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江西省南昌市2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 （江西師大附中使用）高三理科數(shù)學(xué)分析 一、整體解讀 試卷緊扣教材和考試說明，從考生熟悉的基礎(chǔ)知識入手，多角度、多層次地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維能力及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解能力，立足基礎(chǔ)，先易后難，難易適中，強調(diào)應(yīng)用，不偏不怪，達(dá)到了“考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)”的目標(biāo)。試卷所涉及的知識內(nèi)容都在考試大綱的范圍內(nèi)，幾乎覆蓋了高中所學(xué)知識的全部重要內(nèi)容，體現(xiàn)了“重點知識重點考查”的原則。 1．回歸教材，注重基礎(chǔ) 試卷遵循了考查基礎(chǔ)知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分知識點均有涉及，其中應(yīng)用題與抗戰(zhàn)勝利70周年為背景，把愛國主義教育滲透到試題當(dāng)中，使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的育才價值，所有這些題目的設(shè)計都回歸教材和中學(xué)教學(xué)實際，操作性強。 2．適當(dāng)設(shè)置題目難度與區(qū)分度 選擇題第12題和填空題第16題以及解答題的第21題，都是綜合性問題，難度較大，學(xué)生不僅要有較強的分析問題和解決問題的能力，以及扎實深厚的數(shù)學(xué)基本功，而且還要掌握必須的數(shù)學(xué)思想與方法，否則在有限的時間內(nèi)，很難完成。 3．布局合理，考查全面，著重數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的考察 在選擇題，填空題，解答題和三選一問題中，試卷均對高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容進行了反復(fù)考查。包括函數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等幾大版塊問題。這些問題都是以知識為載體，立意于能力，讓數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方式貫穿于整個試題的解答過程之中。 二、亮點試題分析 1．【試卷原題】11.已知是單位圓上互不相同的三點，且滿足，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【考查方向】本題主要考查了平面向量的線性運算及向量的數(shù)量積等知識，是向量與三角的典型綜合題。解法較多，屬于較難題，得分率較低。 【易錯點】1．不能正確用，，表示其它向量。 2．找不出與的夾角和與的夾角的倍數(shù)關(guān)系。 【解題思路】1．把向量用，，表示出來。 2．把求最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解。 【解析】設(shè)單位圓的圓心為O，由得，，因為，所以有，則 設(shè)與的夾角為，則與的夾角為2 所以， 即，的最小值為，故選B。 【舉一反三】 【相似較難試題】【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知 ,動點和分別在線段和上,且,則的最小值為 . 【試題分析】本題主要考查向量的幾何運算、向量的數(shù)量積與基本不等式.運用向量的幾何運算求，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想，再運用向量數(shù)量積的定義計算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)定義的運用，再利用基本不等式求最小值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力.是思維能力與計算能力的綜合體現(xiàn). 【答案】 【解析】因為，， ，， 當(dāng)且僅當(dāng)即時的最小值為. 2．【試卷原題】20. （本小題滿分12分）已知拋物線的焦點，其準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為． （Ⅰ）證明：點在直線上； （Ⅱ）設(shè)，求內(nèi)切圓的方程. 【考查方向】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，韋達(dá)定理，點到直線距離公式等知識，考查了解析幾何設(shè)而不求和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于較難題。 【易錯點】1．設(shè)直線的方程為，致使解法不嚴(yán)密。 2．不能正確運用韋達(dá)定理，設(shè)而不求，使得運算繁瑣，最后得不到正確答案。 【解題思路】1．設(shè)出點的坐標(biāo)，列出方程。 2．利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求，簡化運算過程。 3．根據(jù)圓的性質(zhì)，巧用點到直線的距離公式求解。 【解析】（Ⅰ）由題可知，拋物線的方程為 則可設(shè)直線的方程為，， 故整理得，故 則直線的方程為即 令，得，所以在直線上. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以， 又， 故， 則，故直線的方程為或 ， 故直線的方程或，又為的平分線， 故可設(shè)圓心，到直線及的距離分別為-------------10分 由得或（舍去）.故圓的半徑為 所以圓的方程為 【舉一反三】 【相似較難試題】【2014高考全國，22】 已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|＝|PQ|. （1）求C的方程； （2）過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程． 【試題分析】本題主要考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,韋達(dá)定理,弦長公式的應(yīng)用,解法及所涉及的知識和上題基本相同. 【答案】（1）y2＝4x. （2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【解析】（1）設(shè)Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝， 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋. 由題設(shè)得＋＝，解得p＝－2(舍去)或p＝2， 所以C的方程為y2＝4x. （2）依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故線段的AB的中點為D(2m2＋1，2m)， |AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又直線l ′的斜率為－m， 所以l ′的方程為x＝－y＋2m2＋3. 將上式代入y2＝4x， 并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)， 則y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故線段MN的中點為E， |MN|＝|y3－y4|＝. 由于線段MN垂直平分線段AB， 故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|＝|BE|＝|MN|， 從而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 4(m2＋1)2＋＋＝ ， 化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 三、考卷比較 本試卷新課標(biāo)全國卷Ⅰ相比較，基本相似，具體表現(xiàn)在以下方面： 1. 對學(xué)生的考查要求上完全一致。 即在考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，既考查了考生對中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，又考查了對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，符合考試大綱所提倡的“高考應(yīng)有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度”的原則． 2. 試題結(jié)構(gòu)形式大體相同，即選擇題12個，每題5分，填空題4 個，每題5分，解答題8個（必做題5個），其中第22，23，24題是三選一題。題型分值完全一樣。選擇題、填空題考查了復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、簡易邏輯、概率、解析幾何、向量、框圖、二項式定理、線性規(guī)劃等知識點，大部分屬于常規(guī)題型，是學(xué)生在平時訓(xùn)練中常見的類型．解答題中仍涵蓋了數(shù)列，三角函數(shù)，立體何，解析幾何，導(dǎo)數(shù)等重點內(nèi)容。 3. 在考查范圍上略有不同，如本試卷第3題，是一個積分題，盡管簡單，但全國卷已經(jīng)不考查了。 四、本考試卷考點分析表（考點/知識點，難易程度、分值、解題方式、易錯點、是否區(qū)分度題） 題號 *考點 *試題難度 *分值 *解題方式 *易錯率 區(qū)分度 1 復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算 易 5 直接計算 25% 0.85 2 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數(shù)的圖象與圖象變化 中 5 數(shù)形結(jié)合 65% 0.60 3 定積分、定積分的計算 易 5 正面解 30% 0.75 4 條件語句、選擇結(jié)構(gòu) 中 5 正面解 55% 0.50 5 裂項相消法求和、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 難 5 歸納推理 85% 0.40 6 其它不等式的解法、不等式的綜合應(yīng)用 難 5 數(shù)形結(jié)合 綜合法 80% 0.45 7 棱柱、棱錐、棱臺的體積、簡單空間圖形的三視圖、由三視圖還原實物圖 中 5 數(shù)形結(jié)合 85% 0.40 8 求二項展開式的指定項或指定項的系數(shù)、等差數(shù)列的基本運算、數(shù)列與其它知識的綜合問題 中 5 運用公式計算 70% 0.45 9 不等式恒成立問題、不等式與函數(shù)的綜合問題 中 5 化歸與轉(zhuǎn)化 綜合法 70% 0.50 10 雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線中的范圍、最值問題 難 5 數(shù)形結(jié)合 代數(shù)運算 演繹推理 85% 0.40 11 向量在幾何中的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的運算、向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義 難 5 數(shù)形結(jié)合 分析法 88% 0.35 12 指數(shù)函數(shù)綜合題、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 難 5 數(shù)形結(jié)合 綜合法 分析法 90% 0.30 13 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 易 5 正面解 30% 0.70 14 兩角和與差的正弦函數(shù)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用、三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值 中 5 正面解 70% 0.40 15 古典概型的概率、點與圓的位置關(guān)系、兩條直線平行的判定 難 5 化歸與轉(zhuǎn)化 代數(shù)運算 85% 0.35 16 向量在幾何中的應(yīng)用、平面向量的綜合題、三角形中的幾何計算 難 5 數(shù)形結(jié)合 化歸與轉(zhuǎn)化 建坐標(biāo)系法 90% 0.30 17 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的應(yīng)用、兩角和與差的正切函數(shù) 易 12 直接解法 數(shù)形結(jié)合 邏輯推理 30% 0.75 18 離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)、概率的應(yīng)用、離散型隨機變量及其分布列、均值與方差 中 12 分析法 代數(shù)計算 70% 0.55 19 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)、線面角和二面角的求法 中 12 數(shù)形結(jié)合 邏輯推理 70% 0.45 20 拋物線的定義及應(yīng)用、直線、圓及圓錐曲線的交匯問題、圓方程的綜合應(yīng)用 難 12 數(shù)形結(jié)合 等價變換 代數(shù)運算 83% 0.40 21 導(dǎo)數(shù)的運算、不等式恒成立問題、函數(shù)的最值及其幾何意義、不等式與函數(shù)的綜合問題 難 12 分析法 數(shù)形結(jié)合 演繹推理 97% 0.26 22 圓的切線的性質(zhì)定理的證明、與圓有關(guān)的比例線段 中 10 數(shù)形結(jié)合 邏輯推理 70% 0.45 23 直線的參數(shù)方程、簡單曲線的極坐標(biāo)方程 中 10 數(shù)形結(jié)合 等價轉(zhuǎn)化 70% 0.40 24 絕對值不等式、不等式的基本性質(zhì) 中 10 分析法 70% 0.45