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2012碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一解答與點(diǎn)評(píng) 來(lái)源：超越考研 發(fā)布時(shí)間：1-1119:33 2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解答與點(diǎn)評(píng) 一、選擇題 （1）曲線漸近線的條數(shù)為( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選(C)． 解：，，而，所以有兩條漸近線和，故選（C）． 【點(diǎn)評(píng)】本題屬于基本題，其難度低于超越數(shù)學(xué)一模擬三第（1）題． （2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（A）． 解法一： ，故選（A）． 解法二： ，故選（A）． 【點(diǎn)評(píng)】與超越強(qiáng)化班講義第16頁(yè) 【例3】設(shè)求． 中函數(shù)形式和解題方法完全一致，我們真的沒(méi)辦法猜出函數(shù)了． （3）如果函數(shù)在處連續(xù)，那么下列命題正確的是( ) ． （A）若極限存在，則在處可微 （B）若極限存在，則在處可微 （C）若在處可微，則極限存在 （D）若在處可微，則極限存在 答案：選（B）． 解：已知在處連續(xù)，設(shè)，因?yàn)椋? ， 故． 由極限的性質(zhì)有，其中是當(dāng)，時(shí)的無(wú)窮小量，記 ， 則． 由全微分的定義知在點(diǎn)處可微分． 【點(diǎn)評(píng)】本題考察的知識(shí)點(diǎn)是極限的基本性質(zhì)及全微分的定義，所用知識(shí)點(diǎn)與2007年數(shù)學(xué)二的選擇題類(lèi)似． （4）設(shè)則有( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（D）． 解：，所以． ， 所以，故選（D）． 【點(diǎn)評(píng)】常規(guī)題型，但判定時(shí)有一定的技巧． （5）設(shè)，，，，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（C）． 【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）列向量組進(jìn)行行變換后，有相同的相關(guān)性；（2）三個(gè)三維的向量線性相關(guān)的充要條件為所構(gòu)成的行列式為零． 該題與超越最后五套模擬題中的數(shù)一模三第5題，數(shù)二模擬二第7題完全類(lèi)似． 解法一： ，顯然有，故線性相關(guān)． 解法二：因?yàn)?，故線性相關(guān)． 附：數(shù)二模二 （7）已知向量組作為列向量組成矩陣，則 （A）不能由其余向量線性表示． （B）不能由其余向量線性表示． （C）不能由其余向量線性表示． （D）不能由其余向量線性表示． （6）設(shè)為階矩陣，為階可逆矩陣，且，若，，則( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（B）． 【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）等價(jià)于． （2）也為的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．故． 此題與超越五套模擬中的數(shù)一、三模五21題完全相同．每個(gè)數(shù)字都是一樣的，真是驚人的巧合，這大概只有在超越才能把數(shù)學(xué)模擬到如此完美的地步． 附：數(shù)一、三模五 （21）（本題滿(mǎn)分11分）為三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，為三階正交陣，且． （Ⅰ）證明，； （Ⅱ）若，計(jì)算，，并證明與合同但不相似． （7）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為和參數(shù)為的指數(shù)分布，則( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（A）． 解：的聯(lián)合密度函數(shù)為 ． 故選（A）． 【點(diǎn)評(píng)】見(jiàn)超越?jīng)_刺班概率統(tǒng)計(jì)講義 例8．設(shè)總體，為來(lái)自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．記 ． （Ⅰ）求的密度函數(shù)；（Ⅱ）求． 本例8第（Ⅱ）部分即為此題，只是將9換成4而已．本例8第（Ⅰ）部分為數(shù)學(xué)三第（23）所考．超越?jīng)_刺班學(xué)員實(shí)在受益． （8）將長(zhǎng)度為m的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為( ) ． （A） （B） （C） （D） 答案：選（D）． 解：設(shè)分別為兩段長(zhǎng)度，則，，因此．故選（D）． 【點(diǎn)評(píng)】與超越強(qiáng)化班講義第190頁(yè) 例1 將一枚硬幣重復(fù)擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則和的相關(guān)系數(shù)等于（　　）． (A) (B) (C) (D) 幾乎一樣．此例1為歷年真題． 二、填空題 （9）若函數(shù)滿(mǎn)足方程及，則 ． 答案：“”． 解：解此二階常系數(shù)齊次線性方程得通解． 又因滿(mǎn)足可得，故． 【點(diǎn)評(píng)】此題為一個(gè)簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)齊次線性方程的求解問(wèn)題，與沖刺班模擬二第（12）題類(lèi)似，只是更簡(jiǎn)單一些． （10） ． 答案：“”． 解：． 【點(diǎn)評(píng)】與超越?jīng)_刺班一元函數(shù)講義 【例5】設(shè)為正整數(shù)，則． 解題思路完全相同，先換元到對(duì)稱(chēng)區(qū)間，然后利用對(duì)稱(chēng)性． （11） ． 答案：“”． 解：記，則 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考察的知識(shí)點(diǎn)是梯度的定義，在強(qiáng)化班中講過(guò)梯度的定義以后，我們?cè)f(shuō)過(guò)：“這個(gè)問(wèn)題不需要舉例題，人人都會(huì)做．”本題也僅僅是超越模擬題數(shù)學(xué)一模擬四第10題解題過(guò)程中的一個(gè)步驟． （12）設(shè)，則 ． 答案：“”． 解：，在面上的投影區(qū)域如圖所示． ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考察的知識(shí)點(diǎn)是第一類(lèi)曲面積分的基本計(jì)算方法，這也是歷年考研試題中第一類(lèi)曲面積分最簡(jiǎn)單的一個(gè)計(jì)算題．做完了強(qiáng)化班講義例1及沖刺班例17以后再做本題，感覺(jué)本題也太簡(jiǎn)單了． （13）設(shè)為三維單位向量，為三階單位矩陣，則矩陣的秩為 ． 【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的秩為其非零特征值的個(gè)數(shù)；（2）時(shí)，的特征值為，此題僅數(shù)一考，是代數(shù)三個(gè)小題中最難的一個(gè)．若要按照知識(shí)點(diǎn)求解出來(lái)，對(duì)考生來(lái)說(shuō)難度很大，但對(duì)超越?jīng)_刺班的學(xué)員來(lái)說(shuō)，卻是易如反掌．因?yàn)閷O老師和余老師都強(qiáng)調(diào)了選擇、填空題中的賦值法．并把這些都寫(xiě)進(jìn)了沖刺班講義．令我們感到欣慰的是，我們有很多學(xué)員都是用賦值法做出來(lái)的． 答案：“”． 解法一：的特征值為，的特征值為，故秩為． 解法二：令，則，從而秩為． 附：沖刺班講義 （5），為維非零列向量則有 ①； ②；的特征值只能??； ③時(shí)，必可相似對(duì)角化，此時(shí)的特征值為一個(gè)，個(gè)零；特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為 ． （14）設(shè)是隨機(jī)事件，與互不相容， ，， ． 答案：“”． 解：． 【點(diǎn)評(píng)】會(huì)做超越?jīng)_刺班概率統(tǒng)計(jì)講義 例1．設(shè)隨機(jī)事件兩兩獨(dú)立，且，，， ，已知至少發(fā)生一個(gè)，則僅有不發(fā)生的概率為 ． 本題就是毛毛雨啦． 三、解答題 （15）證明，． 證法一：令， ， ， 所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．故當(dāng)時(shí)，．即證． 證法二：由于為偶函數(shù)，故只需證明時(shí)不等式成立即可． ． 當(dāng)時(shí)，，，所以，，得證． 證法三： ． 即證． 證法四：由于為偶函數(shù)，故只需證明時(shí)不等式成立即可． ． 所以得證． 【點(diǎn)評(píng)】首先不等式證明時(shí)今年超越?jīng)_刺班強(qiáng)調(diào)的第一重點(diǎn)． 再仔細(xì)比較超越?jīng)_刺班數(shù)學(xué)一模擬二（15）： （15）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)，證明：． 中的不等式兩邊的函數(shù)，有多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)和指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)，驚人地相似． 最后看證明方法，均有利用單調(diào)性、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、積分關(guān)系多種方法證明，對(duì)超越?jīng)_刺班同學(xué)真的沒(méi)說(shuō)的！ （15）【證法一】令，則 ，，， ，，． 因?yàn)?，所以，單調(diào)遞增，由知． 從而單調(diào)遞增，再由知，從而單調(diào)遞增，最后由知，故要證的不等式成立． 【證法二】， ， ， 故當(dāng)時(shí)，． 【證法三】由于當(dāng)時(shí)，，在依次作積分得： ， ，即， ，即． （16）求函數(shù)的極值． 解：令得駐點(diǎn)，． ，，． 在點(diǎn)處，，，． 因?yàn)椋?，所以是的極小值點(diǎn)，極小值． 在處，，． 因?yàn)椋?，所以是的極大值點(diǎn)，極大值． 【點(diǎn)評(píng)】本題的解題方法是求無(wú)條件極值的最基本方法，這與下列各題的解題方法完全相同：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材（五版）下冊(cè)例4，合肥工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材下冊(cè)例2，強(qiáng)化班講義例1（即2009年數(shù)學(xué)一、三考研試題） （17）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)． 解：記，由，可得．故收斂區(qū)間為．當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)均發(fā)散，故收斂域?yàn)椋? 設(shè) 其中，，而，可得 ． ，可得．所以 【點(diǎn)評(píng)】還記得蘇燦榮老師在沖刺班講過(guò)的話嗎？級(jí)數(shù)的大題肯定是考冪級(jí)數(shù)的大題，并且串講時(shí)的例題就是這種題型．另此題與超越強(qiáng)化班講義的例1完全相同，既用到了求導(dǎo)又用到了積分． 原題為：求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．, <, /B> （18）已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，．若曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線與軸與軸無(wú)邊界的區(qū)域的面積． 解：因?yàn)?，故曲線上任一點(diǎn)，即點(diǎn)處的切線方程為 ． 由此可得切線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)題意有 ． 即，可得 ． 由，可得，故．面積 ． 【點(diǎn)評(píng)】微分方程的幾何應(yīng)用是我們?cè)趶?qiáng)化班與沖刺班反復(fù)強(qiáng)調(diào)的題型，且建立方程所用到的知識(shí)點(diǎn)在強(qiáng)化班講義中也列出．此題與強(qiáng)化班講義的例1類(lèi)似． （19）已知是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計(jì)算曲線積分． 解法一：補(bǔ)充曲線為軸上從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，設(shè)與圍成區(qū)域，由Green公式， ． 解法二：．在中，，．因?yàn)?，所以積分與路徑無(wú)關(guān)，取從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段為，則 ． 把分成兩部分如圖所示． ． ，， ． 【點(diǎn)評(píng)】本題與強(qiáng)化班講義例1如出一轍，解法完全相同．而對(duì)于解法二，只要注意到?jīng)_刺班例14的補(bǔ)充說(shuō)明即可非常容易地解答本題．如果不利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件，而把分成兩部分，利用解法二中計(jì)算同樣的方法，直接計(jì)算原積分也是可行的，但是計(jì)算過(guò)程較繁瑣一些． （20）設(shè)，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知線性方程組有無(wú)窮多解，求并求的通解． 【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）為方陣，有無(wú)窮多解的必要條件為；（2）有無(wú)窮多解的充要條件為．此題太常規(guī)，太簡(jiǎn)單，超越的基礎(chǔ)班，強(qiáng)化班講義都有完全類(lèi)似的題目． 解：（Ⅰ）． （Ⅱ）得，當(dāng)時(shí)，，，方程組無(wú)解舍去． 當(dāng)時(shí)，，，方程組有無(wú)窮多解，符合題意，通解為． （21）已知，二次型的秩為．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形． 【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）二次型的秩為；（2）． 本題的關(guān)鍵是要知道，若不知道則很難算出來(lái)，因?yàn)榍笮辛惺接?jì)算量太大．同學(xué)都應(yīng)該記得沖刺班上孫老師和余老師是怎么強(qiáng)調(diào)要記住這一結(jié)果的，并且我們還給出了證明．由此可見(jiàn)這一結(jié)論的重要性．而這終于在12年考研中得到了應(yīng)證．這也充分說(shuō)明了上超越數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班的好處，因?yàn)檫@一結(jié)論在一般教科書(shū)上不是很強(qiáng)調(diào)的． 解法一：由得，從而 ，，， 有三個(gè)特征值．分別解三個(gè)線性齊次方程組 ，，． 求得特征向量后，再單位化得正交陣 ， 對(duì)角陣，正交變換，的標(biāo)準(zhǔn)型為． 解法二：若不知也可做但很繁． ，． 此行列式難算，算出后還要因式分解，不容易！據(jù)我了解選擇此方法的都沒(méi)算出，得分也不會(huì)超過(guò)4分． （22）設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的概率分布為 （Ⅰ）求；（Ⅱ）求． 解：（Ⅰ）． （Ⅱ），， ，，，，， ． 【點(diǎn)評(píng)】哈哈，送分題． （23）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且．設(shè)．（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)；（Ⅲ）證明為的無(wú)偏估計(jì)量． 解：（Ⅰ）由于，所以的密度函數(shù)為 ，． （Ⅱ）， ，， 令，解得． （Ⅲ） ， 所以為的無(wú)偏估計(jì)量． 【點(diǎn)評(píng)】在超越?jīng)_刺班中強(qiáng)調(diào)極大似然估計(jì)和無(wú)偏性是今年統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)重點(diǎn)．并列舉下列 例9. 設(shè)總體的密度函數(shù)為其中為未知參數(shù)， 為來(lái)自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本． （I）求的極大似然估計(jì)；（II）(數(shù)三)求．（II）（數(shù)一）問(wèn)是否為的無(wú)偏估計(jì)？ 上一篇：考研數(shù)學(xué)臨場(chǎng)發(fā)揮策略