對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意分析函數(shù)結(jié)構(gòu)，“由表及里，逐層求導(dǎo)”，教學(xué)中可采取兩步走：第一步，寫出中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算所得到的關(guān)系式，再應(yīng)用法則求導(dǎo).第二步，中間變量在每一步求導(dǎo)過程中體現(xiàn)，由表及里，逐層求導(dǎo). 4．布置作業(yè)（2分鐘） P48 2（2）（4）（8）； 3（1）（7）（10）； 4（1）（5） 四．教學(xué)參考資料 1．《高等數(shù)學(xué)》 柳重湛 中央廣播電視大學(xué)出版社 2．《應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)文化》 康永強 高等教育出版社 裝 訂 線 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院教案（附頁） 五．教學(xué)后記 一．本節(jié)課由于主要是數(shù)學(xué)公式的教授，而且大部分學(xué)生在中學(xué)有所接觸，故教學(xué)目標(biāo)完成的較好。 二．由于學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱，故從課堂的表現(xiàn)來看，學(xué)生雖然很好的接受了數(shù)學(xué)公式，但是運用起來還是比較生疏，故有待加強鞏固。 三．這章內(nèi)容從整體上看，沒有太多理解的內(nèi)容，主要是操練，于是從下節(jié)課開始應(yīng)多給學(xué)生上黑板實際練習(xí)的機會。