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河北邢臺外國語學校 2012-2013學年度第二學期期末考試試題 高二數(shù)學（理）試題 分值：150分 時間：120分鐘 命題人：王文東 參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式 如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 在次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑 第一部分 （選擇題 共60分） 注意事項： 1、選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號涂在機讀卡上對應題目標號的位置上。 2、本部分共12小題，每小題5分，共60分。 一、選擇題：每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．設(shè)都是正數(shù)，則三個數(shù)（　?。? Ａ．都大于2 Ｂ．至少有一個大于2 Ｃ．至少有一個不大于2 Ｄ．至少有一個不小于2 2．設(shè)，則等于（　?。? Ａ．1.6 Ｂ．3.2 Ｃ．6.4 Ｄ．12.8 3．已知回歸直線方程，其中且樣本點中心為，則回歸直線方程為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．已知拋物線通過點，且在點處的切線平行于直線，則拋物線方程為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．如圖所示，圖中有5組數(shù)據(jù)，去掉組數(shù)據(jù)后（填字母代號），剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．在5道題中有3道數(shù)學題和2道物理題．如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到數(shù)學題的條件下，第2次抽到數(shù)學題的概率是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．復數(shù)不可能在（　?。? Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 8.．，且，則 等于（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9.　某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目中，那么不同插法的種數(shù)為（　 ）． 　?。粒?2　　Ｂ．30　?。茫?0　　Ｄ．12 10．某市期末教學質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（　?。? Ａ．甲學科總體的方差最小 Ｂ．丙學科總體的均值最小 Ｃ．乙學科總體的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的總體的均值不相同 11．對于兩個復數(shù)，，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（　?。? Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 12、直線與拋物線所圍成的圖形面積是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 第二部分 （非選擇題 共90分） 注意事項： （1）必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無效。 （2）本部分共10個小題，共90分。 二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題紙的相應位置上。） 13．已知，，則 = 14．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積　　　　　． 15．某市對1萬名中學生的數(shù)學成績（滿分100分）進行抽樣統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)它們近似服從正態(tài)分布N（70，102），若90分以上者有230人，則這1萬名學中50分以下的人數(shù)共有 16. 三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。） 17．（本小題滿分10分） 設(shè)的展開式中的系數(shù)是． （1）求展開式中的系數(shù)的最小值； （2）對展開式中的系數(shù)取最小值時的，求展開式中的系數(shù)． 18．（本小題滿分12分） 為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （Ⅰ）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （Ⅱ）能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ （Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附： 19．（本小題滿分12分） 紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。 （Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； （Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望. 20．（本小題滿分12分） 用總長m的鋼條制做一個長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積. 21．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，． （1）求； （2）猜想數(shù)列的通項，并予以證明． 22．（本小題滿分12分） 設(shè)，點是函數(shù)與的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點處有相同的切線． （1）用表示； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍． 1. D 2. Ｃ 3. Ｃ 4. Ａ 5. Ａ 6. Ｃ 7. Ａ 8. Ｄ 9. 解析：新插入兩個節(jié)目，而原來的5個節(jié)目順序不變，從結(jié)果考慮，7個節(jié)目的全排列是，而順序不變的5個節(jié)目的全排列是，不變的順序是總體的，則一共有種不同的插入種數(shù)，故選A． 10. Ａ 11. Ｂ 12. 解析：直線與拋物線的交點為結(jié)合圖像可知面積 .此題選取為積分變量較容易. 選D. 13.解析：，．令，則， ， ，． 14.答案： 15答案：230 16.答案： 解析：函數(shù)的圖像是圓心為，半徑為1的圓的上半部分.由定積分的幾何意義知道，所求定積分為圓面積的，也即是. 17．解：（1）由題意知，，． 的系數(shù)為 ， ，當或時，的系數(shù)取最小值．…………5分 （2）當或時，的系數(shù)為．……10分 18．解：（Ⅰ）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計值為． …………5分 (Ⅱ) 由于，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)． …………10分 （Ⅲ）由于（Ⅱ）的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好． …………12分 19．（Ⅰ）紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為=0.55. …………5分 （Ⅱ）取的可能結(jié)果為0,1,2,3,則=0.1; ++=0.35; =0.4;=0.15. 所以的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 …………10分 數(shù)學期望=00.1+10.35+20.4+30. 15=1.6. …………12分 20．解 設(shè)容器底面邊長為m，另一邊長為m，高為，由和. 設(shè)容器的容積為m3，則有 即 …………6分 令，有 即，(不合題意，舍去) 所以當時，(m3) . …………12分 21．解：（1）由，得， ， ． …………4分 （2）猜想：， 證明：（1）當時，結(jié)論顯然成立； （2）假設(shè)當時，結(jié)論成立，即； 那么，當時，由， 這就是說，當時，結(jié)論成立； 由（1），（2）可知，對于一切自然數(shù)都成立． …………12分 22．解：（1）因為函數(shù)，的圖象都過點，所以，即． 因為，所以．，即，所以． 又因為在點處有相同的切線， 所以，而，，所以． 將代入上式得．因此． 故，，． …………4分 （2），． 當時，函數(shù)單調(diào)遞減． 由，若，則；若，則． 由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則或． 所以或． 又當時，函數(shù)在上不是單調(diào)遞減的． 所以的取值范圍為． …………12分