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《用二分法求方程的近似解》習題 一、選擇題 1．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且有三個零點x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為(　　) A．－1　　　　　　　　 B．0 C．3 D．不確定 2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)<0，則f(x)＝0在[a，b]內(　　) A．至少有一實數(shù)根 B．至多有一實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．有惟一實數(shù)根 3．(09天津理)設函數(shù)f(x)＝x－lnx(x＞0)則y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間，(1，e)內均有零點 B．在區(qū)間， (1，e)內均無零點 C．在區(qū)間內有零點；在區(qū)間(1，e)內無零點 D．在區(qū)間內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點 4．(2010天津文，4)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的兩根均在(0，＋∞)內，則m的取值范圍是(　　) A．m≤1 B．01 D．00，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點的個數(shù)為(　　) A．至多有一個 B．有一個或兩個 C．有且僅有一個 D．一個也沒有 9．(哈師大附中2009～2010高一期末)函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D．(1,2) 10．根據表格中的數(shù)據，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 二、填空題 11．方程2x＝x3精確到0.1的一個近似解是________． 12．方程ex－x－2＝0在實數(shù)范圍內的解有________個． 三、解答題 13．借助計算器或計算機，用二分法求方程2x－x2＝0在區(qū)間(－1,0)內的實數(shù)解(精確到0.01)． 14．證明方程(x－2)(x－5)＝1有兩個相異實根，且一個大于5，一個小于2. 15．求函數(shù)y＝x3－2x2－x＋2的零點，并畫出它的簡圖． 16．借助計算器或計算機用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在區(qū)間(－1,0)內的近似解．(精確到0.1) 17．若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零點，求a的取值范圍． 18．判斷方程x3－x－1＝0在區(qū)間[1,1.5]內有無實數(shù)解；如果有，求出一個近似解(精確到0.1)． 答案與解析 1.[答案]　B [解析]　因為f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，它有三個零點，即f(x)的圖象與x軸有三個交點，故必有一個為原點另兩個橫坐標互為相反數(shù)． ∴x1＋x2＋x3＝0. 2.[答案]　D [解析]　∵f(x)為單調減函數(shù)， x∈[a，b]且f(a)f(b)<0， ∴f(x)在[a，b]內有惟一實根x＝0. 3.[答案]　D [解析]　∵f(x)＝x－lnx(x＞0)， ∴f(e)＝e－1＜0， f(1)＝＞0，f()＝＋1＞0， ∴f(x)在(1，e)內有零點，在(，1)內無零點．故選D. 4.[答案]　C [解析]　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0， 即f(0)f(1)<0， ∴由零點定理知，該函數(shù)零點在區(qū)間(0,1)內． 5.[答案]　B [解析]　設方程x2＋(m－3)x＋m＝0的兩根為x1，x2，則有Δ＝(m－3)2－4m≥0，且x1＋x2＝3－m>0，x1x2＝m>0，解得00，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且僅有一個零點； 若a≠0，則f(x)為開口向上或向下的拋物線，若在(1,2)上有兩個零點或無零點，則必有f(1)f(2)>0， ∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且僅有一個零點，故選C. 9.[答案]　B [解析]　∵f＝2－log＝－2<0，f＝－1>0，f(x)在x>0時連續(xù)，∴選B. 10.[答案]　C [解析]　令f(x)＝ex－x－2，則f(1)f(2)＝(e－3)(e2－4)<0，故選C. 11.[答案]　1.4 12.[答案]　2 13.[解析]　令f(x)＝2x－x2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝1>0， 說明方程f(x)＝0在區(qū)間(－1,0)內有一個零點． 取區(qū)間(－1,0)的中點x1＝－0.5，用計算器可算得f(－0.5)≈0.46>0.因為f(－1)f(－0.5)<0，所以x0∈(－1，－0.5)． 再取(－1，－0.5)的中點x2＝－0.75，用計算器可算得f(－0.75)≈－0.03>0.因為f(－1)f(－0.75)<0，所以x0∈(－1，－0.75)． 同理，可得x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.812 5，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)． 由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此時區(qū)間(－0.773 437 5，－0.765 625)的兩個端點精確到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x－x2＝0精確到0.01的近似解約為－0.77. 14.[解析]　令f(x)＝(x－2)(x－5)－1 ∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且f(0)＝9＞0. f(6)＝3＞0. ∴f(x)在(0,2)和(5,6)內都有零點，又f(x)為二次函數(shù)，故f(x)有兩個相異實根，且一個大于5、一個小于2. 15.[解析]　因為x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2) ＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)， 所以函數(shù)的零點為－1,1,2. 3個零點把x軸分成4個區(qū)間： (－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]． 在這4個區(qū)間內，取x的一些值(包括零點)，列出這個函數(shù)的對應值(取精確到0.01的近似值)表： x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … －4.38 0 1.88 2 1.13 0 －0.63 0 2.63 … 　 在直角坐標系內描點連線，這個函數(shù)的圖象如圖所示． 16.[解析]　原方程為x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－1)f(0)＜0，∴函數(shù)f(x)在(－1,0)內有零點x0. 取(－1,0)作為計算的初始區(qū)間用二分法逐步計算，列表如下 端點或中點橫坐標 端點或中點的函數(shù)值 定區(qū)間 a0＝－1，b0＝0 f(－1)＝－1，f(0)＝5 [－1,0] x0＝＝－0.5 f(x0)＝3.375＞0 [－1，－0.5] x1＝＝－0.75 f(x1)≈1.578＞0 [－1，－0.75] x2＝＝－0.875 f(x2)≈0.393＞0 [－1，－0.875] x3＝＝－0.9375 f(x3)≈－0.277＜0 [－0.9375，－0.875] 　∵|－0.875－(－0.9375)|＝0.0625＜0.1， ∴原方程在(－1,0)內精確到0.1的近似解為－0.9. 17.[解析]　∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零點， ∴l(xiāng)og3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解． 當a＝0時，x＝－1. 當a≠0時，若ax2－x＋a－1＝0有解， 則Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0， 解得≤a≤且a≠0. 綜上所述，≤a≤. 18.[解析]　設函數(shù)f(x)＝x3－x－1，因為f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函數(shù)f(x)＝x3－x－1的圖象是連續(xù)的曲線，所以方程x3－x－1＝0在區(qū)間[1,1.5]內有實數(shù)解． 取區(qū)間(1,1.5)的中點x1＝1.25，用計算器可算得f(1.25)＝－0.30<0.因為f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)． 再取(1.25,1.5)的中點x2＝1.375，用計算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因為f(1.25)f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375)． 同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5，1.343 75)． 由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此時區(qū)間(1.312 5，1.343 75)的兩個端點精確到0.1的近似值是1.3，所以方程x3－x－1＝0在區(qū)間[1,1.5]精確到0.1的近似解約為1.3.