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行程模塊超常挑戰(zhàn) 1、 甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，5小時后相遇在C地．如果甲速度不變，乙每小時多行4千米，且甲、乙還從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地D距C地10千米；如果乙速度不變，甲每小時多行3千米，且甲、乙還從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地E距C地5千米. 問甲原來的速度是每小時多少千米？ 【解析】3次相遇中，兩人的行程距離，行程時間都不相同，所以應(yīng)講其中的一項(xiàng)化為相等 當(dāng)乙每小時多行走4小時，相遇地D距C地10千米，相遇之后，讓他們繼續(xù)在走，則甲到C地共用時5個小時，此時乙可以多行走到20km 也就是CM=20km，相當(dāng)于相遇之后，甲走的路程是10km，乙的路程也是10km，所以甲的速度=乙的速度+4； 同樣的分析方法，甲每小時多行3千米，相遇地E距C地5千米，他們繼續(xù)前行，當(dāng)乙到達(dá)C地共用時5個小時，此時甲到達(dá)N地，此時CN=15km, 相當(dāng)于相遇之后甲走了EN=10km,乙走了EC=5km,所以此時甲乙的速度關(guān)系為:甲的速度+3=乙的速度, 　所以甲的為原來的是速度為11千米． 此題利用了假設(shè)法，假設(shè)兩人相遇之后繼續(xù)前進(jìn)向前走，由于時間一樣，利用兩人前后的路程與速度成正比得速度的關(guān)系式，然后按照比例分配得到真確答案，解答行程很多時候我們都會用到假設(shè)法. 計算和計數(shù)課后練習(xí)題詳解 1、 解析：考查了提取公因數(shù)(乘法分配律的反用) 提取公因數(shù) 分?jǐn)?shù)化小數(shù) 結(jié)合律以及拆出湊 答案： 2、 解析：此題考查了完全平方數(shù)， 括號中的每一項(xiàng)都換成的形式 為了便于約分把所有括號中的第一項(xiàng)結(jié)合在一起第二項(xiàng)也結(jié)合在一起 答案： 3、 解析：湊整（利用運(yùn)算律把參與運(yùn)算的數(shù)字湊成整“1”整“10”，整“100’的數(shù)） 湊“1” 結(jié)合律 ； 答案： 4、 解析： 分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)，一個分?jǐn)?shù)的分母是兩數(shù)之積，分子式分母上的兩個乘數(shù)的差，這樣的分?jǐn)?shù)都可以裂項(xiàng)，如. 分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng) 答案： 5．a(chǎn)，b，c分別是0到9中不同的數(shù)字，用a，b，c共可組成六個三位數(shù)，如果其中五個三位數(shù)之和是2234，那么另一個三位數(shù)是幾？ 解析：此題考查的知識有位置原理，同余的性質(zhì)（和的余數(shù)等于余數(shù)的和，乘積的余數(shù)等于余數(shù)的乘積） 這六個數(shù)字分別為，根據(jù)位置原理，這六個數(shù)字百位上的數(shù)字有2個，兩個兩個，同理，十位上和個位上也有2個兩個兩個， 故六個數(shù)字的和為， 設(shè)另外一個六位數(shù)是，則 ， 根據(jù)同余的性質(zhì)，能被222整除，所有除以222應(yīng)余208， ， 當(dāng)?shù)臅r候不可以因?yàn)榇藭r為208，這三個數(shù)字中不能含0， 當(dāng)，也不成性， 當(dāng)?shù)臅r候成立，此時， 當(dāng)?shù)臅r候不成立， 當(dāng)時，是四位數(shù)，以下不用再驗(yàn)證. 答案：652 行程模塊課后練習(xí)題詳解 1、每天早晨，小剛定時離家步行上學(xué)，張大爺也定時走出家門散步，他們相向而行，并且準(zhǔn)時在途中相遇．有一天，小剛提早出門，因此比平時早7分鐘與張大爺相遇．已知小剛步行速度是每分鐘70米，張大爺步行速度是每分鐘40米，那么這一天小剛比平時早出門多少分鐘? 【解析】行程中的相遇問題 小剛提前出門，比平時早7分鐘與張大爺相遇，如果繼續(xù)走完這7分鐘,那么這7分鐘小剛和張大爺共計多走米, 這米應(yīng)該是小剛提前出門所走的路程,又小剛的速度每分鐘70米,所以小剛比平時早出門分鐘. 2、甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米．甲從A地，乙和丙從B地出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇，求A、B兩地的距離. 【解析】相遇和追擊問題的綜合 相遇和追擊的基本公式是： 路程和=速度和相遇時間，路程差=速度差追擊時間. 如圖，甲和乙在C處相遇, 相遇之后15分鐘又與丙相遇,故甲和丙在這15分鐘內(nèi)所走的路程CD為米, CD也是甲乙相遇這段時間內(nèi),乙超過丙的距離, 甲乙相遇的時間為分鐘, 所以AB兩地的距離為米. 3、甲火車長290米，每秒行20米，乙火車長250米，每秒行25米，兩列火車在平行的軌道上同向行駛，剛好經(jīng)過一座900米長的鐵橋，當(dāng)甲火車車尾離開橋的一端，同時乙火車車頭剛好駛上橋的另一端，經(jīng)過多長時間乙火車完全超過甲火車？ 【解析】這是一道火車過橋的題目，火車過橋是指火車車頭上橋，車尾離橋這算過程。 過橋時間=（車長+橋長）車速 當(dāng)乙火車完全超過甲火車時候,乙火車比甲火車多走了乙火車和甲火車的長度并加上軌道的長度,共計米,兩火車的速度之差為米/每秒，所以乙火車完全超過甲火車的時間為秒. 4、甲乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒．如果他們同時分別從直路的兩端A、B兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)他們跑12分鐘時，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩人同時到達(dá)某一點(diǎn)算作一次相遇） 【解析】這是一個多次相遇的問題，相關(guān)知識點(diǎn)如下： 甲乙分別從A，B的兩端出發(fā)的相遇問題： 一次相遇走了1個全程，二次相遇共走了3全程，以后多相遇一次多走2個全程，n次相遇共走2n-1個全程； 甲乙分別從A，B的兩端出發(fā)的追及問題: 一次甲追上乙，甲比乙多走一個全程，二次追上乙比多走3個全程，以后每次多追上一次甲就比乙多走兩個全程，n次追上乙，甲比乙多走2n-1個全程 . 在12分鐘之內(nèi)甲乙兩人共走米，共個全程，所以在這個40個全程里，甲乙共計相遇20次（因?yàn)橄嘤?0次甲乙共走39個全程）, 在12分鐘之內(nèi)甲乙的路程差為米，共追及個全程，所以在這個8個全程里，甲追上乙4次. 下面要注意了：求共計相遇了幾次并不是20+4=24，因?yàn)樵谙嘤龊妥飞显谕粋€地點(diǎn)，我們可以用柳卡圖進(jìn)行解釋： 甲30秒鐘走一個全程，乙45秒鐘走一個全程，從圖中可以看出， 在180秒內(nèi)甲乙相遇5次，甲追上乙1次，但是第三次相遇和第一次追上時在同一個地點(diǎn)， 故在180秒內(nèi)碰面5次，總共內(nèi)碰面20次. 5、小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(只算迎面相遇)，則甲、乙兩地的距離為 千米． 【解析】一次相遇走了1個全程，二次相遇共走了3全程，以后多相遇一次多走2個全程，n次相遇共走2n-1個全程，二次相遇所用的時間是一次相遇用時間的3倍，兩人各自所走的路程也是也是第一次所走路程的3倍. 在一次相遇中小王走了AB為3千米，兩次相遇小王走AD+DC為千米，，又因?yàn)锳C為6米, 所乙AD+DC+AC為兩個全程是千米，甲乙兩地的距離為千米 幾何模塊課后練習(xí)題詳解 1、 在長方形ABCD中，AD＝15cm，AB＝8cm，四邊形OEFG的面積是9，求陰影總面積. 【解析】本題考查了一半模型，選對模型是我們做對題的關(guān)鍵 ， ； ； ， 故， 答：陰影部分的面積為69 . 另解：在梯形中，(蝴蝶模型，兩個翅膀面積相等)， 所以陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為. 2、如圖，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF與EC相交于點(diǎn)H，已知AB=6厘米，則陰影部分的面積是________平方厘米． 【解析】此題考查等積模型 連接DF,則根據(jù)等積模型， 故陰影部分的面積為，再連接CF， 則. 3、如圖，在三角形ABC中，AD：DB=1:3，AE：EC=2：3，求BF：CF為多少？ 【解析】 問題為塞瓦定理，應(yīng)用燕尾模型。 根據(jù)燕尾模型： ；；； 三個式子相乘，得到， 故，所以； 注意：在塞瓦定理中比例的線段順序不能亂．. 4、在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面積分別是9，6，5，那么三角形DBE的面積是 . 【解析】根據(jù)面積的比例確定線段的比例： ， 故， 因?yàn)?； 所以, ． ５、如圖，求陰影部分的面積．(π取3．14) 【解析】本題考點(diǎn)：勾股定理和曲線形面積的綜合 如圖所示，陰影部分面積等于半圓減去長方形面積 長方形的長： 連接OC，在三角形OBC里邊，我們知道OC=20、OB=16， 根據(jù)勾股定理： 求得： 長方形面積：， 半圓面積：， 所以陰影面積：628-384=244． 數(shù)論模塊課后練習(xí)題詳解 1、 已知201220122012是72的倍數(shù)，求末兩位數(shù)是多少？ 【解析】同余的性質(zhì) ，201220122012是9的倍數(shù)，所以201220122012能夠被9整除， 設(shè)這個數(shù)字設(shè)為201220122012，根據(jù)被9整除的性質(zhì)，是9的倍數(shù)， 所以或者， 又因?yàn)?01220122012是8的倍數(shù)，所以后三位數(shù)字是8的倍數(shù)，也就是是8的倍數(shù). 時，，，舍去； ，，舍去； 時，，，舍去； ，，舍去； ，，滿足條件，所以末兩位數(shù)字是48. 答案:48 2、 是否存在自然數(shù)a和b，使得ab . 【解析】奇偶分析法 是個奇數(shù)，故的因數(shù)、、都只能是奇數(shù)，但是、 是奇數(shù)時，就不可能奇數(shù) .所以不存在自然數(shù)a和b，使得ab . 答案：不存在 3、 在數(shù)字81352、12358、38512、51823、83521中，唯一的一個完全平方數(shù)是 ． 【解析】 完全平方數(shù)的性質(zhì) 完全平方數(shù)的末尾數(shù)字只能是0,1,4,5,6,9，故唯一的一個完全平方數(shù)字只能是83521，事實(shí)上. 答案：83521 4、 的個位數(shù)字是________． 【解析】 同余（這一類題都是尋找規(guī)律，然后看余數(shù)是如何循環(huán)出現(xiàn)的） 求解的個位數(shù)字，也就是求解這個數(shù)字除以10的余數(shù)，根據(jù)乘積的余數(shù)的余數(shù)等于余數(shù)的乘積， ； ； ； 余數(shù)是9,1循環(huán)出現(xiàn)的，當(dāng)是偶數(shù)個2009相乘的時候除以10的余數(shù)是1，也就是各位數(shù)字是1 . 答案：1 應(yīng)用題與雜題模塊課后作業(yè)題詳解 1、 盒子里有紅球和白球若干， 若每次從里面拿出 1 個紅球和 1 個白球， 那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球時， 還剩 下白球 50 個， 若每次拿出 1 個紅球和 3 個白球， 則拿到?jīng)]有白球時， 還剩下 50 個紅球， 那么盒子 里有紅球和白球各多少個？ 【解析】 盈虧問題變形 從里面拿出 1 個紅球和 1 個白球，那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球時，還剩下白球 50 個; 若每次拿出 1 個紅球和 3 個白球，則拿到?jīng)]有白球時，還剩下 50 個紅球， 那我們繼續(xù)拿， 再拿 50 次， 則當(dāng)紅球拿完的時候，還缺少白球 150 個， 此時我們可以看出紅球和白球 1:1 配對的時候還剩余白球 50 個， 當(dāng)白球和紅球 1:3 配對的時候白 球還缺少 150 個,兩次中白球的差距為 2 份， 相差的個數(shù)為 20+150=200 個. 所以紅球的個數(shù)為（150+50）/2=100，所以白球的數(shù)量為 100+50=150. 2、 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚飯，晚飯后每分鐘比晚飯前多打 32 個字，前后共打 50 分鐘， 前 25 分鐘比后 25 分鐘少打 640 個字，文稿一共字. 【解析】 工程問題 因?yàn)轱埱按蛄艘话耄?飯后打一半，總共打了 50 分鐘，所以打前一半所用的時間超過 25 分鐘， 前 25 分鐘比后 25 分鐘少打 640 個字， 而飯后每分鐘又要多打 32 個字， 則飯后打了 640/32=20 分 鐘，飯前打了 30 分鐘， 前 20 分鐘比后 20 分鐘少打 640 個字， 因?yàn)轱埱按蛄艘话?，飯后打一半? 所飯前 10 分鐘打了 640 個字， 所以飯前 30 分鐘總共打了 640x3=1920 個字， 總共打了 3840 個 字。 3、 一項(xiàng)工程， 甲單獨(dú)做 40 天完成， 乙單獨(dú)做 60 天完成． 現(xiàn)在兩人吅作， 中間甲因病休息了若干天， 所以經(jīng)過了 27 天才完成． 問甲休息了幾天？ 【解析】 工程問題。 設(shè)工作總量為“1”, 那么甲的工作效率為 1/40,乙的工作效率為 1/60,, 則乙工作 27 天完成的工作量為 27x1/60=9/20, 甲的工作量為 1-9/20=11/20, 所以甲工作的時間為（11/20）/（1/40） =22 天， 所以甲休息了 27-22=5 天。 方法二，如果甲不休息， 甲乙吅作的工作效率為 1/40+1/60=1/24, 則 27 天他們共完成 27/24,超過工作總量 27/24-1=1/8, 這是甲休息的時間為（1/8）/（1/40） =5 天 4、 在甲容器中裝有濃度為 10.5%的鹽水 90 毫升，乙容器中裝有濃度為 11.7%的鹽水 210 毫升．如 果先從甲、乙容器中倒出同樣多的鹽水，再將它們分別倒入對方的容器內(nèi)攪勻，結(jié)果得到濃度相同的 鹽水． 甲、 乙容器各倒出了多少毫升鹽水？ 【解析】 濃度問題 設(shè)相同的濃度為 A，A 相當(dāng)遇于 90 毫升 10.5%的鹽水同 210 毫升 11.7%的鹽水后的濃度， 這是濃 度升 10.5%和 11.7%的鹽水的比為 90:210=3:7, 甲倒出的鹽水為 B，乙也倒入鹽水也為 B， 那么甲容器中濃度為 10.5%溶液（90-B）升和 11.7% 的鹽水 B 升的比例也為 3:7，即 90-B：B=3:7， 7x（90-B） =3xB 所以 B=63 升. 5、要把 61 個乒乓球分別裝在若干個乒乓球盒中,每個盒子最多可以裝 5 個乒乓球,問:至少有多少個盒 子中的乒乓球的數(shù)目相同? 【解析】 抽屜原理 每個盒子最多可以裝 5 個乒乓球， 那么盒子中可以裝 1 個，2 個，3 個，4 個，5 個.把這 5 中情況 組吅在一起看成一組， 也就是說一組中含有 5 個盒子， 這五個盒子設(shè)為 ABCDE,， 根據(jù)最不利原則， A 抽屜放一個，B 抽屜放兩個，C 抽屜放 3 個， D 抽屜放 4 個，E 抽屜放 5 個。 這樣， 一組就 5 個 盒子中一共 15 個乒乓球，沒有一個盒子中乒乓球的數(shù)目相同，再增加一個球，就有乒乓球數(shù)目相 同的盒子. 因?yàn)?61/15=41，61 個球總共分成 4 組，還會多一個球。四組中每組都有相同的盒子，一共有 4 個盒子中乒乓球數(shù)目相同。 4+1=5，所以至少 5 個盒子中的乒乓球的數(shù)目相同. 5、學(xué)而思三年級某班同學(xué)上體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6 行多5人，問上體育課的同學(xué)最少 人． 【解析】設(shè)上體育課的學(xué)生最少有人： 排成3行少1人，； 排成4行多3人，也就是排成4行少1人，； 排成5行少1人，； 排成6行多5人，也就是排成6行少1人，, ，最少為59， 所以上體育課的同學(xué)最少59人. 應(yīng)用題與雜題模塊課后作業(yè)題詳解 1、盒子里有紅球和白球若干，若每次從里面拿出1個紅球和1個白球，那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球時，還剩下白球50個，若每次拿出1個紅球和3個白球，則拿到?jīng)]有白球時，還剩下50個紅球，那么盒子里有紅球和白球各多少個？ 【解析】盈虧問題變形 從里面拿出1個紅球和1個白球，那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球時，還剩下白球50個; 若每次拿出1個紅球和3個白球，則拿到?jīng)]有白球時，還剩下50個紅球，那我們繼續(xù)拿，再拿50次，則當(dāng)紅球拿完的時候，還缺少白球150個， 此時我們可以看出紅球和白球1:1配對的時候還剩余白球50個，當(dāng)白球和紅球1:3配對的時候白球還缺少150個,兩次中白球的差距為2份，相差的個數(shù)為20+150=200個. 所以紅球的個數(shù)為（150+50）/2=100，所以白球的數(shù)量為100+50=150. 2、甲打一篇文稿，打完一半后吃晚飯，晚飯后每分鐘比晚飯前多打32個字，前后共打50分鐘，前25分鐘比后25分鐘少打640個字，文稿一共字. 【解析】工程問題 因?yàn)轱埱按蛄艘话耄埡蟠蛞话?，總共打?0分鐘，所以打前一半所用的時間超過25分鐘，前25分鐘比后25分鐘少打640個字，而飯后每分鐘又要多打32個字，則飯后打了640/32=20分鐘，飯前打了30分鐘，前20分鐘比后20分鐘少打640個字，因?yàn)轱埱按蛄艘话?，飯后打一半，所飯?0分鐘打了640個字，所以飯前30分鐘總共打了640x3=1920個字，總共打了3840個字。 3、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做40天完成，乙單獨(dú)做60天完成．現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天，所以經(jīng)過了27天才完成．問甲休息了幾天？ 【解析】工程問題。 設(shè)工作總量為“1”, 那么甲的工作效率為1/40,乙的工作效率為1/60,, 則乙工作27天完成的工作量為27x1/60=9/20, 甲的工作量為1-9/20=11/20, 所以甲工作的時間為（11/20）/（1/40）=22天， 所以甲休息了27-22=5天。 方法二，如果甲不休息，甲乙合作的工作效率為1/40+1/60=1/24, 則27天他們共完成27/24,超過工作總量27/24-1=1/8, 這是甲休息的時間為（1/8）/（1/40）=5天 4、在甲容器中裝有濃度為10.5%的鹽水90毫升，乙容器中裝有濃度為11.7%的鹽水210毫升．如果先從甲、乙容器中倒出同樣多的鹽水，再將它們分別倒入對方的容器內(nèi)攪勻，結(jié)果得到濃度相同的鹽水．甲、乙容器各倒出了多少毫升鹽水？ 【解析】濃度問題 設(shè)相同的濃度為A，A相當(dāng)遇于90毫升10.5%的鹽水同210毫升11.7%的鹽水后的濃度，這是濃度升10.5%和11.7%的鹽水的比為90:210=3:7, 甲倒出的鹽水為B，乙也倒入鹽水也為B，那么甲容器中濃度為10.5%溶液（90-B）升和11.7%的鹽水B升的比例也為3:7，即90-B：B=3:7， 7x（90-B）=3xB所以B=63升. 5、要把61個乒乓球分別裝在若干個乒乓球盒中,每個盒子最多可以裝5個乒乓球,問:至少有多少個盒子中的乒乓球的數(shù)目相同? 【解析】抽屜原理 每個盒子最多可以裝5個乒乓球，那么盒子中可以裝1個，2個，3個，4個，5個.把這5中情況組合在一起看成一組，也就是說一組中含有5個盒子，這五個盒子設(shè)為ABCDE,，根據(jù)最不利原則，A抽屜放一個，B抽屜放兩個，C抽屜放3個，D抽屜放4個，E抽屜放5個。這樣，一組就5個盒子中一共15個乒乓球，沒有一個盒子中乒乓球的數(shù)目相同，再增加一個球，就有乒乓球數(shù)目相同的盒子. 因?yàn)?1/15=41，61個球總共分成4組，還會多一個球。四組中每組都有相同的盒子，一共有4個盒子中乒乓球數(shù)目相同。4+1=5，所以至少5個盒子中的乒乓球的數(shù)目相同.