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8.7 立體幾何中的向量方法（Ⅱ）----求空間角與距離 一、填空題 1．正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且＝，N為B1B的中點(diǎn)，則||為_(kāi)_______． 解析　以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)， C1(0，a，a)，N. 設(shè)M(x，y，z)， ∵點(diǎn)M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　a 2．在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為_(kāi)_______． 解析　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為 z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，所以sin〈，〉＝. 答案　 3．兩平行平面α，β分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是________． 解析 兩平面的一個(gè)單位法向量n0＝，故兩平面間的距離 d＝|n0|＝. 答案　 4．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______． 解析　建立坐標(biāo)系如圖， 則A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案　 5．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是________． 解析　建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，＝0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直． 答案　異面垂直 6．已知直二面角αlβ，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝________. 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　 7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB＝BC，則GB與EF所成的角為_(kāi)_______． 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz， 設(shè)DA＝1，由已知條件 G，B，E，F(xiàn)，＝， ＝ cos〈，〉＝＝0，則⊥. 答案　90 8．正四棱錐S ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為_(kāi)_______． 解析　如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 則＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60， ∴直線BC與平面PAC的夾角為90－60＝30. 答案　30 9．已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)_______． 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA＝1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn) ＝，＝ 設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ 由 令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 10．如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為_(kāi)_______． 解析　以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖： 設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則P，C(0，a,0)， 則MC＝， MP＝. 由MP＝MC得x＝2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y＝x的一部分． 答案　① 11．已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段BD1上，當(dāng)∠APC最大時(shí)，三棱錐PABC的體積為_(kāi)_______． 解析　以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)． 設(shè)B＝λ，可得：P(λ，λ，λ)． 再由cos ∠APC＝可求得 當(dāng)λ＝時(shí)，∠APC最大． 故VPABC＝11＝. 答案　 12．P是二面角αABβ棱上的一點(diǎn)，分別在α、β平面上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45，∠MPN＝60，那么二面角αABβ的大小為_(kāi)_______． 解析　不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45， ∴PE＝a，PF＝b， ∴＝(－)(－) ＝－－＋ ＝abcos 60－abcos 45－abcos 45＋ab ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴二面角αABβ的大小為90. 答案　90 13．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則 λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案?。?或 二、解答題 14. 如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45. (1)求證：平面PAB⊥平面PAD； (2)設(shè)AB＝AP.若直線PB與平面PCD所成的角為30，求線段AB的長(zhǎng)． 解析：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD， AB?平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz(如圖)． 在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交AD于點(diǎn)E，則CE⊥AD. 在Rt△CDE中，DE＝CDcos45＝1，CE＝CDsin45＝1. 設(shè)AB＝AP＝t，則B(t,0,0)，P(0,0，t)． 由AB＋AD＝4得AD＝4－t， 所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)， ＝(0,4－t，－t)． 設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 由n⊥，n⊥，得 取x＝t，得平面PCD的一個(gè)法向量n＝(t，t,4－t)． 又＝(t,0，－t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30得 cos60＝||，即＝， 解得t＝或t＝4(舍去，因?yàn)锳D＝4－t>0)， 所以AB＝. 15．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90，∠BAC＝30，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點(diǎn)． (1)求證：A1B⊥AM； (2)求二面角B AMC的平面角的大?。? 解析 (1)證明　以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，如圖所示， 則B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M. 所以＝(1，－，－)，＝. 因?yàn)椋?0＋(－)(－)＋(－)＝0，所以A1B⊥AM. (2)因?yàn)锳BC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC. 因?yàn)椤螦CB＝90，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC. 所以是平面AMC的一個(gè)法向量，＝(1,0,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BAM的一個(gè)法向量， ＝(－1，，0)，＝. 由得令x＝，得y＝，z＝2. 所以n＝(，，2) 因?yàn)閨|＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，因此二面角B AMC的大小為45. 16．如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點(diǎn))． (1)如果AE＝C1F，試證明B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)在(1)的條件下，是否存在一點(diǎn)E，使得直線A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，確定點(diǎn)E的位置；如果不存在，試說(shuō)明理由． 解析 (1)證明　以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 設(shè)AE＝GF＝t. 則B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(xiàn)(1,1,1－t)，其中0≤t≤1. 則＝＝(－1,0，t)，所以BE∥FD1. 所以B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2) ＝(－1,0,1)，＝(－1,0，t)，＝(0,1,1－t)， 可求平面BFE的法向量n＝(t，t－1,1)， 若直線A1B與平面BFE所成的角等于，則有sin＝， 即＝，解得t＝0，所以點(diǎn)E存在，且坐標(biāo)為E(0,0,0)，即E在頂點(diǎn)A處． 17．如圖所示，在四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC. (1)證明：AD⊥CE； (2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角CADE的大?。? 解析 (1)證明　取BC中點(diǎn)O， 連接AO，則AO⊥BC 由已知條件AO⊥平面BCDE， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則A(0,0，t)，D(1，，0) C(1,0,0)，E(－1，，0)， ＝(1，，－t) ＝(－2，，0) 則＝0，因此AD⊥CE. (2)作CF⊥AD垂足為F，連接EF， 則AD⊥平面CEF從而EF⊥AD 則∠CFE為二面角CADE的平面角． 在Rt△ACD中，CF＝＝， 在等腰△ADE中，EF＝， cos∠CFE＝＝－. ∴二面角C-AD-E的余弦值為－. 18．在正方體ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且 D1E＝λEO. (1)若λ＝1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值； (2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值． 解析　(1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以，，為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz. 則A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， (1)由題意知E. 于是＝，＝(0，－1,1)． 由cos〈，〉＝＝. 所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面CD1O的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 由m＝0，m＝0， 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m＝(1,1,1)． 由D1E＝λEO， 則E， ＝. 又設(shè)平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 由n＝0，n＝0， 得 取x2＝2，得z2＝－λ，即n＝(2,0，－λ)． 因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1O， 所以mn＝0，得λ＝2.