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離散型隨機(jī)變量的均值教學(xué)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)人：孫國(guó)林 一、教學(xué)預(yù)設(shè) 1．教學(xué)標(biāo)準(zhǔn) （1）通過(guò)實(shí)例幫助學(xué)生體會(huì)取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值含義； （2）通過(guò)比較使學(xué)生認(rèn)識(shí)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的區(qū)別與聯(lián)系，并明確隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來(lái)越接近隨機(jī)變量的均值； （3）在對(duì)具體實(shí)例的分析中，體會(huì)離散型隨機(jī)變量分布列是全面的刻畫(huà)了它的取值規(guī)律，而隨機(jī)變量的均值則是從一個(gè)側(cè)面刻畫(huà)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn)； 2．標(biāo)準(zhǔn)解析 （1）內(nèi)容解析：本課是一節(jié)概念新授課，數(shù)學(xué)期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做鋪墊．同時(shí)，它在市場(chǎng)預(yù)測(cè)、經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)今后學(xué)習(xí)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響． 根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念． （2）學(xué)情診斷：本節(jié)是在《必修》中學(xué)習(xí)了樣本的平均數(shù)和方差的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值．離散型隨機(jī)變量可以看成是刻畫(huà)某一總體的量，它的均值也就是總體的均值，一般它們是未知的，但都是確定的的常數(shù)；樣本的平均值是隨機(jī)變量．對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均數(shù)越來(lái)越接近于總體的平均值．本節(jié)重點(diǎn)是用均值解決實(shí)際問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中使學(xué)生理解均值的含義．問(wèn)題1從平均的角度引入隨機(jī)變量均值的概念，直觀上通過(guò)分析1kg混合糖果的組成，學(xué)生容易得到合理的價(jià)格，即價(jià)格是三種糖果價(jià)格的加權(quán)平均，至此問(wèn)題已解決．問(wèn)題2考慮1kg的糖果如何從混合糖果中取出，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探討，就把混合糖的合理價(jià)格理解為隨機(jī)變量的值的加權(quán)平均，這個(gè)權(quán)就是相應(yīng)的概率，把這個(gè)想法抽象出來(lái)，就可以得到隨機(jī)變量均值的概念．問(wèn)題3有助于理解隨機(jī)變量均值的含義，它可以看成是這個(gè)隨機(jī)變量的均值，即隨著觀察這個(gè)隨機(jī)變量次數(shù)的增加，所得觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值越來(lái)越接近于這個(gè)隨機(jī)變量的均值． 根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望． （3）教學(xué)對(duì)策：利用思考欄目中的問(wèn)題直接提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生理解混合糖果合理價(jià)格表達(dá)式中權(quán)的含義，由此引入取有限的離散型隨機(jī)變量的均值的定義．這里的平均水平的含義是：反復(fù)對(duì)這個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立觀測(cè)，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，得到的各個(gè)觀測(cè)值的平均值越來(lái)越接近于這個(gè)隨機(jī)變量的均值． （4）教學(xué)流程： 創(chuàng)設(shè)情境 分析探究 形成概念 簡(jiǎn)單應(yīng)用 歸納小結(jié) 二、教學(xué)實(shí)錄 1．問(wèn)題情境，引入新課 某商場(chǎng)為滿足市場(chǎng)需求要將單價(jià)分別為18，24，36 的3種糖果按3：2：1的比例混合銷(xiāo)售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？ 【問(wèn)題探究】 設(shè)問(wèn)1：所定價(jià)格為元嗎？ 【評(píng)析】理解權(quán)重 設(shè)問(wèn)2：假如我從這種混合糖果中隨機(jī)選取一顆，記為這顆糖果的單價(jià)（）你能寫(xiě)出的分布列嗎？ 【評(píng)析】啟發(fā)學(xué)生思考加權(quán)平均和權(quán)數(shù)的含義． 設(shè)問(wèn)3：如果你買(mǎi)了1kg這種混合糖果，你要付多少錢(qián)？而你買(mǎi)的糖果的實(shí)際價(jià)值剛好是23元嗎？ 【評(píng)析】理解樣本平均值與隨機(jī)變量均值的差異． 【概念建構(gòu)】 （1）均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 … … … … 則稱(chēng)…… 為ξ的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望． （2）均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． （3）平均數(shù)、均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令，則有，，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱(chēng)為平均數(shù)、均值． 【學(xué)以致用】 例1：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的期望。 師：隨機(jī)變量ξ 的期望與 ξ 可能取值的算術(shù)平均數(shù)何時(shí)相等? 生：ξ 取不同數(shù)值時(shí)的概率都相等時(shí)，隨機(jī)變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)相等。 變式：將所得點(diǎn)數(shù)的2倍加1作為得分分?jǐn)?shù)，即，求的數(shù)學(xué)期望. 師：的期望與ξ 的期望有什么樣的關(guān)系？ 生：有一定的線性關(guān)系，的期望等于ξ 的期望的2倍加1. 師：你們能推導(dǎo)出一般形式嗎？ 【問(wèn)題拓展】 均值或期望的一個(gè)性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，它們的分布列為 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是…… ＝……)……) ＝， 例2：根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)工期的影響如下表： 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求：工期延誤天數(shù) Y 的均值。 解：由已知條件和概率的加法公式有： 所以Y的分布為： Y 0 2 6 10 p 0.3 0.4 0.2 0.1 故工期延誤天數(shù)Y的值為3 【評(píng)析】 生活中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)知識(shí),數(shù)學(xué)知識(shí)又能解決生活中的問(wèn)題。例題與生活密切聯(lián)系,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。 例3. 某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙，丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的。記x為該畢業(yè)生得到的面試公司個(gè)數(shù)。若， 求隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望。 師：上例題能否歸納出求解期望或均值的解題步驟? 生：歸納求離散型隨機(jī)變量期望的步驟： ①確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。 ②寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否。 ③求出期望。 【評(píng)析】 本題除了注重知識(shí)，還注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路和方法的總結(jié)，可切實(shí)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，并讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣。 【課堂小結(jié)】 師：你有哪些收獲？ 生：相互討論，小組總結(jié)：“一個(gè)概念，兩個(gè)注意，三個(gè)步驟”。 (1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； (2)樣本平均值和隨機(jī)變量均值的區(qū)別與聯(lián)系； (3)求離散型隨機(jī)變量的期望的基本步驟： ①理解的意義，寫(xiě)出可能取的全部值； ②求取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列； ③根據(jù)分布列，由期望的定義求出．公式。 三、教學(xué)反思 本節(jié)課在情境創(chuàng)設(shè)，例題設(shè)置中注重與實(shí)際生活聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在教學(xué)中注意觀察學(xué)生是否置身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，是否興趣濃厚、探究積極，并愿意與老師、同伴交流自己的想法．通過(guò)學(xué)生回答問(wèn)題，舉例，歸納總結(jié)等方面反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用．教師根據(jù)反饋信息適時(shí)點(diǎn)撥，同時(shí)從新課標(biāo)評(píng)價(jià)理念出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)、充分質(zhì)疑，并抓住學(xué)生在語(yǔ)言、思想等方面的亮點(diǎn)給予表?yè)P(yáng)，樹(shù)立自信心，幫助他們積極向上．讓學(xué)生學(xué)以致用，真正感受到數(shù)學(xué)無(wú)窮的魅力所在． 成功之處：①學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,這一過(guò)程遵循由特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生歸納,抽象的能力. ②通過(guò)實(shí)際應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，同時(shí)加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解． 改進(jìn)之處：本節(jié)課理解應(yīng)用的內(nèi)容有點(diǎn)偏多，可根據(jù)不同班級(jí)的學(xué)生情況適當(dāng)進(jìn)行刪減． 四、教學(xué)點(diǎn)評(píng) 通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題．通過(guò)概念的構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括等合情推理能力．再通過(guò)實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．“授之以魚(yú)，不如授之以漁”，注重發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題．