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2016河北衡水中學高三文數(shù)模擬卷一 1．已知全集，集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 2．設(shè)復數(shù)的共軛復數(shù)為，且滿足，為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是（ ） A． B．2 C． D．-2 3．如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為（ ） A． B． C． D．無法計算 4．已知，，則使成立的一個充分不必要條件是（ ） A． B． C． D． 5．定義運算為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的值，則的值為（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，則向量與向量的夾角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．設(shè)函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ） A． B．3 C．6 D．9 8．一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為（ ） A． B． C． D． 9．若整數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（ ） A．13 B．16 C．17 D．18 10．過拋物線的焦點作傾斜角為60的直線交拋物線于，兩點，且，則的值為（ ） A．3 B．2 C． D． 11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 12．已知函數(shù)（注：是自然對數(shù)的底數(shù)），方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 二、填空題（每小題分，共分） 13．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線斜率為____________. 14．橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為.若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于__________. 15．已知，觀察下列各式：，，，…，類比得，則________． 16．若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則________. 三、解答題（共?分） 17．如圖，在中，，，是邊上一點. （1）求面積的最大值； （2）若，的面積為4，為銳角，求的長. 18．如圖所示，在四棱錐中，底面為菱形，且，，為的中點，. （1）求證：平面平面； （2）若，四棱錐的體積為，求三棱錐的體積. 19．以下莖葉圖記錄了甲，乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以表示. （1）如果，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； （2）如果，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率.（注：方差，其中為，，……，的平均數(shù)） 20．設(shè)圓以拋物線的焦點為圓心，且與拋物線有且只有一個公共點. （1）求圓的方程； （2）過點作圓的兩條切線與拋物線分別交于點，和，，求經(jīng)過，，,四點的圓的方程. 21．已知函數(shù)，，且曲線與軸切于原點. （1）求實數(shù)，的值； （2）若恒成立，求的值. 22．如圖，為四邊形外接圓的切線，的延長線交于點，與相交于點，且. （1）求證：； （2）若，，，求的長. 23．在直角坐標系中，已知點，直線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線和曲線的交點為. （1）求直線和曲線的普通方程； （2）求. 24．已知函數(shù)，，，，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個值為-2. （1）求整數(shù)的值； （2）若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方，求實數(shù)的取值范圍. 1．C. 【解析】 試題分析：由題意得，，，∴，∴，故選C. 考點：集合的運算． 2．A. 【解析】 試題分析：由題意得，，設(shè)，∴， ∴，即虛部為，故選A. 考點：復數(shù)的計算． 3．B. 【解析】 試題分析：設(shè)陰影部分的面積為，由幾何概型可知，故選B. 考點：幾何概型． 4．C. 【解析】 試題分析：由題意得，，故充分不必要條件應選C，選比，故選C. 考點：1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分必要條件． 5．D. 【解析】 試題分析：分析程序框圖可知，應輸出，故選D. 考點：1.程序框圖；2.三角函數(shù)． 6．A. 【解析】 試題分析：由題意得，，又∵，∴， ∴，故選A. 考點：平面向量數(shù)量積． 7．B. 【解析】 試題分析：向右平移個單位后，得到， 由題意得，，，故取，即的最小值是，故選B. 考點：三角函數(shù)的圖象變換 8．C. 【解析】 試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為如下圖所示的三棱錐，其中底面是以為斜邊的等腰直角三角形，平面平面，故球心在底面的投影為的外心，即的中點，如圖所示，則可知，故選C. 考點：1.三視圖；2、三棱錐的外接球． 9．B. 【解析】 試題分析：如下圖所示，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，則可知當，時，，故選B. 考點：線性規(guī)劃． 10．A. 【解析】 試題分析：根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)可知，，故選A. 考點：拋物線焦點弦的性質(zhì)． 【名師點睛】若為拋物線的焦點弦，為拋物線焦點，，兩點的坐標分別為，，則：，，以為直徑的圓與拋物線的準線相切，. 11．D. 【解析】 試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，， ∴，∵，， ∴，當且僅當時，等號成立，即有最小值，故選D. 考點：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.基本不等式求最值． 【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(必要時，還要考慮常數(shù)項)必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號成立的條件，使待求式能取到最大或最小值. 12．B. 【解析】 試題分析：當時：，，故在上單調(diào)遞增， 當時，，，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減， ∴的函數(shù)圖象大致如下圖所示，從而由題意可知，關(guān)于的一元二次二次方程的兩根，只需滿足，只需，即實數(shù)的取值范圍是，故選B. 考點：函數(shù)與方程綜合題． 【名師點睛】函數(shù)與方程綜合題，一般需結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值等性質(zhì)進行判斷，對于解析式較復雜的函數(shù)的零點，可根據(jù)解析式特征，利用函數(shù)與方程思想化為的形式，通過考察兩個函數(shù)圖象的交點來求，通過圖形直觀研究方程實數(shù)解的個數(shù)，是常用的討論方程解的一種方法． 13．. 【解析】 試題分析：，即切線斜率為，故填：. 考點：導數(shù)的運用． 14．. 【解析】 試題分析：如下圖所示，則可知直線的傾斜角為，且過點，∴， ∴，，∴，故填：. 考點：橢圓的標準方程及其性質(zhì)． 15．. 【解析】 試題分析：分析等式規(guī)律可知，第個不等式中，故填：. 考點：歸納推理． 【名師點睛】歸納推理的前提是一些特殊的情況，所以歸納推理要在觀察、經(jīng)驗、實驗的基礎(chǔ)上進行；歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因此所得結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的． 16．. 【解析】 試題分析：記，∴， ∴，令，∴，∴，∴， ∴，故填：. 考點：1.數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列求和. 【名師點睛】任何一個數(shù)列，它的前項和與通項都存在關(guān)系：，若適合，則應把它們統(tǒng)一起來，否則就用分段函數(shù)表示.，另外一種快速判斷技巧是利用是否為來判斷：若，則，否則不符合，這在解小題時比較有用. 17．（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)已知條件建立面積的關(guān)系式，利用基本不等式求最值即可；（2）結(jié)合正余弦定理即可求解. 試題解析：（1）∵在中，，，是邊上一點， ∴由余弦定理，得 . ∴，∴， ∴面積的最大值為； （2）設(shè)，在中， ∵，的面積為，為銳角， ∴，∴，， 由余弦定理，得， ∴ 考點：1.正余弦定理解三角形；2.不等式求最值． 18．（1）詳見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)已知條件證明平面，再利用面面垂直的判定即可得證；（2）利用棱錐的體積計算公式，求得底面積與高即可求解，或利用等積變換即可求解. 試題解析：（1）取的中點，連接，，，∵，∴， ∵底面為菱形，∴，又∵，分別為，的中點， ∴，∴，又，，∴平面， 則，∴平面，又平面，∴平面平面； （2）法一：連接，，設(shè)，由， 可得，，又底面為菱形，， ∴，由（1）可知，平面， 則， ∴，則，可得， ∵，∴. 法二：由題得，，又∵， ∴. 考點：1.面面垂直的判定與性質(zhì)；2.空間幾何體體積求解． 19．（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)以及平均數(shù)與方差的計算公式即可求解；（2）分別列出所有基本事件以及符合題意的基本事件的種數(shù)，利用古典概型即可求解. 試題解析：（1）當時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是，，，， ∴平均數(shù)，方差； （2）記甲組四名同學分別為，，，，他們植樹的棵數(shù)依次為，，，；乙組四名同學分別為，，，，他們植樹的棵數(shù)依次為，，，，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結(jié)果有個，即，，，，，，， ，，，，，，，，， 用表示“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為”這一事件，則中的結(jié)果有個，它們是，，，，故所示概率. 考點：1.莖葉圖；2.平均數(shù)與方差的計算；3.古典概型． 20．（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）設(shè)出圓的方程，根據(jù)題意求出半徑即可；（2）設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程，求得圓心坐標與半徑即可求解. 試題解析：（1）設(shè)圓的方程為， 將代入圓方程，得，∴（舍去），或， 又圓與拋物線有且只有一個公共點，當且僅當，即，滿足題意， 故所求圓的方程為； （2）設(shè)過點與圓相切的斜率為正的一條切線的切點為， 連接，則，且，，∴， 則直線的方程為，與聯(lián)立，得， 記直線與拋物線的兩個交點為，，則，， ，從而的垂直平分線的方程為， 令，得，由圓與拋物線的對稱性，可知圓的圓心為， ， 又點到直線的距離，∴圓的半徑， ∴圓的方程為. 考點：1.拋物線的標準方程及其性質(zhì)；2.圓的標準方程及其性質(zhì)． 【名師點睛】對于圓錐曲線的綜合問題，①要注意將曲線的定義性質(zhì)化，找出定義賦予的條件；②要重視利用圖形的幾何性質(zhì)解題(本書多處強調(diào))；③要靈活運用韋達定理、弦長公式、斜率公式、中點公式、判別式等解題，巧妙運用“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點差法”、“對稱轉(zhuǎn)換”等方法. 21．（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）求導，利用導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將不等式作進一步化簡，可得，分類討論，構(gòu)造函數(shù)，求導研究其單調(diào)性即可得到，和是方程的兩根，從而求解. 試題解析：（1） ∴，又∵，∴，； （2）不等式， 即，或， 令，，， 當時，；當時，， ∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴， 即，∴在上單調(diào)遞增，而， ∴；， ∴當或時，，同理可得，當時，. ∴由恒成立可知，，和是方程的兩根， ∴，，∴. 考點：導數(shù)的綜合運用． 【名師點睛】1．證明不等式問題可通過作差或作商構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)證明；2．求參數(shù)范圍問題的常用方法：（1）分離變量；（2）運用最值；3．方程根的問題：可化為研究相應函數(shù)的圖象，而圖象又歸結(jié)為極值點和單調(diào)區(qū)間的討論；4．高考中一些不等式的證明需要通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關(guān)鍵． 22．（1）詳見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先證明，再利用即可得證；（2）首先根據(jù)切割線定理求得，的長度，再利用即可求解. 試題解析：（1）由為切線，得，又∵，∴， ∴； （2）由切割線定理，得，， 由，得，又，∴，∴， 又知，∴， 又∵，，∴，∴. 考點：1.切線的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)． 23．（1）直線的普通方程是，曲線的普通方程是；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達定理即可求解. 【解析】 試題分析：（1）消去參數(shù)即可得到直線的普通方程，利用，，即可將拋物線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義即可求解. 試題解析：（1）直線的普通方程是，曲線的普通方程是； （2）將直線的標準參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線，可得， ∴. 考點：1.參數(shù)方程，極坐標方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化；2.直線與拋物線的位置關(guān)系． 24．（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）解不等式，根據(jù)整數(shù)解為，即可求解；（2）問題等價于恒成立，分類討論將絕對值號去掉即可求解. 試題解析：（1）由，即，， 得，∵不等式的整數(shù)解為，∴，解得， 又∵不等式僅有一個整數(shù)解，∴； （2）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方，故， ∴對任意恒成立，設(shè)， 則，則在區(qū)間上是減函數(shù)， 在區(qū)間上是增函數(shù)，∴當時，取得最小值， 故，∴實數(shù)的取值范圍是， （或者因為，故）. 考點：1.絕對值不等式；2.分類討論的數(shù)學思想；3.恒成立問題．