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2010年廣東省深圳市福田中學(xué)等八校高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題（文） 本試卷分第I卷（選擇題共50分）和第II卷（非選擇題共100分）兩部分?？荚嚂r(shí)間為120分鐘，滿分為150分。 參考公式： 三棱錐的體積公式，其中表示三棱錐的底面面積，表示三棱錐的高。 第Ⅰ卷（選擇題 共50分） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．已知集合，，則= （ ） A． B． C． D． 2．已知命題 （ ） A． B． C． D． 3．向量=（1，-2），=（6，3），則與的夾角為 （ ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, 已知A=, a=, b=1，則c= ( ) A．1 B．2 C．—1 D． 5．已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題： ① ② ③ ④ 其中正確命題的序號(hào)是 （ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 6． 函數(shù)的部分圖象如圖，則 （ ） A．＝，＝ B．＝,＝ C．＝,＝ D．＝,＝ 7. 如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個(gè)幾何體的表面積為 （ ） 側(cè)視圖 正視圖 俯視圖 A． B． C． D． 8. 已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于 A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率是 ( ) A． B. C. D. 9. 對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如定義函數(shù)則下列命題中正確的是 （ ） A． B．方程有且僅有一個(gè)解 C．函數(shù)是周期函數(shù) D．函數(shù)是增函數(shù) 3 5 12 6 8 12 4 6 7 6 B A 10．如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量?，F(xiàn)從結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞。則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為 ( ) A．26 B．24 C．20 D．19 第Ⅱ卷（非選擇題 共100分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 11．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 ． 12．如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足 條件 時(shí)，有A1C⊥B1D1． （注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形） 13．直線始終平分圓的周長，則的最小值為 ． 14．某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為 萬元． 三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 15．（本小題滿分12分） 已知向量 ,函數(shù) (1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時(shí), 若求的值． 16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，常數(shù) （1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由； （2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍． 17．（本小題滿分14分） 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)． （1）求證：AF∥平面PCE； （2）求證：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱錐C－BEP的體積． 18．（本小題滿分14分） 設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且 構(gòu)成等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)； （2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和． 19．（本小題滿分14分） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切. (1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程； (2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由. 20．（本小題滿分14分） 已知，且三次方程有三個(gè)實(shí)根． （1）類比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫出此方程根與系數(shù)的關(guān)系； （2）若，在處取得極值且，試求此方程三個(gè)根兩兩不等時(shí)的取值范圍． 2010屆高三月考聯(lián)考 文科數(shù)學(xué)試題參考答案 一、選擇題（每小題5分，共50分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B C C A D C D 二、填空題（每小題5分，共20分） 11. 8 ； 12. AC⊥BD ( ABCD是正方形或菱形)； 13. ； 14. ； 三、解答題(本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15.（本小題滿分12分） 解：(1) ……………………………………………………1分 ………………………………………………………………………………2分 . ……………………………………………………………………………………4分 的最小正周期是. …………………………………………………………………………6分 (2) 由得 ………………………………………….8分 ∵，∴　∴ …………………………10分 ∴ …………………………………………………………………12分 16.（本小題滿分12分） 解：(1)當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意 為偶函數(shù) …………………………………3分 當(dāng)時(shí)， 取，得 函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)……6分 （2）解法一：要使函數(shù)在上為增函數(shù) 等價(jià)于在上恒成立 ……………………………………………………8分 即在上恒成立，故在上恒成立 ∴ ……………………………………………………10分 ∴ 的取值范圍是 ……………………………………………………………………12分 解法二：設(shè) …………8分 要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立 ，即恒成立 ……………………………………………………10分 又， 的取值范圍是 ……………………………………………………………………12分 17.（本小題滿分14分） 證明: （1）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG ∴FG為△CDP的中位線 ∴FGCD……1分 ∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn) ∴ABCD ∴FGAE ∴四邊形AEGF是平行四邊形 ………………2分 ∴AF∥EG ………3分 又EG平面PCE，AF平面PCE ………4分 ∴AF∥平面PCE ………………………………………5分 （2）∵ PA⊥底面ABCD ∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A ∴CD⊥平面ADP 又AF平面ADP ∴CD⊥AF …………………………………………………… 6分 直角三角形PAD中，∠PDA=45 ∴△PAD為等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2 …………………………………… 7分 ∵F是PD的中點(diǎn) ∴AF⊥PD，又CDPD=D ∴AF⊥平面PCD …………………………………………………… 8分 ∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD …………………………………………………… 9分 又EG平面PCE 平面PCE⊥平面PCD …………………………………………………… 10分 （3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE ……………………………………………………11分 PA是三棱錐P－BCE的高， Rt△BCE中，BE=1，BC=2， ∴三棱錐C－BEP的體積 VC－BEP=VP－BCE= … 14分 18.（本小題滿分14分） 解：（1）由已知得 解得．…………………1分 設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得． 又，可知，即， ……………………………4分 解得． 由題意得． ．……………………………………………………………………… 6分 故數(shù)列的通項(xiàng)為． … ……………………………………………………………………………8分 （2）由于 由（1）得 = ………………………………………………………………………………10分 又 是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列 ………………………………12分 ……………………………………………14分 19．（本小題滿分14分） 解：（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知： ……………………………………2分 即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等， 由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線， ∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ……………………………………5分 （2）由題可設(shè)直線的方程為 由得 △， …………………………………………………………………………7分 設(shè)，，則， ……………………………………………9分 由，即 ，，于是， ……11分 即，， ，解得或（舍去）， …………………………………13分 又， ∴ 直線存在，其方程為 ……………………………14分 20.（本小題滿分14分） 解：（1）由已知，得，比較兩邊系數(shù)， 得． ………………………………4分 （2）令，要有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)有 一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，且極大值大于0，極小值小于0． ……………………………5分 由已知，得有兩個(gè)不等的實(shí)根， ， 得．…………… 6分 又，，將代入（1）（3），有，又 ．， ………………8分 則，且在處取得極大值，在處取得極小值…10分 故要有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， 則必須 ……………………… 12分 解得． ……………………… 14分