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山東省青島市2013年中考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分） 1．（3分）（2013?青島）﹣6的相反數(shù)是（　　） 　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣ D． 考點(diǎn)： 相反數(shù) 分析： 根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可． 解答： 解：﹣6的相反數(shù)是6， 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0． 　 2．（3分）（2013?青島）下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 中心對(duì)稱圖形 分析： 根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)所給圖形進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確； 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形． 　 3．（3分）（2013?青島）如圖所示的幾何體的俯視圖是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單組合體的三視圖 分析： 俯視圖是從上往下看得到的視圖，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：所給圖形的俯視圖是B選項(xiàng)所給的圖形． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，解答本題的關(guān)鍵是掌握俯視圖是從上往下看得到的視圖． 　 4．（3分）（2013?青島）“十二五”以來(lái)，我國(guó)積極推進(jìn)國(guó)家創(chuàng)新體系建設(shè)．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局《2012年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》指出：截止2012年底，國(guó)內(nèi)有效專利達(dá)8750000件，將8750000件用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。┘? 　 A． 8.75104 B． 8.75105 C． 8.75106 D． 8.75107 考點(diǎn)： 科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù) 分析： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn)，由于8750000有7位，所以可以確定n=7﹣1=6． 解答： 解：8 750 000=8.75106． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵． 　 5．（3分）（2013?青島）一個(gè)不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個(gè)白球和若干個(gè)紅球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的前提下，小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù)，采用如下方法：現(xiàn)將口袋中的球搖勻，再?gòu)目诖镫S機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約有（　　）個(gè)． 　 A． 45 B． 48 C． 50 D． 55 考點(diǎn)： 用樣本估計(jì)總體 分析： 小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球；摸到白球與摸到紅球的次數(shù)之比為1：9，由此可估計(jì)口袋中白球和紅球個(gè)數(shù)之比為1：9；即可計(jì)算出紅球數(shù)． 解答： 解：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，則有90次摸到紅球， ∴白球與紅球的數(shù)量之比為1：9， ∵白球有5個(gè)， ∴紅球有95=45（個(gè)）， 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是通過(guò)樣本去估計(jì)總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可． 　 6．（3分）（2013?青島）已知矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長(zhǎng)分別為xcm和ycm，則y與x之間的函數(shù)圖象大致是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的應(yīng)用；反比例函數(shù)的圖象 分析： 根據(jù)題意有：xy=36；故y與x之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)，且根據(jù)x、y實(shí)際意義x、y應(yīng)＞0，其圖象在第一象限，即可得出答案． 解答： 解：∵矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長(zhǎng)分別為xcm和ycm， ∴xy=36， ∴函數(shù)解析式為：y=（x＞0，y＞0）． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用性題目，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用實(shí)際意義確定其所在的象限． 　 7．（3分）（2013?青島）直線l與半徑為r的⊙O相交，且點(diǎn)O到直線l的距離為6，則r的取值范圍是（　?。? 　 A． r＜6 B． r=6 C． r＞6 D． r≥6 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系 專題： 探究型． 分析： 直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：∵直線l與半徑為r的⊙O相交，且點(diǎn)O到直線l的距離d=6， ∴r＞6． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問(wèn)題可通過(guò)比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．直線l和⊙O相交?d＜r 　 8．（3分）（2013?青島）如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′點(diǎn)A、B、A′、B′均在圖中在格點(diǎn)上．若線段AB上有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A′B′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（　?。? 　 A． （，n） B． （m，n） C． （m，） D． （） 考點(diǎn)： 位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì) 專題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′點(diǎn)的坐標(biāo)得出坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出P′的坐標(biāo)． 解答： 解：∵△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′點(diǎn)A、B、A′、B′均在圖中在格點(diǎn)上， 即A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，6），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，2），A′點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3），B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，1）， ∴線段AB上有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A′B′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（）． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化是解題關(guān)鍵． 　 二、填空題（本題滿分18分共有6道題，每小題3分） 9．（3分）（2013?青島）計(jì)算：2﹣1+=　?。? 考點(diǎn)： 二次根式的乘除法；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 分析： 首先計(jì)算負(fù)指數(shù)次冪以及二次根式的除法，然后進(jìn)行加法運(yùn)算即可求解． 解答： 解：原式=+2 =． 故答案是：． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了二次根式除法以及負(fù)指數(shù)次冪的運(yùn)算，理解運(yùn)算法則是關(guān)鍵． 　 10．（3分）（2013?青島）某校對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員的近期調(diào)高成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下：=1.69m，=1.69m，S2甲=0.0006，S2乙=0.00315，則這兩名運(yùn)動(dòng)員中　甲　的成績(jī)更穩(wěn)定． 考點(diǎn)： 方差 分析： 根據(jù)方差的意義：反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立． 解答： 解：∵S2甲=0.0006，S2乙=0.00315， ∴S2甲＜S2乙， ∴這兩名運(yùn)動(dòng)員中甲的成績(jī)更穩(wěn)定． 故答案為：甲． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查方差的定義與意義：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立． 　 11．（3分）（2013?青島）某企業(yè)2010年底繳稅40萬(wàn)元，2012年底繳稅48.4萬(wàn)元．設(shè)這兩年該企業(yè)交稅的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可得方程　40（1+x）2=48.4　． 考點(diǎn)： 由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程 專題： 增長(zhǎng)率問(wèn)題． 分析： 根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量（1+增長(zhǎng)率），如果設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率為x，首先表示出2011年的繳稅額，然后表示出2012年的繳稅額，即可列出方程． 解答： 解：設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率為x， 依題意得40（1+x）2=48.4． 故答案為：40（1+x）2=48.4． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程中增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量． 　 12．（3分）（2013?青島）如圖，一個(gè)正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象相交于點(diǎn)P，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式是　y=﹣2x　． 考點(diǎn)： 兩條直線相交或平行問(wèn)題 分析： 首先將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求得其橫坐標(biāo)，然后代入正比例函數(shù)的解析式即可求解． 解答： 解：∵正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象相交于點(diǎn)P，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2， ∴2=﹣x+1 解得：x=﹣1 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，2）， ∴設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx， ∴2=﹣k 解得：k=﹣2 ∴正比例函數(shù)的解析式為：y=﹣2x， 故答案為：y=﹣2x 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是首先求得點(diǎn)P的坐標(biāo)． 　 13．（3分）（2013?青島）如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC=2，∠ABC=30，則圖中陰影部分的面積是　﹣?。? 考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算；圓周角定理 專題： 壓軸題． 分析： 如圖，連接OC．圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積﹣△BOC的面積． 解答： 解：如圖，連接OC． ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30 ∴∠BOC=180﹣30﹣30=120． 又∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30，則AB=2AC=4，BC==2． ∵OC是△ABC斜邊上的中線， ∴S△BOC=S△ABC=AC?BC=22=． ∴S陰影=S扇形OBC﹣S△BOC=﹣=﹣． 故答案是：﹣． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了扇形面積的計(jì)算、圓周角定理．求圖中陰影部分的面積時(shí)，采用了“分割法”，即把不規(guī)則陰影圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，然后來(lái)計(jì)算其面積． 　 14．（3分）（2013?青島）要把一個(gè)正方體分割成8個(gè)小正方體，至少需要切3刀，因?yàn)檫@8個(gè)小正方體都只有三個(gè)面是現(xiàn)成的．其他三個(gè)面必須用三刀切3次才能切出來(lái)．那么，要把一個(gè)正方體分割成27個(gè)小正方體，至少需用刀切　6　次；分割成64個(gè)小正方體，至少需要用刀切　9　次． 考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類 專題： 壓軸題；規(guī)律型． 分析： 根據(jù)立方根的定義，把長(zhǎng)、寬、高分別進(jìn)行等分切割即可得解． 解答： 解：分割成8個(gè)小正方體，需用長(zhǎng)、寬、高都二等分的3刀， 分割成27個(gè)小正方體，需用長(zhǎng)、寬、高都三等分的32=6刀， 分割成64個(gè)小正方體，需用長(zhǎng)、寬、高都四等分的33=9刀． 故答案為：6；9． 點(diǎn)評(píng)： 本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，解答本題需要有空間想象能力． 　 三、作圖題（本題滿分4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫做法，但要保留作圖痕跡。 15．（4分）（2013?青島）已知：如圖，直線AB與直線BC相交于點(diǎn)B，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)． 求作：點(diǎn)E，使直線DE∥AB，且點(diǎn)E到B，D兩點(diǎn)的距離相等．（在題目的原圖中完成作圖） 結(jié)論：BE=DE． 考點(diǎn)： 作圖—復(fù)雜作圖．3718684 專題： 壓軸題． 分析： 首先以D為頂點(diǎn)，DC為邊作一個(gè)角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分線，即可找到點(diǎn)E． 解答： 解：如圖所示： 點(diǎn)E即為所求，BE=DE 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的方法和線段垂直平分線的作法． 　 四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題） 16．（8分）（2013?青島）（1）解方程組：； （2）化簡(jiǎn)：（1+）?． 考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算；解二元一次方程組 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）方程組兩方程相加消去y求出x的值，進(jìn)而求出y的值，即可得到方程組的解； （2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果． 解答： 解：（1）， ①+②得：3x=3， 解得：x=1， 將x=1代入②得：1﹣y=0，即y=1， 則方程組的解為； （2）原式=? =． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的混合運(yùn)算，以及解二元一次方程組，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式． 　 17．（6分）（2013?青島）請(qǐng)根據(jù)所給信息，幫助小穎同學(xué)完成她的調(diào)查報(bào)告 2013年4月光明中學(xué)八年級(jí)學(xué)生每天干家務(wù)活平均時(shí)間的調(diào)查報(bào)告 調(diào)查目的 了解八年級(jí)學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時(shí)間 調(diào)查內(nèi)容 光明中學(xué)八年級(jí)學(xué)生干家務(wù)活的平均時(shí)間 調(diào)查方式 抽樣調(diào)查 調(diào)查步驟 1．?dāng)?shù)據(jù)的收集 （1）在光明中學(xué)八年級(jí)每班隨機(jī)調(diào)查5名學(xué)生 （2）統(tǒng)計(jì)這些學(xué)生2013年4月每天干家務(wù)活的平均時(shí)間（單位：min）結(jié)果如下（其中A表示10min，B表示20min，C表示30min） B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 2．?dāng)?shù)據(jù)的處理： 以頻數(shù)分布直方圖的形式呈現(xiàn)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果 請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖 3．?dāng)?shù)據(jù)的分析： 列式計(jì)算所隨機(jī)調(diào)查學(xué)生每天干家務(wù)活平均時(shí)間的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)） 調(diào)查結(jié)論 光明中學(xué)八年級(jí)共有240名學(xué)生，其中大約有　120　名學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時(shí)間是20min 考點(diǎn)： 頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計(jì)總體；加權(quán)平均數(shù)．3718684 分析： 先從圖表中得出平均每天干家務(wù)活在30min的有5名學(xué)生，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，再根據(jù)A表示10min，B表示20min，C表示30min和學(xué)生數(shù)即可求出隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時(shí)間，最后根據(jù)每天干家務(wù)活的平均時(shí)間是20min所占的百分比乘以240，即可得出大約每天干家務(wù)活的平均時(shí)間是20min的學(xué)生數(shù)． 解答： 解：從圖表中可以看出C的學(xué)生數(shù)是5人， 如圖： 每天干家務(wù)活平均時(shí)間是：（1010+1520+530）30≈18（min）； 根據(jù)題意得：240=120（人）， 光明中學(xué)八年級(jí)共有240名學(xué)生，其中大約有120名學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時(shí)間是20min； 故答案為：120． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了頻率分布直方圖、加權(quán)平均數(shù)以及用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取必要的信息，認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題． 　 18．（6分）（2013?青島）小明和小剛做摸紙牌游戲．如圖，兩組相同的紙牌，每組兩張，牌面數(shù)字分別是2和3，將兩組牌背面朝上洗勻后從每組牌中各摸出一張，稱為一次游戲．當(dāng)兩張牌的牌面數(shù)字之積為奇數(shù)，小明的2分，否則小剛得1分．這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 游戲公平性；列表法與樹(shù)狀圖法 專題： 圖表型． 分析： 畫出樹(shù)狀圖，根據(jù)概率公式分別求出小明和小剛的得分，然后進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：根據(jù)題意，畫出樹(shù)狀圖如下： 一共有4種情況，積是偶數(shù)的有3種情況，積是奇數(shù)的有1種情況， 所以，P（小明勝）=2=， P（小剛勝）=1=， ∵≠， ∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)人取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 19．（6分）（2013?青島）某校學(xué)生捐款支援地震災(zāi)區(qū)，第一次捐款總額為6600元，第二次捐款總額為7260元，第二次捐款人數(shù)比第一次多30人，而且兩次人均捐款額恰好相等．求第一次的捐款人數(shù)． 考點(diǎn)： 分式方程的應(yīng)用 分析： 先設(shè)第一次的捐款人數(shù)是x人，根據(jù)兩次人均捐款額恰好相等列出方程，求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可求出答案． 解答： 解：設(shè)第一次的捐款人數(shù)是x人，根據(jù)題意得： =， 解得：x=300， 經(jīng)檢驗(yàn)x=300是原方程的解， 答：第一次的捐款人數(shù)是300人． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出之間的等量關(guān)系，列出方程，解分式方程時(shí)要注意檢驗(yàn)． 　 20．（8分）（2013?青島）如圖，馬路的兩邊CF，DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A，B兩點(diǎn)分別表示車站和超市．CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67，∠B=37． （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B．求他沿折線A→D→C→B到達(dá)超市比直接橫穿馬路多走多少米． （參考數(shù)據(jù)：sin67≈，cos67≈，tan67≈，sin37≈，cos37≈，tan37≈） 考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用 分析： （1）設(shè)CD與AB之間的距離為x，則在Rt△BCF和Rt△ADE中分別用x表示BF，AE，又AB=AE+EF+FB，代入即可求得x的值； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，分別求出BC、AD的長(zhǎng)度，求出AD+DC+CB﹣AB的值即可求解． 解答： 解：（1）CD與AB之間的距離為x， 則在Rt△BCF和Rt△ADE中， ∵=tan37，=tan67， ∴BF==x，AE==x， 又∵AB=62，CD=20， ∴x+x+20=62， 解得：x=24， 答：CD與AB之間的距離為24米； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中， ∵BC===40， AD===26， ∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米）， 答：他沿折線A→D→C→B到達(dá)超市比直接橫穿馬路多走24米． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是在直角三角形中運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求出各邊的長(zhǎng)度． 　 21．（8分）（2013?青島）已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)． （1）求證：△ABM≌△DCM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （3）當(dāng)AD：AB=　2：1　時(shí)，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明） 考點(diǎn)： 矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；正方形的判定 分析： （1）求出AB=DC，∠A=∠D=90，AM=DM，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可； （2）根據(jù)三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據(jù)菱形的判定推出即可； （3）求出∠EMF=90，根據(jù)正方形的判定推出即可． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90， ∵M(jìn)為AD中點(diǎn)， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）答：四邊形MENF是菱形． 證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)， ∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM， ∴NE=FM，NE∥FM， ∴四邊形MENF是平行四邊形， ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)， ∴ME=MF， ∴平行四邊形MENF是菱形； （3）解：當(dāng)AD：AB=2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形． 理由是：∵M(jìn)為AD中點(diǎn)， ∴AD=2AM， ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB， ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45， 同理∠DMC=45， ∴∠EMF=180﹣45﹣45=90， ∵四邊形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形， 故答案為：2：1． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正三角形的中位線，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形、平行四邊形、正方形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 　 22．（10分）（2013?青島）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件． （1）寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大； （3）商場(chǎng)的營(yíng)銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷方案： 方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元； 方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元 請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用 分析： （1）根據(jù)利潤(rùn)=（單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可； （2）根據(jù)（1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用配方法求最大值； （3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤(rùn)，然后進(jìn)行比較． 解答： 解：（1）由題意得，銷售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500， 則w=（x﹣20）（﹣10x+500） =﹣10x2+700x﹣10000； （2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下，w有最大值， 當(dāng)x=35時(shí)，wmax=2250， 故當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的利潤(rùn)最大； （3）甲方案利潤(rùn)高．理由如下： 甲方案中：20＜x≤30， 故當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值， 此時(shí)w甲=2000； 乙方案中：， 故x的取值范圍為：45≤x≤49， ∵函數(shù)w=﹣10（x﹣35）2+2250，對(duì)稱軸為x=35， ∴當(dāng)x=45時(shí)，w有最大值， 此時(shí)w乙=1250， ∵w甲＞w乙， ∴甲方案利潤(rùn)更高． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=時(shí)取得． 　 23．（10分）（2013?青島）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式． 這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化． 【研究速算】 提出問(wèn)題：4743，5654，7971，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？ 幾何建模： 用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以4743為例： （1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)4743的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面． （2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：4743的矩形面積或（40+7+3）40的矩形與右上角37的矩形面積之和，即4743=（40+10）40+37=54100+37=2021． 用文字表述4743的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果． 歸納提煉： 兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）　十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果?。? 【研究方程】 提出問(wèn)題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x﹣35=0（x＞0）？ 幾何建模： （1）變形：x（x+2）=35． （2）畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4 （3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積． 即（x+x+2）2=4x（x+2）+22 ∵x（x+2）=35 ∴（x+x+2）2=435+22 ∴（2x+2）2=144 ∵x＞0 ∴x=5 歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解． 要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)） 【研究不等關(guān)系】 提出問(wèn)題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？ 幾何建模： （1）畫長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割 （2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2） （3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）1，畫點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5 歸納提煉： 當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系． 根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)） 考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用；整式的混合運(yùn)算；一元一次不等式組的應(yīng)用 專題： 數(shù)形結(jié)合． 分析： 【研究速算】十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果； 【研究方程】畫四個(gè)長(zhǎng)為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造答圖1，則圖中的大正方形面積有兩種不同的表達(dá)方式，由此建立方程求解即可； 【研究不等關(guān)系】畫長(zhǎng)為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割．圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關(guān)系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 解答： 解：【研究速算】 歸納提煉： 十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果． 【研究方程】 歸納提煉： 畫四個(gè)長(zhǎng)為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造答圖1，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：（x+x+b）2或四個(gè)長(zhǎng)為x+b，寬為x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為b的小正方形面積． 即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2 ∵x（x+b）=c， ∴（x+x+b）2=4c+b2 ∴（2x+b）2=4c+b2 ∵x＞0， ∴x=． 【研究不等關(guān)系】 歸納提煉： （1）畫長(zhǎng)為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割． （2）變形：a+b=（2+m）+（2+n） （3）分析：圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關(guān)系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)形結(jié)合思想建立了代數(shù)（速算、方程與不等式等）與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力，是一道好題．試題立意新穎，構(gòu)思巧妙，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)大有裨益；不足之處在于題干篇幅過(guò)長(zhǎng)，學(xué)生讀題并理解題意需要花費(fèi)不少的時(shí)間，影響答題的信心． 　 24．（12分）（2013?青島）已知：如圖，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接并延長(zhǎng)QP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥BC，垂足是N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜1） 解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQDM是平行四邊形？ （2）設(shè)四邊形ANPM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式： （3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，說(shuō)明理由． （4）連接AC，是否存在某一時(shí)刻t，使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成的兩部分？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 相似形綜合題 專題： 壓軸題． 分析： （1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得出AP=DP，代入求出即可； （2）求出AP和MN的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可； （3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．根據(jù)（2）中求出的關(guān)系式，列方程求出t的值； （4）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成的兩部分，證△APW∽△CNW，得出=，代入求出即可． 解答： 解：（1）∵當(dāng)AP=PD時(shí)，四邊形AQDM是平行四邊形， 即3t=3﹣3t， t=， ∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形AQDM是平行四邊形． （2）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴△AMP∽△DQP， ∴=， ∴=， ∴AM=t， ∵M(jìn)N⊥BC， ∴∠MNB=90， ∵∠B=45， ∴∠BMN=45=∠B， ∴BN=MN， ∵BM=1+t， 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t）， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∵M(jìn)N⊥BC， ∴MN⊥AD， ∴y=APMN =?3t?（1+t） 即y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=t2+t（0＜t＜1）． （3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半． 此時(shí)t2+t=3， 整理得：t2+t﹣1=0， 解得t1=，t2=（舍去） ∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半． （4）存在某一時(shí)刻t，使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成的兩部分， 理由是：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成的兩部分， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴△APW∽△CNW， ∴=， 即=或=， ∴t=或， ∵兩數(shù)都在0＜t＜1范圍內(nèi)，即都符合題意， ∴當(dāng)t=s或s時(shí)，NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成的兩部分．